Cada uno en su región y Voronoi en la de todos

Diseño de | Raquel Garcia

Estudié matemáticas, sí, por lo de la belleza suprema, ya saben, a cada uno le da por algo.

Pues bien, todo son risas y geometría computacional hasta que la profesora de tu vástago te pide que vayas a clase a contarle a los niños de 3 años a qué te dedicas.

Claro que existe la opción de decirles que eres profesora, como su ‘seño’ y que enseñas cosas de los números y de los triángulos, cuadrados y círculos. Pero no es eso lo que hago, ¡eso es mucho más difícil!.

Así que, entendiendo que los niños tienen muy clara la proporción directa entre proximidad y pertenencia, me lié la manta a la cabeza y decidí hablarles sobre Diagramas de Voronoi (contando con la experta e inestimable colaboración del padre de la criatura, mi santo, matemático también).

¿Qué es un diagrama de Voronoi?

Pues… es una descomposición de un espacio métrico en regiones, asociada a la presencia de objetos, de tal forma, que en dicha descomposición, a cada objeto se le asigna una región del espacio métrico formada por los puntos que son más cercanos a él que a ninguno de los otros objetos.

Lo que se dice dividir el espacio en tantas regiones como puntos u objetos tengamos de tal forma qu ea cada punto le asignemos la región formada por  todo lo que está más cerca de él que de nadie.

Por ejemplo, si tenemos un conjunto de 8 puntos en el plano euclídeo,  su diagrama de Voronoi es una partición del plano de este estilo:

Ante la presencia de un nuevo punto, por ejemplo, el verde en la siguiente figura, es inmediato reconocer cuál de los 8 originales es el más cercano a él. El punto generador de la región en la que ha caído.

Esta propiedad del Diagrama de Voronoi tiene aplicaciones inmediatas, tales como encontrar el ‘restaurante’ de comida rápida de alguna famosa cadena más cercano a tu ubicación, por ejemplo, si andas de paseo por París

Pero, claro, ésta no es la forma, posiblemente, de plantearlo en la clase de tres años. Para ellos lo planteamos como una cuestión de propiedad de caramelos.

«Imaginaos» les dije «que los Lunnis están en el patio del recreo, cada uno en un sitio. Y que de pronto, alguien descubre un caramelo, como en esta figura»

«¿De quién es ese caramelo?»

Como era de esperar todas las respuestas fueron inducidas por la ley  de ‘del que esté más cerca’. Pero había dudas entre Lucho (el amarillo), Lublú (el azul) y Lubina (la bruja), que eran los tres más próximos.

Era mi momento.

El diagrama de Voronoi sirve para dividir el patio en regiones, de forma que cada Lunni sabrá que todo lo que esté en su región está más cerca de él que de ninguno de sus amiguitos.

«Vamos a construir el diagrama de Voronoi del patio de los Lunnis, a ver quién se queda el   caramelo»

«¡De Lucho!» gritaron todos, algunos arriesgando las paredes de las venitas de sus cuellos. Luego seguimos ‘lanzando’ caramelos en distintas regiones y ellos gritando el nombre del agraciado.

No sé si alguno recuerda algo de aquel día, pero parecían pasárselo bien.

Ahora bien, aparte de resolver conflictos en el patio de un colegio o de orientarte en la búsqueda de una hamburguesa, ¿qué son y para qué se utilizan los diagramas de Voronoi?

En primer lugar, dejadme que os cuente que esta estructura que recibe el nombre de Georgy Voronoi, matemático ruso, también es conocida con los nombres de Polígonos de Thiessen (en honor de Alfred Thiessen, meteorólogo estadounidense) o Teselación de Dirichlet (por el matemático Gustav Lejeune Dirichlet). Y seguro que muchos más, puesto que es una estructura tan lógica e intuitiva que aparece cada vez que uno se plantea cuestiones relacionadas con problemas de proximidad.

