La magia fractal del número 2

Aleaxis es un alocado diablillo que no para de moverse sin ton ni son, de forma completamente aleatoria. A pesar de su inconsciencia, y precisamente por ella, ejecuta una especie de número de magia fractal. No tiene que contar los pasos que da, ni fijarse en la dirección que toma, ni lo que se está alejando de este o aquel otro punto. Sólo tiene que dejarse llevar y con eso cumple de forma automática con el siguiente plan: Cada N2 pasos que dé, se está alejando solamente N pasos efectivos de cualquier punto arbitrario que tomemos de referencia.

.-Movimiento browniano en tres dimensiones. Su proyección sobre el plano daría el movimiento de Aleaxis. En 3D este movimiento sigue teniendo dimensión fractal 2, en contra de lo que podría parecer, es incapaz de cubrir el espacio | (Fuente Wikipedia).

Con este movimiento, llamado browniano, sería capaz de recorrer todo el plano. Su trayectoria es una línea y como tal su dimensión topológica es la unidad, pero debido a su extremada irregularidad es capaz de llenar una superficie, cuya dimensión sabemos que es 2. Aleaxis se mueve según una trayectoria que llamamos fractal y como es capaz de recubrir el plano decimos que su dimensión fractal es 2. Nos está dando una forma muy intuitiva para comprender los fractales y su llamada dimensión fractal: Son objetos auto similares de una determinada dimensión topológica que debido a su irregularidad ocupan un espacio de mayor dimensión. Esa dimensión mayor se corresponde con lo que llamamos su dimensión fractal.

Realmente, en gran medida todos los objetos reales que miramos y tocamos son fractales. Ocurre que cuando los percibimos realizamos una especie de idealización de los mismos, los dotamos de una perfección y una continuidad que no tienen. Vemos líneas y superficies por simplificación, la realidad es discontinua, está rota y es imperfecta.

Una línea geométrica perfecta, formada por infinitos puntos que se tocan, no existe en la realidad. A esta línea perfecta se le asigna una dimensión con valor la unidad, al igual que a una superficie perfecta se le asigna una dimensión con valor dos. Pero la realidad es que los objetos suelen encontrarse a medio camino entre el punto y la recta o entre la superficie y el volumen perfectos.

Una línea quebrada, como la trayectoria del diablillo, tiene una dimensión topológica igual a la unidad, pero según el grado de irregularidad que presente su discontinuidad a esta dimensión topológica (ideal) se le suma un factor dimensional. La suma de los dos valores nos da su dimensión fractal que normalmente no suele ser entera, aunque no es el caso del movimiento de Aleaxis, tal como hemos visto.

Pero Aleaxis no es un diablillo tan raro, su movimiento es semejante a las trayectorias virtuales de una partícula cuántica: Laurent Nottale complementó la definición de Richard Feynman (1965) y A. Hibbs sobre las trayectorias virtuales típicas de una partícula cuántica, indicando que los caminos cuánticos posibles son, en número infinitos. Y todos son curvas fractales caracterizadas por una propiedad geométrica común: su dimensión fractal es 2.

El tipo de movimiento que realiza Aleaxis, como ya comentamos, se llama movimiento browniano. Fue descubierto por Robert Brown, un botánico escocés que vivió entre finales del siglo XVIII y primera mitad del XIX. Estudió la flora de Australia y Nueva Zelanda y observó el extraño movimiento aleatorio de las partículas coloidales, que ha servido de base para el estudio de la cinética de los gases. El puro azar asociado a la dimensión fractal 2 mueve al inquieto diablillo, golpea a las partículas coloidales y guía el movimiento de las partículas cuánticas en un curioso número de magia fractal.


12 Comentarios

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sargentopezsargentopez

Si sabemos que el continuo no existe ¿por qué seguimos calculando como si existiera? Si el espacio estuviera cuantizado en sus niveles más básicos, la matemática que debería aplicarse sería la de los números enteros. 5/3 no sería 1,67 sino algo asi como 1con probabilidad del 33% o 2 con probabilidad del 67%
Ni idea, pero me da la impresión de que el problema de fondo es que seguimos utilizando las mismas mates de grandes dimensiones en un espacio cuantizado y eso no debería funcionar.

