Algunas curiosidades de las expresiones decimales

Hoy por hoy muchos de vosotros, lectores, sabréis que, en matemáticas, 0,999\dots=1, es decir, que hay números reales que tienen más de 1 expresión decimal.

Este caso no es aislado, pero sí es cierto que únicamente ocurre cuando al final tenemos el dígito 9 como periódico puro, es decir, cuando el final de la expresión decimal es una concatenación de 9s. Por ejemplo, el número 1,4999\dots=1,5.

En general, se puede demostrar la siguiente igualdad. Si n es un número natural cualquiera y a_0,a_1,\cdots,a_n son dígitos del 0 al 9 (y a_n\ne9), entonces 0,a_0a_1\cdots a_n999\cdots= 0,a_0a_1\cdots (a_n+1), es decir, el decimal enésimo es a_n+1.

En efecto, 0,a_0a_1\cdots a_n999\dots=0,a_0a_1\cdots a_n + \frac{9}{10{n+1}}+\frac{9}{10{n+2}}+\frac{9}{10{n+3}}+\cdots. Pero esta suma final es, en realidad, una progresión geométrica de razón \frac{1}{10} por lo que, aplicando la fórmula de sumación de estas series, se tiene que \frac{9}{10{n+1}}+\frac{9}{10{n+2}}+\frac{9}{10{n+3}}+\cdots = 9\cdot\frac{1/10{n+1}}{1-1/10}= 9\cdot\frac{1/10{n+1}}{9/10}=\frac{1}{10^n}. Por lo tanto, esta suma, lo que hace es sumar una unidad a la posición decimal enésima.

Pero este hecho tampoco es exclusivo del sistema decimal. Si trabajamos en binario, es igualmente sencilla comprobar que 0,111\dots=1; si trabajamos en base 3, entonces 0,222\dots=1; y, en general, si trabajamos en base n+1 (para un natural n cualquiera) se tendrá que 0,nnn\dots=1.

Y para finalizar, querría darle la vuelta a la tortilla. Me explico. Estos casos se deben a expresiones decimales, pero… ¿qué pasaría si escribiéramos un número formado por infinitos 9s? es decir, ¿cuál sería el último término (el límite, hablando matemáticamente) de la siguiente sucesión? 9,\,99,\,999,\,9999,\,99999,\,999999,\,9999999,\cdots. Vamos a tratar de calcularlo.

Vamos a ponerle nombres a las cosas. Sea {\dots}99999=x, esto es, infinitos 9s uno detrás de otro. Si multiplicamos este número por 10, habrá que añadirle un 0 al final del número, es decir, \dots99990=10x. Si ahora restamos el segundo del primero resulta que -9=9x, por lo que x=-1. Toma ya! Según esto, el número más grande que uno podría tratar de escribir (bueno, al menos si tienes cierta edad) es, el -1.

Bueno que nadie se asuste, porque aquí hemos hecho algo de trampa. En realidad hemos dicho (aunque de forma oculta) que 1+10+100+1000+\cdots=\frac{-1}{9} o dicho de una forma más matemática, hemos utilizado la expansión en series de potencias de la función \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n para valores x\ge 1 que, tal y como asegura el Teorema de Hadamard, no es posible (el radio de convergencia de la anterior serie de potencias es exactamente 1).

Básicamente, éstos son los peligros de jugar con el infinito. Por cierto, los matemáticos, para poder hablar de la unicidad de la expresión decimal de un número real en un sistema de numeración posicional, suelen incluir una regla/axioma que dice que el dígito más grande posible (el 9 en el sistema decimal, el 1 en l binario, el 2 en base 3 o n en base n+1) nunca puede aparecer como periódico puro al final de una expresión decimal.

Fuentes:
Wikipedia Inglesa
Un twitt de James Tanton
Mi puto cerebro matemático

37 Comentarios

Participa Suscríbete

Miguel ItoMiguel Ito

Pues si te sientes muy tonto, aún tienes posibilidades de ser licenciado, doctor y lo que haga falta. Simplemente se trata de encontrar el lugar adecuado donde hacer carrera.