Pero aunque mi contacto con los diagramas de Voronoi está ligado al estudio de Geometría Computacional, disciplina relativamente joven, hay autores que señalan el uso de la citada estructura en trabajos de Descartes de 1644 sobre el cielo, cuando afirmaba que el Universo estaba plagado de éter y materia y  formado por vórtices.

Eso sí, sin duda, desde el punto de vista histórico, una aplicación del diagrama de Voronoi digna de mención, aparece en el análisis de John Snow, para muchos el padre de la epidemiología moderna, del brote cólera que azotó Londres en 1854.

Por aquel entonces  no se conocía con exactitud la etiología ni el método de trasmisión de la citada enfermedad, y se debatían entre dos posibilidades: el contagio por contacto con el enfermo, sus ropas y/o pertenencias; y la teoría miasmática que atribuían la trasmisión a condiciones atmosféricas, como los vientos. Snow usó el método geográfico deduciendo que la causa de la enfermedad era el consumo de aguas contaminadas por heces. Para ello, en un mapa, señaló la distribución de muertes por cólera.

A continuación, estudió la distribución de las fuentes de agua potable de la ciudad y delimitó las regiones de Voronoi de cada una de esas bombas. Calculando la distancia entre la residencia de cada difunto y la bomba de agua más cercana, llegó  a la conclusión de que la zona afectada más por el cólera correspondía con la región de Voronoi asociada a la bomba de Broad Street, ya que   en su región se dieron 73 de 83 casos.

Tras retirar la manija de la citada bomba, el brote de cólera se extinguió. Ea, para que digan que las matemáticas no sirven para nada… Eso sí, Snow no le llamaba regiones de Voronoi por varias razones, entre otras, porque Voronoi no había nacido.

Desde entonces y hasta nuestros días, el diagrama de Voronoi en 2 y 3 dimensiones ha sido utilizado en campos muy diversos. Vamos a ver algunos de ellos.

Fijaos que por ejemplo, en Robótica, si tenemos una escena con obstáculos  en las que un robot deba moverse, una forma de evitar las colisiones sería diseñar la trayectoria del robot sobre las líneas del diagrama de Voronoi  de los obstáculos, con lo que se movería siempre a medio camino entre dos de ellos.

Fuente | Imagen

En la figura anterior, los obstáculos, en rojo, y las líneas punteadas azules, los límites de las distintas regiones de Voronoi de los mismos (sí, también se puede calcular el diagrama de Voronoi de otros objetos que no sean puntos). Si el robot camina por las líneas azules, no habrá colisión.

Esta misma estrategia podría ser utilizada en diplomacia para ‘pasear’ entre intereses enfrentados sin dar lugar a suspicacias, pero no me consta que esté muy afinado el algoritmo…

Una idea similar a la del robot, se propone en un trabajo de C.M. Gold de 2006, planteando el uso de esta misma estructura en el ámbito de sistemas de información geográfica, utilizando, de nuevo, las aristas del diagrama para evitar la colisión con los accidentes geográficos.

fuente | Imagen

Otra aplicación de este diagrama, por ejemplo, es el cálculo del mayor círculo vacío.

Imaginemos que los puntos representan núcleos urbanos y que queremos ubicar un servicio indeseable, algo que nadie quiere tener cerca, no sé, por ejemplo, una central nuclear, una fosa de purines o una hamburguesería de alguna cadena popular. Hombre, siempre está la alternativa de mandarla al país vecino, pero eso no está bonito. Vamos a restringir el problema, el servicio indeseado, hay que ubicarlo dentro de la envolvente convexa de los núcleos de población. De manera intuitiva, la envolvente convexa de un conjunto de puntos en el plano, es la forma que adoptaría una goma elástica si la soltáramos alrededor de los puntos, en los que hemos calvado puntillas, en la siguiente figura la tenemos en verde:

Observad que los puntos que están sobre la envolvente convexa (en verde) tienen regiones de Voronoi no acotadas, abiertas. Esta propiedad es útil muchas veces, y no tanto otras como se verá más adelante.