Francis

“El continuo no existe” es una frase que no tiene significado en matemáticas. No se puede aplicar el concepto de “existencia” a las ideas matemáticas. Platón y su “Mundo de las Ideas” no son matemáticas, ni siquiera metamatemáticas, son solo filosofía.

El concepto de continuo es muy útil en matemáticas. Los números reales (la idea “natural” de continuo) tienen propiedades maravillosas de las que carecen los números enteros (la idea “natural” de discreto). La ciencia aplicada (física, química, ingeniería, etc.) necesita de los números reales porque necesita utilizar estas propiedades de los reales; la ciencia aplicada necesita usar el concepto de aproximación, que es muy engorroso de definir sin utilizar que todas las sucesiones de Cauchy son convergentes (y ninguna alternativa es “natural”).

César

@sargentopez

Un latino diría “non sequitur” y un castizo “mezclas churras con merinas”. No tienes que ir a las dimensiones de Planck para encontrar cuantizaciones, ya las tienes en un átomo. El problema está en que, si bien los números enteros “separan” los distintos niveles energéticos, su origen está en la continuidad de una función de onda constreñida por paredes de potencial, función descrita para más inri en términos trigonométricos.

Por otra parte no existe una base que te dé los valores posibles de las distintas variables como números enteros. De hecho estamos en territorio “complejo”, donde i, pi y e son reyes.

sargentopezsargentopez

Podemos alargar un número real hasta el infinito. Muy bien. Pero si tenemos un espacio cuantizado ese número no tiene sentido. Intentar hacer cálculos geométricos asi no puede funcionar.
Jugamos con piezas de un lego irrompible. En dos dimensiones se puede ver un ejemplo de lo que pasa cuando se trata de simular geometría gráficamente en un ordenador. Es inevitable que se produzcan errores, un pixel puede estar encendido o apagado, no encendido o apagado en un 74´327 %
Si el espacio está cuantizado, el cálculo más básico debería producir cosas muy raras, como que 2+2 puedan ser 5, 4 o 3

sargentopezsargentopez

que 2 + 2 longitudes de planck sea igual a 3 longitudes de planck no cambiaría de manera perceptible ningún cálculo en tamaño macro y nuestros puentes seguirían sin caerse.

HeHe

Antes que nada, el articulo no me parece que explique demasiado bien nada. Eso sí, no lo voy a negar, sirve como introducción para que la gente se interese y se informe mejor. SI ese es su propósito, creo que lo consigue.

Primero fractal no significa discontinuo. No se de donde se habrán sacado eso pero nada que ver. Es más, un conjunto fractal es aquel que posee simetrías a infinitas escalas, por lo que la única forma de definirlo es a partir de una fracción del mismo que se repite. Y que estas escalas esten cuantificadas (por ejemplo 1/3^n), no significa que el conjunto en sí lo sea, pues el conjunto que surge con un número de iteraciones finitas no es fractal (no más que una aproximación al mismo). Para que se entienda mejor ‘e’ no es 2, ni 2.7, ni 2.71.. es el límite en el infinito de una serie, el resto son meras aproximaciones.

Segundo, la aplicación de los fractales se habre paso en las teorías del caos, turbulencia y fénomenos con atractores extraños (la mayoría en la realidad). Su creciente auge es debido a la ineptitud de las figuras euclidias (soluciones analíticas) para dar respuesta a sistemas reales como los fluidos a altas velocidades. Lo cual no quiere decir que el cálculo este equivocado o no sirva… en su campo de aplicación de sistemas ‘simples’ va a las mil maravillas.