Pues vente a la Facultad de Ciencias de Ourense, te dedicas a plagiar (por ejemplo, de chinos) y llegarás a decano… o incluso a vicerrector. Y en el peor de los casos simplemente te doctoras en Ciencias (eso sí, con premio extraordinario) y te nombran miembro de la Comisión de Garantía de la Calidad.

Para más detalles:
http://naukas.com/2012/01/07/desenla...ad-de-vigo/

http://www.youtube.com/watch?v=YjtSdvBQpK8
http://www.youtube.com/watch?v=KnO7zPnzq8w

Saludos.

MikelodeonMikelodeon

Hay algo que está mal explicado, o que yo no he entendido:
la expresión …99990=10x y la expresión -9=9x no son equivalentes, verdad? No entiendo cómo has llegado de una a la otra.
A mí me da que
9x=899…991

BloodStarBloodStar

la expresión …999990 = …9999 x 10
Si llamas X a …9999
…999990 = 10 x X = 10X

Por un lado tienes ….99999 = X
y por otro …99990 = 10X

Restas una ecuación de otra y te queda:

….999990 – …99999 = 10X – X

Con lo que queda:
-9 = 9X

Y entonces X = -1

Ten en cuenta que los puntos suspensivos son infinitos 9’s.
Es la “magia” del infinito xD

MikelodeonMikelodeon

Te repito lo mismo que al amigo antuan. El razonamiento me parece absurdo, y de ahí la conclusión absurda de que X=-1 sea el número más grande que se pueda escribir.

Cuando para obtener X sigues un razonamiento que no tiene ni pies ni cabeza, es obvio que la X obtenida no tendrá ni pies ni cabeza.

NoelilloNoelillo

Vamos lo que quiero decir es que en un universo en base diez, al multiplicar por diez, el infinito siemper va a tener imagino un orden(con orden digo eso de decenas, centenas, unidad de millar..y tal del telecupon) superior, no asi igual multiplicado por 2, pero si por la base…no?

ni idea, aparte de que hablar sobre infinitos, si vale, siempre son infinitos… pero como no hay coma ni periodo… me cuesta entenderlos como tales!

Salu2

NoelilloNoelillo

Perdon este iba debajo del mio como continuación, no respondia a eso lo siento.

José MaríaJosé María

Pues yo estoy con Mikelodeon,

este argumento tiene más trampas que una película de chinos. Me parece que hace uso de términos que no están bien definidos. Quiere definir números naturales con un número infinito de cifras, que a la vez representen un valor concreto, para poder aplicarles la multiplicación y la resta, pero no me cuela que esas operaciones estén definidas para esos números con un número infinito de cifras y que tengan el mismo significado que con los números naturales “corrientes y molientes” de un número finito de cifras.

NoelilloNoelillo

No estoy yo tan seguro y seguramente sea porque no lo entiendo bien… la verdad desde la ignorancia mas absoluta…el …99990 al ir multiplicado por diez.. siempre tendria un digito mas no? osea…si simplificamosx=99

…990-99 –> 891

9x = 891 -> x = 99, loq ue era al principio

No quiero decir que este mal, mas bien que hay algo de las series que igual se ha saltado, o algo de mi planteamiento que es erroneo, nose.

Saludos!

+2 (por poner matematicas que se suelen siempre echar a un lado, nose porque se demonizan las formulas)

MikelodeonMikelodeon

Claro, eso sí tiene sentido. El mayor número que se puede escribir es, obviamente, un número de infinitos nueves, y no -1.

OrlandoOrlando

Disiento ligeramente. En efecto, el mayor número que se puede escribir es un número infinito de nueves, pero (y este es mi pero) A AMBOS LADOS de la coma decimal. …9999,999…. es mayor que …999.

Si igualamos …999,999… a X y multiplicamos por 10 queda …999,999…=10X, y si restamos de la segunda expresión la primera queda que 0=10X, y por tanto X=0.

Es decir que el mayor número que se podría escribir, según el razonamiento anterior, sería 0 y no -1.