(Sobre el cálculo de la envolvente convexa y la filosofía de la Geometría Computacional escribí hace un tiempo esto para Gaussianos)

En ese caso, para ubicar un servicio chungo dentro de la frontera verde, lo que tenemos que conseguir es que la población más cercana a dicho servicio esté lo más alejada posible de el mismo, es decir, maximizar la mínima distancia a él. Esto se consigue ubicándolo en el centro del mayor círculo vacío de poblaciones que podamos dibujar dentro de la frontera verde. Pues bien, ¡tachán!, ese círculo estará centrado en un vértice del diagrama de Voronoi.

Interesante, ¿no? Pues no se vayan todavía, aún hay más.

Vámonos al bosque. Porque también se ha usado el diagrama de Voronoi como herramienta de investigación forestal para analizar y predecir la influencia del espacio ocupado por los árboles en la evolución de un bosque. Mi colega y amigo Manuel Abellanas de la Universidad Politécnica de Madrid, junto a otros investigadores, ha desarrollado VOREST, la herramienta mencionada.

Eso a nivel macroscópico, pero también a nivel microscópico podemos encontrar trabajos que aplican el diagrama de Voronoi a sus investigaciones. Ya desde 1974, F.M. Richards, biólogo estructural en  Yale e innovador en el estudio de las relaciones entre las estructuras de proteínas y sus funciones biológicas, señaló la eficiencia y relevancia de nuestra estructura en 3 dimensiones para la descripción de la estructura de las proteínas.

Entre los numerosos trabajos que podemos encontrar en esa línea, tenemos, por ejemplo, esta herramienta, VORO3D, que permite la visualización en tres dimensiones de la estructura de las proteínas. Para ello, y hablando sin mucho rigor, considera el empaquetamiento de aminoácidos, de forma que cada residuo es representado como un punto del espacio. Como los aminoácidos cercanos a la superficie de la proteína podrían dar lugar a regiones de Voronoi abiertas, se considera la molécula dentro de un recubrimiento de esferas cuyo volumen no difiera demasiado del volumen medio real.

Representación con VORO3D de beta-purotionina

También en Química Computacional, el método de Voronoi Deformation Density (VDD) se usa para calcular la distribución de carga atómica en una molécula, para obtener información sibre sus propiedades químicas.

¿Qué más?

Los huesos. Sí, señor.  A grandes rasgos, en nuestros huesos podemos distinguir dos zonas diferenciadas: el hueso compacto y el hueso esponjoso o trabecular.

Fuente | Imagen

Existen una importante cantidad de trabajos enfocados a  generar modelos en 2 dimensiones que representen la arquitectura trabecular de los huesos, usando diagramas de Voronoi, tomando como puntos en este caso, los centros de los poros del hueso esponjoso.

Fuente | Imagen

Pero aparte de la utilidad de este tipo de estructuras, no me negaréis la belleza y armonía geométrica de las mismas. Belleza que no parece haber pasado desapercibida par arquitectos y diseñadores:

Fuente | Imagen

¿Una ciudad dentro del rascacielos Voronoi?

Fuente | Imagen

Pero un concepto tan natural e intuitivo como éste, el de vecindarios alrededor de algún punto destacada por alguna razón, debe ser encontrado también en la naturaleza, ¿no?

Cuando encuentro formas similares en el ámbito natural me gusta jugar a pensar qué puntos son los generadores de esos posibles diagramas de Voronoi, qué tienen de especial para aglutinar a otros en sus proximidades.

¿Algunos  pelos más gordotes que el resto?

¿Los últimos puntos con algo de humedad?

¿Los puntos más calientes de la superficie del Sol?

¿O el último trozo de hielo?

Tengo que parar en algún momento, pero hay infinidad de aplicaciones prácticas y motivos naturales relacionados con los diagramas de Voronoi. Están ahí fuera, esperando  que los descubráis, ¿a qué esperáis?

