La física de la peonza celta o “rattleback”

http://www.youtube.com/watch?v=CJzRuprW_cc

Es mío, sólo mío, … mi tesoro,” afirmó con voz de Gollum uno de los colaboradores de Amazings para retar a los demás a explicar cómo funciona su “rattleback” sin utilizar las ecuaciones de Euler para una peonza.

He recogido el guante y espero poder dejar satisfechos a todos los que tras ver el vídeo de youtube que abre esta entrada sientan cierta inquietud, cierta desazón, ¿viola la peonza celta la ley de conservación del momento angular? ¿Cuál es el secreto de la peonza celta? ¿Puedo fabricarme una peonza celta casera?

Para explicar el funcionamiento de la peonza celta del vídeo utilizaré el sistema de ejes mostrado en esta figura [vídeo de youtube aquí]. El punto G es el centro de gravedad y se encuentra dentro de la peonza, el plano horizontal GAB es paralelo a la mesa en la que se apoya la peonza y presenta una sección elíptica, y los ejes GA, GB y GC son perpendiculares entre sí.

Al empujar hacia abajo la peonza en el punto A se pone a cabecear (oscilar hacia arriba y hacia abajo rotando con respecto al eje GB) y casi de inmediato se pone a rotar en sentido antihorario (en la dirección de B hacia A). Si ponemos a girar la peonza respecto al eje vertical GC en sentido antihorario (en la dirección de B hacia A) continuará girando cierto tiempo hasta acabar parando debido a la fricción con la mesa. Pero si ponemos a girar la peonza respecto al eje vertical GC en sentido horario (en la dirección de A hacia B) acabará parándose, se pondrá a cabecear respecto al eje GB e invertirá el sentido de giro. Esta peonza celta tiene un sesgo de giro y prefiere girar en sentido antihorario.

¿Cómo funciona la peonza celta? En la peonza celta hay dos movimientos oscilatorios acoplados que llamaré cabeceo, rotación respecto al eje GB, y giro, rotación respecto al eje vertical GC (también hay alabeo, rotación respecto al eje GA, pero no me detendré en él para no complicar mucho la descripción). El cabeco y el giro son dos oscilaciones acopladas y cuando dos osciladores están acoplados hay una transferencia de energía de un oscilador a otro y viceversa. El ejemplo más conocido son dos péndulos acoplados por una cuerda que no esté fija (aquí hay un vídeo de youtube que lo ilustra). Un péndulo está en reposo y ponemos en movimiento el otro. El péndulo parado se pone poco a poco en movimiento mientras el otro casi se para; gracias a la cuerda que transmite energía de un péndulo al otro, el proceso se repite varias veces hasta que al final el rozamiento hace que se paren ambos péndulos.

Una cosa que no se ve bien en el vídeo de youtube que abre esta entrada, porque la peonza celta gira demasiado rápido al principio, es que la peonza también cabecea mientras gira. Este cabeceo resulta imperceptible porque su amplitud es muy pequeña. Conforme la amplitud del cabeceo crece el giro va perdiendo velocidad angular hasta llegar a pararse cuando el cabeceo alcanza su máxima amplitud. En este momento se invierte la dirección de giro de la peonza y el cabeceo pierde amplitud conforme la peonza aumenta su velocidad angular de nuevo. Para observar el cabeceo durante el giro es necesario construir un peonza celta de gran tamaño, como hicieron A. García y M. Hubbard en 1988. Estos investigadores desarrollaron un modelo matemático simplificado de la peonza y lo compararon con resultados experimentales (recomiendo dicho artículo a los profesores de física y mecánica de sólidos que lean esto).

¿Por qué están acoplados el giro y el cabeceo? Ya en 1896, G.T. Walker analizó los requisitos que debe cumplir un objeto capaz de revertir su giro: (1) la superficie del objeto en contacto con la superficie plana de la mesa no debe tener simetría esférica (suele ser una forma elipsoidal con dos radios de curvatura); y (2) la distribución de masa del objeto debe ser asimétrica con respecto a los ejes de simetría del objeto. El primer requisito garantiza que haya un eje natural para el cabeceo y el segundo requisito es necesario para que el cabeceo y el giro estén acoplados.

Por tanto, el gran secreto de la peonza celta es la distribución asimétrica de su masa (lo que en la figura de arriba se indica con las dos bolas metálicas insertadas en la peonza). La inercia de un objeto es lo que se hace que se oponga al movimiento. Para un movimiento rectilíneo la inercia es la masa, pero para un objeto en rotación la inercia se mide por una magnitud física llamada momento de inercia que se representa por una matriz simétrica (en física decimos que es un tensor) porque la inercia depende del eje de rotación que se considere (un cuerpo general se opone a rotar de forma diferente según el eje de giro considerado). El momento de inercia de la peonza celta respecto a sus tres ejes de simetría (GA, GB y GC) se escribe como:

Cuando la distribución de masa (la densidad) tiene los mismos ejes de simetría que la peonza, el momento de inercia será una matriz diagonal.