0 (0 Votos)
Francis

Bonita entrada Tito, que me ha recordado a Ramanujan.

Como bien sabes, cuando Ramanujan envió sus artículos a occidente le criticaron porque contenía expresiones absurdas, como

1+2+3+4+… = -1/12

Sólo el genio de Hardy se dio cuenta de que Ramanujan estaba utilizando continuaciones analíticas de las series en el plano complejo y que estas series son valores de la función zeta de Riemann

zeta(-1) = 1/(1/1) + 1/(1/2) + 1/(1/3) + … = -1/12

Recuerdo a los boquiabiertos que

zeta(s) = 1/(1^s) + 1/(2^s) + 1/(3^s) + 1/(4^s) +

y que continuación analítica significa, grosso modo, que s se toma como variable compleja.

Tito Eliatron

Pues no recordaba que procedía de Ramanujan… pero de eto también hablé en mi blog http://eliatron.blogspot.com/2010/04...rir-en.html
Me encanta. A veces les cuento estas cosas a mis alumnos de primero de Química… sólo por ver la carita que se les queda.
Después les digo que esto son los peligros de jugar con el infinito.
Que para jugar con el infinito, hay que hacerlo bien, como Gauss.

Francis

La verdad es que no si Ramanujan fue el primero en escribir estas expresiones “absurdas” para los valores de la función zeta de Riemann. Pero todas las biografías de Ramanujan comentan las exclamaciones de los matemáticos a los que él les envío sus trabajos repletos de fórmulas absurdas provenientes de “matemático” autodidacta.

antuanantuan

Mikelodeon, yo he entendido que para que salga -9, debería (como así es) haber infinitos 9 a la izquierda, luego tienes …990 – …999 = -9.
Entiendo que se ha asumido una de aquellas indeterminaciones de infinito menos infinito (qué recuerdos de la carrera…).
Un saludo!

MikelodeonMikelodeon

A ver, si como dice Eliatron el número de infinitos nueves es x …999=x
y multiplicamos por 10 la x: 10x=…9990 se añade un cero al final del número x.
luego si a ese número 10x le restas una x, queda 9x que es igual que ….9990-…999 pero eso no es -9, sino 899…(infinitos nueves)…991, porque 10x es 10 veces mayor que x.
Sé que es una indeterminación infinito-infinito, pero es obvio que en nuestro caso no es nada indeterminado. Tenemos un infinito exactamente 10 veces mayor que el otro (porque así lo hemos definido). Es absurdo, para mí, pensar que puedes restar un infinito a otro infinito 10 veces mayor por definición y que el resultado sea negativo y real. Vamos, no le veo sentido alguno.

Tito Eliatron

Llamad x al número formado por “infinitos” 9s.
Si un número lo multiplicas por 10, lo que se hace es ponerle un 0 al final, luego 10x no es más que un número formado por infinitos 9s, y un 0 al final (en las unidades), por lo que 10x

HUBHUB

A ver si yo me aclaro porque la neurona que me queda, esta mañana, no se ha despertado aún.
Si tu tienes infinitos 9s a la izquierda e intentas poner un cero a la derecha, una de dos, o el último 9 de la izquierda se cae, o no había infinitos 9s porque aun cabía uno más.
Es decir a la izquierda ¿había infinitos 9s o cabía uno más?
¿Si pongo una coma y pongo a la derecha otros infinitos 9s? ¿caben en la misma línea infinitos 9s a la izquierda y otros infinitos 9s a la derecha? ¿queda sitio para la coma?
¡Que lío!
Me he mirado al espejo y he visto la carita de los de primero de química que decíais antes: ¡Asustao!

Tito Eliatron

En efecto, amigo HUB.
en matemáticas, “infinito+1=infinito”
o más frmalmente, existe una biyección entre el conjunto de todos los naturales {1,2,3,4,…} [latex]{\mathbb N}[/latex] y el conjunto de todos los números naturales.. y uno más {0,1,2,3,4,…}. [latex]{\mathbb N}\cup\{0\}[/latex]
Te recominedo que intenetes comprender la paradoja del Hotel Infinito de Hilbert.