Ya me iréis contando, estaré por aquí. O por allí.

PD: Esta entrada participa en la Edición 2.9 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Que no te aburran las M@TES.

120 Comentarios

Participa Suscríbete

Tito Eliatron

POR DIOS BENDITO Y CUALQUIER OTRA DEIDAD QUE SE OS OCURRA:

Mandadle esto a la persona encargada de hacer las Zonas de Proximidad para la elección de Colegios en Sevilla, que parece que están hechas justo al revés que esto.

Tyrion

Me ha encantado el artículo. Desconocía la gran cantidad de aplicaciones prácticas que pueden tener este tipo de teselaciones.

Muy interesante.

Clara GrimaClara Grima

Gracias, César.

¡Me guardo la referencia para contársela a mis estudiantes de GC!

Un abrazo

fingersfingers

Genial artículo. Esto es divulgación y lo demás son tonterías! : )
Felicidades

MarcosMarcos

Otra aplicación más de estos diagramas me la han explicado en la carrera de geología. Allí la llamaban “técnica del krigeado”, si no recuerdo mal, como una traducción de “krigging” o algo así. Se refería a trazar el área (o volumen) de representatividad de un sondeo.
A la hora de hacer una prospección minera de un terreno, se suelen hacer varios sondeos. Entendiendo dichos sondeos como los puntos esparcidos en un mapa (como lo restaurantes de comida rápida descritos en el artículo), el krigeado o diagramas de Voronoi permite partir el terreno en zonas de influencia del conocimiento del terreno según los sondeos (hasta dónde puedes extrapolar lo sondeado en el terreno).
Sin embargo, recuerdo también que la cosa era más complicada, y que había otros modos de dividir el terreno que no fuera trazar la mediatriz de los segmentos de unión de los nodos centrales. Los diagramas de Voronoi se aplican cuando los nodos centrales tienen todos el mismo valor o la misma importancia relativa (como los restaurantes). En sondeos de yacimientos, hay sondeos con mayor riqueza y otros con menor, por lo que el área de influencia de lso de mayor riqueza será mayor que una “celda de Voronoi”.
Y en último lugar, y volviendo a los sondeos, éstos no existen porque sí y luego se traza su área de influencia. Como hacer un sondeo es caro, y se quiere optimizar los gastos, se trata de hacer el menor número de sondeos posibles, por lo que es como si se quisiera hacer el diagrama de Voronoi, y luego establecer lso nodos centrales.
Hablo de memoria y puede que me deje cosas, las haya explicado mal o las haya simplificado demasiado, pero la idea que quiero transmitir es que el método descrito en este artículo también vale para cubicación de yacimientos.

Clara GrimaClara Grima

Muchas gracias, Marco.

Supongo que de lo que hablas es de Diagramas de Voronoi con pesos, dando distinta relevancia a cada punto, también está bastante estudiado.

El otro es un problema de optimización de servicios, que sí es diferente, pero de loa cuales también se ocupa la geometría computacional.

Gracias, de nuevo :)

Ivan Vihe

Sublime, casi el mejor artículo del año 😉

Que pasada, me encanta ver la relación matemáticas – naturaleza. Que grande. A quien no le emocione esto, le falta curiosidad por la vida.

AbraxasAbraxas

¿Es que nadie va a decirlo? Bueno, va:

“una aplicación del diagrama de Voronoi digna de mención, aparece en el análisis de John Snow, para muchos el padre de la epidemiología moderna”

Y para muchos otros hijo bastarde de Eddard Stark, señor de Winterfell.

Javier

Fantástico artículo. En internet donde abunda y nos bombardea la información es destacable cuando uno se lee y disfruta de un post completo como este.