Pero en una peonza celta hay una asimetría en la distribución de la masa (para los físicos diré que cuando los ejes principales del momento de inercia no coinciden con los ejes de simetría de un objeto se dice que hay una asimetría inercial). Para la peonza celta de la figura de arriba se cumple que:

Por lo que los movimientos de cabeceo (rotación en el eje GB) y giro (rotación en el eje GC) están acoplados y uno de ellos podrá excitar al otro. Hay que destacar que debido a este acoplamiento el punto de apoyo de la peonza celta en la mesa no está fijo y cambia conforme gira y cabecea.

¿Por qué se invierte el giro de la peonza celta en un sentido y no en el otro? Esto es más difícil de explicar sin entrar en detalles técnicos y está relacionado con la estabilidad del acoplamiento entre el cabeceo y el giro. Puede ocurrir que sea estable sólo para el giro en un sentido e inestable en el otro sentido, pero también puede ocurrir que sean estables los giros en ambos sentidos. De hecho, hay peonzas celtas capaces de invertir el giro en ambos sentidos y que muestran varias inversiones antes de detenerse cuando se las pone a girar a gran velocidad. Para los físicos interesados en más detalles recomiendo consultar el artículo de Sir Hermann Bondi (1986) que clasificó todos los modos de oscilación lineales de una peonza celta en función de su estabilidad. La estabilidad de las oscilaciones también es discutida por A. García y M. Hubbard en 1988 que destacan la importancia del rozamiento en el punto de apoyo móvil de la peonza celta que gira y cabecea.

¿Por qué se llama “celta” a la peonza celta? Porque se han encontrado peonzas celtas hechas de piedra en muchos yacimientos arqueológicos celtas. Abajo se muestran tres ejemplos extraídos del libro de Harold Crabtree, “An Elementary Treatment of the Theory of Spinning Tops and Gyroscopic Motion,” 1909, lectura obligada para todos los interesados en las peonzas, los trompos y los giróscopos. De hecho, en inglés a la peonza celta se le llama “celt,” aunque A.D. Moore (Universidad de Michigan) la bautizó en 1972 como “rattleback,” nombre que popularizó un artículo de Jearl Walker (1979) en Scientific American (en español en Investigación y Ciencia). Este artículo es muy recomendable para todos los interesados en fabricarse su propia peonza celta.

Por cierto, la piedra A no es un peonza celta es una piedra convencional; la piedra B es una peonza celta sin sesgo de giro y es capaz de invertir su giro en ambas direcciones; y la piedra C es una peonza celta con sesgo de giro (prefiere girar en sentido antihorario, desde A hacia B).

En rusia se han fabricado peonzas celtas de madera con dos tortugas pequeñas que pueden girar para introducir la asimetría inercial necesaria para su funcionamiento. La dirección de rotación preferida por estas peonzas celtas es siempre la apuntada por las cabezas de las tortugas (recomiendo este vídeo de youtube a partir del minuto 1:13).

¿Cómo fabricar una peonza celta casera? No tienes que fabricar ninguna, cualquier teléfono con mango curvo actúa como una peonza celta (como muestra este vídeo de youtube). Ahora bien, si tu teléfono es de mango plano, puedes fabricarte una peonza celta con una cuchara de plástico y dos clips, como indica la figura de arriba. Hay otras maneras que requieren un poco más de habilidad (como la de este vídeo o la de este otro). Por supuesto, si eres manitas con la ebanistería te recomiendo que te fabriques una peonza celta con forma de barco como ésta o como estos otros (las maderas de diferente tipo tienen diferente densidad y permiten lograr la asimetría inercial).

Y recuerda, pon un trompo en tu vida, disfrutarás como Bohr y Pauli en esta foto (donde están jugando con una peonza invertible).


11 Comentarios

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MelMel

Irónicamente, es el punto de la peonza en el que cuanto más cerca le des con el dedito la peonza se inmuta menos.

DiegoDiego

Que interesante!
Una pavada que quería sumar es que puedes apuntar directamente el tiempo en el link de youtube. Sólo agrega &t=91 (91 segundos para este caso).

Saludos!

gt7h1gt7h1

Muy interesante, aunque debo confesar que mi lectura iba acuciada por el pensamiento “bien, ¿pero cuándo llego a cómo me hago una?”.

En otra cosa, El octavo párrafo termina con: “El momento de inercia de la peonza celta respecto a sus tres ejes de simetría (GA, GB y GC) se escribe como”, seguido de un espacio en blanco y el siguiente párrafo. ¿Falta algo allí? También en el siguiente párrafo hay unos paréntesis que no tienen nada en medio. No sé si es sólo a mí a quien no le sale (si es que debe haber algo). Por si acaso, lo señalo.

Francis

Ya está arreglado. La ley de Hawking (una ecuación reduce a la mitad el número de lectores) hizo que las ecuaciones desaparecieran de la primera versión publicada. Ahora han vuelto a aparecer.

psicopsico

Además del teléfono se puede dar vuelta una tortuga y sucede lo mismo…

omalaled

Sólo me da rabia una cosa: notar lo oxidado que estoy en mecánica.

Me ha encantado. ¡Y sin ecuaciones de Euler! :-)

Enhorabuena.

Salud!

Francis

Como prueba de fuego para comprobar si has desoxidado bien tus conocimientos de mecánica puedes superar el siguiente test: entender la figura 1 del artículo de Bondi ( http://www.jstor.org/stable/2397977 ).

Y recuerda, el buen desoxidador que desoxidice sus oxidados conocimientos de mecánica buen desoxidador será.

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