HUBHUB

Gracias Tito Eliatron. Me ha gustado la paradoja del Hotel de Hilbert. No la conocía.
Me gusta la parte filosófica del tema pero la parte matemática es durilla, al menos para mí.

José MaríaJosé María

Por tanto, 1 = 0. Como infinito + 1 = infinito, entonces infinito +1 = infinito + 0, y restando infinito de ambos términos, 1 = 0.

¡Tachán!

Tito Eliatron

Por supuesto, pero prefiero uina demostración más elemental que no requiera el uso del tna peligroso Infinito.
Como ya se ha demostrado que 4=5, restando 4 a cada lado de la igualdad, se deduce que 0=1, o lo que es lo mismo 1=0.

SamuSamu

Gracias por la entrada.

La respuesta al limite de la sucesión planteada es mucho mas sencilla. La sucesión dada por 9, 99, 999, 9999, ….. es divergente. Para ello basta convencerse de que para cualquier numero real siempre existe un termino de la sucesión mayor que este.

Ahora vamos a ir un poco mas allá. Si tenemos un numero real, este puede ser irracional (y por tanto tendrá una expresión decimal infinita y no periódica) o racional.

En el caso de ser racional, puede tener una expresión decimal finita o infinita (aunque en este caso debe ser necesariamente periódica o seria irracional). Ahora si la expresión es finita siempre podemos cambiarla por otra infinita (restando uno al ultimo termino y añadiendo nueves, por ejemplo 1.5=1.499999… como bien dices)

Por tanto todo numero real tiene una representación decimal con infinitos términos no nulos. Genial no? (Ojala fuera al contrario y siempre existiera una representación finita, ¿es esto posible?)

También ahora podemos pensar que ocurre si en vez de números reales trabajamos con otros números, como los racionales. O mejor todavía con los enteros.

Pues resulta que sobre los enteros no podemos hacer estas artimañas, y todavía mas, la representación decimal, es única. :)

Luego sigo que tengo que irme a clase 😛

Tito Eliatron

Por descontado que el límite de la sucesión es +infinito… es sólo, como decimos los matemáticos, un Cálculo Formal.

Pero vamos, que con cálculos formales semejantes se prueba que 1+2+3+4+…=-1/12… y eso es lo que dice, al final, la función Zeta de Riemann.

MelMel

Recuerdo una vez que intenté explicar a un grupo de personas que 0,99999… =1 . Madre mía… fue complicado. Creo que al final conseguí convencer a alguno de ellos con la frase “Si no hay ningún número posible entre dos números es que esos dos números son mismo número.”

inFANTAlimoninFANTAlimon

A mi asi tambien me has convencido!!
Perfecta la humanizacion 😉

RobertRobert

la demostración mas sencilla de 0.999999…….= 1 es la de:

0.333333333….. = 1/3
1/3 + 1/3 + 1/3 = 1

saludos

gabrigabri

bueno… exactamente 1/3+1/3+1/3 = 0,999… = 3 * 1/3 = 0,999… ≈ 1

Eso de igualar 3/3 a uno me parece mas una cuestion poco precisa (si tienes 3 trozos de tarta y te los comes, te has comido la tarta entera – sin contar que a la hora de cortar los trozos te han quedado migas en el plato). Y lo de decir que como no hay numeros entre el 1 y el 0,99… prueba que son iguales me parece una explicacion bastante poco rigurosa D:

No me parece correcto, aunque haya “demostraciones” que lo prueben.

No se, no soy matematico.

PD: 8/8 = 1 (1/8 = 0,125 * 2 = 0,25 * 4 = 1)
9/9 ╪ 1 ( a pesar de que haya calculadoras – vease, la de mi prima de 6 años – que afirmen que 9/9 = 1)

TitoTito

Como la versión de de Robert pero como me la enseñaron a mi:
1=(1/3)*3
1=(0.333…)*3
1=0.999….