Christian Supiot

Se parece, en cierta medida a la teoría del lugar central de Christaller. http://en.wikipedia.org/wiki/Central_place_theory Aunque este trabaja a nivel teórico sobre áreas de influencia de las ciudades.
En arqueología, cuando se quiere llevar a un plano real, se utiliza, si no me equivoco, un ajuste utilizando a este otro señor. Pero tengo estas cosas muy borrosas, hace mucho que no leo/trabajo sobre análisis del territorio.

Un saludo desde Aqui fue Troya.

Clara Grima

Muchas gracias a todos por los comentarios. A mí me fascinó este tema desde que lo vi y me alegro de ver que vosotros también. Ahora voy en el AVE con mala cobertura, pero me gustaría responder esta tarde más tranquilamente a cada uno de vosotros.

Gracias, de nuevo

Clara Grima

RubenRuben

A mi se me ocurre utilizarlo para la colocación de un local comercial que este lo mas lejos de la competencia posible. Aunque habría que adaptarlo también a otros factores como el flujo de gente

AbraxasAbraxas

Para colocar un local comercial lo mejor es utilizar la teoría de juegos y el equilibrio de Nash.

No solo tienes que buscar un lugar con la máxima afluencia de público, sino también un lugar en el que, cuando la competencia busque el siguiente mejor sitio, siga siendo el mejor sitio de los disponibles 😀

AbraxasAbraxas

Releyendo, veo que lo he explicado fatal. No se trata de buscar el lugar de mayor afluencia sino en el que se puede ganar más dinero. Y no es que siga siendo el lugar donde más dinero se puede ganar una vez llegue la competencia, sino que tras su llegada no digas “habría sido mejor ponerlo en XXX”. Y además tienes que elegir teniendo en cuenta que la competencia también va a utilizar ese método, y no el método “voraz” (greedy) de seleccionar el que aparentemente sea el mejor sitio.

El método es iterativo, sí xD

MigMig

Ya que mencionas la cobertura, también se usan para calcular el área de influencia de las estaciones base en telefonía móvil, de forma que, llegando al límite del área, el teléfono hace un handover a la celda colindante (bueno, lo hacen entre el teléfono y la red, hablando en cuasi-puridad 😉 ).

Me ha encantado el post.

SebasSebas

Hola:
Que buena columna, muchas gracias por las explicaciones, las aplicaciones y, muy especialmente, por mostrarnos el ejemplo que usaste con los niños. En verdad brillantísimo!
Recuerdo una utilización en particular ofrecida por la gente del Observatorio Virtual Español (SVO, en inglés), que permite buscar campos del cielo, sin estrellas de una magnitud (o brillo) determinado, para usarlas de calibración. Estos campos “vacíos” sirven por ejemplo para corregir problemas de iluminación propias del instrumento que son detectables con una iluminación uniforme (por ejemplo, una imagen a una pantalla iluminada con una lámpara, el cielo durante el atardecer o el mismo cielo en una región con estrellas débiles)
Para el programa desarrollado por el SVO (que se llama TESELA), los nodos corresponden a las estrellas y los campos de cielo son las regiones de Voronoi más grandes.
Encontré la charla que vi del tema acá:

http://svo.cab.inta-csic.es/docs/ind...esentations

Clara GrimaClara Grima

Muchísimas gracias, Sebas. Por tu comentario y por la aplicación que no conocía y que explicaré a mis alumnos de Geometría Computacional :)

JordiJordi

Se puede aplicar para crear un mapa de proximidad por carretera de zonas rurales a una ciudad por ejemplo?