Y por último, el paseo browniano que recorre el plano de dimensión topológica 1 y fractal 2, no es más que una formas extraña de reorganizar los puntos de un plano sobre una línea… no hay más xDDD…

Sin más un saludo a todos ^^

HeHe

Disculpen las faltas ortográficas :S… escribi demasiado rápido y sin pensarlo…

claudàtor

Estoy con He: fractal no significa discontinuo. Los fractales han sido,son y serán muy interesantes y útiles para describir numerosos sistemas reales que la geometría euclidiana no puede “manejar”, como los fluidos que menciona, las longitudes de costa o las copas de los árboles (http://ecoforestalia.blogspot.com/20...ension.html). Pero tampoco veo necesario caer en la “fiebre” de ver espacios cuantizados por todas partes… hay muchos fenómenos que se pueden describir perfectamente como se ha hecho “toda la vida”. De acuerdo que la percepción que tenemos de los objetos es en realidad una idealización de los mismos, pero no se hasta qué punto es cierto eso de que “todos los objetos son en cierta medida fractales”.

Un saludo!

RafaRafa

Efectivamente, creo que hay mucha confusión en el artículo, y He lo explica correctamente. Además, no estoy de acuerdo con que todos los objetos reales en la naturaleza sean fractales: los fractales se crean a base de iteraciones infinitas, y que yo sepa, por el momento no se ha descubierto ni un solo objeto en la naturaleza que cumpla ese requisito. Otra cosa es que haya algunos objetos cuya forma nos recuerda a los fractales, como por ejemplo la costa de un país… Pero en todo caso son infinitamente diferentes…

Javier MeseguerJavier Meseguer

A ver, a ver, admito que es interesante pero “intuitivo” y para explicar un objeto fractal… Primero literalmente no es un objeto “fractal” ya que los objetos fractales expresan su dimensión mediante una fracción, osea que son demasiado grandes para definirlos en una dimensión y la dimensión superior no consiguen llenarla por completo (ejemplo dimensión 3/2, ocupa más de dimensión 1 pero menos que 2 dimensiones) lo bonito de la fractalidad es eso, que esa dimensión extra le da unas características que te hacen sudar la gota gorda cuando quieres medirlos o manejarlos en un estudio si no piensas en ellos como fractales.

Ahora volviendo a lo del diablillo… supongamos que tenemos a 5 observadores en un punto uno es un tipo trabajador y cuenta 4 pasos seguidos mientras que los otros deciden contar 1 paso cada uno y avisan al siguiente para que cuente después. Luego se reunen y el primer observador dice que se ha alejado n^1/2 o 4^1/2 osea dos pasos mientras que los otros dicen que según ellos han visto se ha alejado 1^1/2+1^1/2+1^/2+1^1/2 osea 4 pasos. ¿Como es esto posible? El truco está en que dice “pasos” para que los dos grupos tengan razón los pasos tienen que ser cada vez más pequeños, si no es así es imposible ese movimiento. Bien entonces tenemos dos distancias diferentes los pasos de distancia que se aleja del punto (iguales en magnitud al primer paso y constantes) y los pasos que va dando (que son cada vez más pequeños en una proporción n^1/2 – (n-1)^1/2) pero si cada vez son más pequeños ¿llegará un momento en que no avance? Sí, lo hay, en el infinito no avanza. ¿Entonces como puede llenar un espacio infinito? porque la suma de sus pasos es infinito. Hacemos cálculos nos damos cuenta que cada vez necesita mas pasos para avanzar 1paso inicial 1-3-5-7… osea que las copias aparecen cada 1,4,9,16 por el método de la caja o cualquier método que queramos elegir nos va a dar una dimensión de 2 exactamente “2” osea que este movimiento podría estudiarse mediante el aumento del área de una esfera de radio n (haciendo las conversiones necesarias claro) y quedaría explicado perfectamente. Por tanto dado que es necesario que un objeto fractal no pueda expresarse mediante la geometría clásica el objeto no es fractal.

En cuanto a los objetos reales y su fractalidad… los objetos reales son fractales naturales quiere decir que se comportan en determinadas escalas como un fractal pero están limitadas por arriba y por debajo en su comportamiento fractal. Ahora en el ejemplo de la superficie de una mesa, en escala métrica, decimétrica o milimetrica, dependiendo de como de bien hecha esté ya no es fractal y en la escala atómica tampoco es fráctal dentro de ese rango tendrá sus irregularidades y las irregularidades en las irregularidades y las irregularidades de las irregularidades de las irregularidades pero a escala de como la usamos nosotros se explica mejor con la geometría euclidea. Una fractura en la misma si que sería un buen fractal.

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