Suso

Muy interesante. El tema del infinito que se convierte en 9 me ha recordado a lo que ocurre en electrónica digital: Si le sumas 1 al entero más grande (con signo) posible obtienes… -1. Es decir, si trabajas con enteros de 16 bits te puedes encontrar con que 32767 + 1 = -1 (0111111111111111 + 1 = 1000000000000000). Esto es debido a que el bit más alto representa el signo y los negativos se representan como el complemento a 2 del valor absoluto. Si el sumas 1 al positivo más grande se produce un desbordamiento y el número que obtienes se representa igual que el -1.
Quizás el paralelismo es un poco forzado, pero lo de el infinito que se convierte en -1 me lo ha recordado.

HUBHUB

Esta noche he soñado que me presentaba en la recepción del hotel infinito de Hilbert cuando ya había acabado toda la problemática. Había una perfecta biyección entre los infinitos clientes que me habían precedido y las infinitas habitaciones de cada uno de los infinitos hoteles que había en infinitos lugares y así hasta el infinito. “Ningún problema –me dijo el recepcionista-. Suponiendo que no hubiera habitación para Vd o los de su clase ( yo no sabía muy bien lo que quería decir ) haríamos otra clasificación, ya sabe que si pares, primos etc… eso nos da mucho “potencial” de ampliación . Infinito en realidad.”
Me asignaron mi habitación y me dijo “siga a su botones biyectivo y no se preocupe su línea de de biyección le llevará a su habitación. Una y solo una para usted.”
Dormí mal. Aquello era demasiado grande. Mi mente finita no podía abarcarlo.
En el desayuno, ¡qué lío! Habían puesto un solo bufet infinito y cada uno podía comer lo que quería. Miré de reojo al Manager que estaba en un rincón controlándolo todo. Ante mi mirada de primero de química movío la cabeza hacia un lado y dijo: “biyección”.
Cuando estaba llegando a la vitrina de los bocadillos de choped vi una señora que me avanzaba por la derecha a toda velocidad y, antes de llegar yo, ella ya volvía. Llevaba un bocadillo en la boca y otro en cada mano ¡de choped!. Miré al manager que adivinó mi pregunta en mi aterrada carita como de primero de química. “sí, sí , aquí sí, infinito-1 sigue siendo infinito y -2 también….”
Nunca conseguí llegar a la vitrina. Estaba infinitamente lejos…
Han pasado 36 años desde que conseguí acabar la carrera de Física con sus espacios de Hilbert y todo eso pero cada vez que leo algo sobre estos temas me asaltan las mismas pesadillas.
Mi siquiatra no se lo que anota en su cuaderno mientras me va diciendo “Amazings, Amazings…” una y otra vez…

SauriusmanSauriusman

Aun recuerdo el primer dia de clase. Empiezas con un poco de análisis y te explican los números naturales y los enteros, te ríes del profesor ( a ver, has cogido una carrera de ciencias porque se te dan bien las matemáticas) y de repente te pregunta:¿que grupo es mas grande?. A ti ,que no te la dan con queso, ves que uno solo tiene números positivos y el otro números positivos y negativos y te lanzas a contestar lo obvio: los enteros, viejete, son mas grandes que los naturales. Y entonces ¡Sorpresa! Ademas ese dia, que ya te has llevado tu palito, aparece el profesor de algebra y te dice que eso de sumar… que si, que bien, que sabes hacerlo, pero no es tan facil como pensabas, que vamos a empezar por definir un grupo. Ahí te das cuenta de que las mates ya no son tus amigas, que os habeis distanciado un poco, que antes haciais buena pareja, que tus las querias como eran pero han cambiado y no te queda otra que perdonarle todo y aceptarlas como son en verdad, frias y calculadoras.

3 Trackbacks

Información Bitacoras.com…

Valora en Bitacoras.com: Fuente | Flickr Creative Commons Hoy por hoy muchos de vosotros, lectores, sabréis que, en matemáticas, , es decir, que hay números reales que tienen más de 1 expresión decimal. Este caso no es aislado, pero sí es cierto que …..

Deja un comentario

Tu email nunca será mostrado o compartido. No olvides rellenar los campos obligatorios.

Obligatorio
Obligatorio

Puedes usar las siguientes etiquetas y atributos HTML: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>