AbraxasAbraxas

Para comunicaciones por carretera se utilizan grafos y el algoritmo de Dijkstra. El problema es totalmente distinto porque lo que cuenta no es la proximidad en línea recta entre un punto y cualquier otro sino la distancia entre dos puntos de una red. Y con distancia me refiero a una ponderación (tiempo, distancia, coste, una combinación…). Me pregunto si tendría sentido un diagrama de Voronoi en el caso en el que la distancia no sea la euclidea sino una función de coste… 😛

Clara GrimaClara Grima

Bueno, a parte del algoritmo de Dijkstra, también se usan diagramas de Voronoi para el diseño de carreteras optimizando distancias. Depende de las condiciones de contorno del problema, las restricciones y las necesidades. Es un tipo de problemas bastante complicado y necesita el uso conjunto de técnicas, unas de grafos, otras de geometría computacional, cálculo…

Por otra parte, sí, hay diagramas de Voronoi ponderados, con costes, y con distacias no euclídeas, como, por ejemplo, la de Manhattan http://seispalabras-clara.blogspot.c...hattan.html

Gracias a los 2 por los comentarios :)

Sergio LosillaSergio Losilla

La VDD no es ni mucho menos la aplicación más importante de poliedros de Voronoi en química cuántica: prácticamente en todos los cálculos de DFT (el método más común hoy día) se utiliza para particionar la densidad electrónica en contribuciones atómicas, para poder integrar con precisión funciones escalares. Por fastidiar, tengo una idea para un proyecto para hacer otra partición distinta evitando los poliedros de Voronoi…
¡Muy buen artículo!

^DiAmOnD^

Clara, hija, ¡eres una crack! Gran artículo :).

Los diagramas de Voronoi, al igual que algunas otras cosas que aparecen en el post que escribiste para Gaussianos sobre Geometría Computacional, no aparecieron en ninguna de las asignaturas que cursé en mi licenciatura en Matemáticas. Cuanto más conozco de todo esto más me cabreo por ello…

AbraxasAbraxas

Pues es una pena, porque sí es algo que estudiamos en Ingeniería en Informática. Eso sí, en las optativas. Si te molaba la geometría deberías haber pillado más asignaturas de geometría ;-P

^DiAmOnD^

En mi plan de estudios no había optativas, ni cuatrimestrales, eran todas obligatorias y anuales. El plan comenzó a impartirse en 1973 y estuvo así hasta el año 2000.

AbraxasAbraxas

Pues que putada, la geometría es mi parte favorita de las matemáticas :S Me parece con mucho la más bonita 😛

Vamos a aprovechar la coyuntura y pedirle a Clara alguna recomendación 😉

FranFran

Mi más sincera enhorabuena, gran artículo, gran explicación y gran elección del tema.

manulesteinmanulestein

También se utiliza en física del solido para calcular la primera zona de Brillouin y la celda Wigner-Seitz en una estructura cristalina, para de esta forma poder aplicar el teorema de Bloch. Y creo recordar, como curiosidad, que en el cero absoluto de temperatura los electrones de cada átomo se “encuentran” en ese volumen.

Exseminarista ye-ye

¡Muchas gracias por la explicación! No sólo he aprendido, también he disfrutado como un enano (de los del caramelo) leyéndote, así da gusto aprender cosas de éstas.

Salud y saludos.

Luis Luna

Esto es divulgación pura y dura al mejor estilo, te felicito por el gran entradón este para el carnamat y por el coraje y la creatividad de llevar este tema hacia los infantes, digo pudo ser un padre más sin novedad, pero te comprometes y lo haces a lo grande, como decimos aquí en el pulgarcito de américa, la mera mengrambreya
salu2

NicoNico

Qué artículo más súper-bonico.
Se me ocurre que la distribución de las semillas en algunas frutas como la granada, o la chirimoya, también sigue diagramas de Voronoi 3D. Tal vez con eso se consiga tener un máximo de semillas y que cada una de ellas esté rodeada de la mayor cubierta húmeda-jugosa posible que les facilite la germinación una vez estén en el suelo.
¡La naturaleza es sabia!

AbraxasAbraxas

A este respecto, te recomiendo que busques los vídeos de Vi Hart y le eches un ojo al último que publicó ayer mismo 😀

Clara Grima

Muchas gracias a todos por los comentarios y por las aplicaciones que aportáis, algunas las conocía y otras no, pero me las estudiaré!

No podía alargar demasiado la entrada porque tampoco quería aburrir al lector.

Cuando pasen un par de días, tras las celebraciones propias de estas fechas por el nacimiento de Newton, me gustaría contestar más tranquilamente a cada uno de vosotros.

Gracias a todos!

Si Voronoi levantara la cabeza… :’)

ÃdreiÃdrei

Dada una malla cualquiera, como la de la piel de la jirafa, ¿existe siempre un conjunto de puntos del cual es su diargrama de Voronoi?

panta

Hola.
Realmente preciosa la entrada.
Me parece que la idea de los vórtices también aparece en escritos de James Maxwell, el padre del electromagnetismo.

Una duda, cuando hablamos de superficies óptimas, las que adoptan las pompas de jabón ¿son caracterizables con estas propiedades?

Saludos

CinquettoCinquetto

Bua, otra chorrada de matem…. ¡¡OMG, la jirafa!!

What has been seen can not be unseen.

FernandoFernando

Entradas como éstas, son las alimentan a las futuras generaciones a tomar el camino de la ciencia. (El último trozo de hielo… me hizo recordar acerca los glaciares que se derriten en las cordilleras tropicales del Perú). Notable. Gracias.

Carlos S.Carlos S.

Genial! tan bien armado y explicado que me lo leí todo en poco rato… esto sí es divulgación!
saludos desde Asunción, Paraguay

PabloPablo

En nuestro grupo usamos las regiones de Voronoi para clasificar un plano en zonas transitables y no transitables a partir de la observación de la gente que camina por el edificio. Luego ese plano se le enseña a un robot para que sólo circule por aquellas zonas que los humanos utlizan
http://www.jopha.net/waf/index.php/w...itial/45/30

Pablo Rodríguez

Existe también una aplicación en física del estado sólido en la que se aplica el mismo principio que en éstos diagramas pero, por lo general, en tres dimensiones.

Se conoce como celda de Wigner-Seitz y es muy útil para calcular las zonas de Brillouin, relacionadas, hablando pronto y mal, con las propiedades semiconductoras.

Dr. Litos

Aparte de lo interesante del tema en sí (qu elo es, y mucho), me ha alucinado la capacidad de explicarlo con semejante sencillez.

Matemáticas… matemáticas everywhere!

Enhorabuena por el postazo.

JORGEJORGE

EXCELENTE LAS APLICACIONES A INGENIERIA serian incontable por aquello del uso de recursos y planes rectores
Es para seguir investigando … gracias por las ideas
AGRADECIDO

JaviJavi

Qué recuerdos, Clarita. Efectivamente, enseñar círculos y cuadrados es mucho más difícil 😀

VitoVito

Un articulo genial.
Explicaciones asi son las que le dan esa belleza de la que hablabas a las matematicas.
Brillante.

26 Trackbacks

Información Bitacoras.com…

Valora en Bitacoras.com: Diseño de | Raquel Garcia Estudié matemáticas, sí, por lo de la belleza suprema, ya saben, a cada uno le da por algo. Pues bien, todo son risas y geometría computacional hasta que la profesora de tu vástago te pide que vayas …..

[…] En reconocimiento a @Claragrima, por su labor divulgativa de las Matemáticas. Foto: Forum sobre Voronoi Esta entrada fue publicada en geometría y etiquetada distancia, geo computacional, medidas por notemates. Guarda enlace permanente. […]

[…] 2.9: Cada uno en su región y Voronoi en la de todos, de Clara Grima para el blog […]

[…] tenemos la EFICIENCIA, que no es más que justicia material, energética (rendimiento), de espacio (diagramas Voronoi),  y de tiempo. El otro fin básico es la CALIDAD (basada en la ley dialéctica “de la cantidad […]

Deja un comentario

Tu email nunca será mostrado o compartido. No olvides rellenar los campos obligatorios.

Obligatorio
Obligatorio

Puedes usar las siguientes etiquetas y atributos HTML: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>