El teorema del emperador

En estos momentos en los que la inversión en ciencia en España tiene pinta de seguir la gráfica de una exponencial de exponente negativo es posible que sea interesante recordar que a lo largo de la historia podemos encontrar muchos ejemplos de personajes de las altas esferas de la aristocracia o del gobierno de algún país que han mantenido relaciones muy estrechas con la ciencia en todas sus variantes. Hasta se conocen jefes de gobierno con conocimientos matemáticos interesantes, como James Gardfield, presidente de los Estados Unidos que desarrolló una demostración del teorema de Pitágoras. Pero quizás uno de los más representativos de esta categoría de gobernantes sea Napoleón Bonaparte.

Napoleón Bonaparte, el Emperador de los Franceses, gustaba de relacionarse con lo más granado de las matemáticas de su época. Es bastante conocida su amistad con matemáticos de la talla de Gaspard Monge, Pierre Simon Laplace y Joseph Louis Lagrange, que de hecho llegaron a recibir títulos nobiliarios de Napoleón. Sobre la relación con ellos hay un par de anécdotas relativamente conocidas que vamos a contar.

La primera de ellas tiene que ver con la obra de Laplace Traité de Mécanique céleste. Estaba el matemático francés presentando dicho libro al emperador cuando éste le espetó:

Napoleón: Monsieur Laplace, me cuentan que ha escrito usted este gran libro sobre el sistema del universo sin haber mencionado ni una sola vez a su creador.

A lo que Laplace respondió:

Laplace: Sire, nunca he necesitado esa hipótesis.

Se cuenta también que cuando Lagrange supo de dicha conversación comentó:

Lagrange: Pues es una bella hipótesis, explica muchas cosas.

La segunda tiene que ver con otro matemático amigo de Napoleón: Lorenzo Mascheroni. Al parecer la amistad entre Napoleón y Mascheroni era muy fuerte. Ello, junto con el gusto del emperador por las matemáticas, propició que Napoleón conociera algunos de los resultados de Mascheroni con cierta profundidad. La anécdota viene a raíz de una conversación de Napoleón con Lagrange y Laplace donde el dirigente francés les estaba hablando sobre algunas construcciones de Mascheroni que ellos no conocían. Al parecer Laplace comentó lo siguiente:

General, esperábamos de vos cualquier cosa excepto lecciones de geometría.

Aparte de estas anécdotas, hay un detalle que relaciona a Napoleón con las matemáticas que quizás mucha gente desconozca: Napoleón da nombre a un teorema. Sí, amigos, el denominado teorema de Napoleón existe y es un resultado de geometría plana totalmente serio, aunque quizás su procedencia real no corresponda a su denominación.

El denominado teorema de Napoléon dice lo siguiente:

Teorema de Napoleón

Dado un triángulo plano cualquiera, dibujemos triángulos equiláteros apoyados en cada uno de sus lados y representemos el baricentro de cada uno de ellos. Entonces el triángulo que tiene como vértices a esos baricentros es un triángulo equilátero, sea como sea el triángulo inicial.

Interesante, ¿verdad? Pues más interesante es saber que el teorema también se cumple si tomamos los triángulos equiláteros internos del triángulo inicial, es decir, si los dibujamos hacia adentro.

Y como colofón, tenemos también relación entre las áreas de los triángulos. Concretamente, el área del triángulo inicial es igual al área del equilátero que se forma con los exteriores menos el área del equilátero que se forma con los interiores.

La situación sería algo así como lo que se puede ver en el applet de GeoGebra que mostramos a continuación. Podéis mover los vértices del triángulo inicial (en negro) y veréis cómo los ángulos del triángulo que se forma (en rojo) siempre miden 60º, esto es, que el triángulo es equilátero independientemente de la forma del triángulo inicial. Además, marcando “Triángulos interiores” podemos ver la situación interior, y marcando “Relación entre áreas” podemos ver que la resta de las áreas del equilátero externo y la del interno da como resultado el área del inicial:

En esta página podéis ver demostraciones tanto de la versión “externa” como de la “interna”, así como también de la relación entre las áreas de los triángulos. Y en Cut the Knot tenéis más información y algunas otras demostraciones de este resultado.

Pero no todo podía ser tan perfecto. En realidad el teorema de Napoleón no es de Napoleón, sino del citado Lorenzo Mascheroni, que según la historia es quien lo enunció y lo demostró. La razón por la que ha pasado a la historia con esta atribución parece ser que es la gran afición de Napoleón por las matemáticas y su gran amistad con Mascheroni (llegó a dedicar a Napoleón su obra Geometria del compasso), que le llevaron a estudiar sus libros y a popularizar sus resultados con tanto éxito que, incomprensiblemente, en algún momento se atribuyó este teorema a Napoleón.

Hoy en día todavía sigue habiendo gente que piensa que realmente fue Napoleón el responsable de este teorema, pero la opinión generalizada de los expertos es que, aunque la demostración no es demasiado complicada, el emperador no tenía conocimientos matemáticos suficientes para realizar la pertinente demostración. Lo que no se le puede negar a Napoleón es su preocupación por la ciencia y la educación (por ejemplo, instituyó la educación superior). Bien haría más de uno de los que nos gobierna en tomar ejemplo de él en lo que a estos temas se refiere…


Este artículo es una contribución con la Edición 3,1415 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión soy yo mismo en Gaussianos.

12 Comentarios

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KimKim

Hola, la definicion del teorema es diferente en esta pagina y en la pagina de demostracion. Aqui dice “rectangulos” y en la otra “equilateros”. A primera vista diria que la pagina de demostracion es la correcta. Ambas no pueden ser ciertas simultaneamente.

Pastel JamonPastel Jamon

Nuestros políticos en lugar de imitar las preocupaciones intelectuales de Napoleón se dedican a imitar su nepotismo galopante. Eso es algo que se les da extraordinariamente bien.

busgosubusgosu

La matemáticas son un herramienta, no son el axioma de la realidad

José Manuel

Efectivamente. Las matemáticas no son ciencia, propiamente dicha. No quiere decir que las matemáticas sean en algún modo alguno “inferiores” a, digamos, la física, sólo son algo diferente. En matemáticas no hay contrastación de hipótesis. Ya lo demostró Gödel y sus teoremas de Incompletitud.

José Manuel

Efectivamente. Las matemáticas no son ciencia, propiamente dicha. No quiere decir que las matemáticas sean en algún modo “inferiores” a, digamos, la física, sólo son algo diferente. En matemáticas no hay contrastación de hipótesis. Ya lo demostró Gödel y sus teoremas de Incompletitud.

busgosubusgosu

¿Conoces otra herramienta que no sea las matemáticas para representar las hipótesis físicas?

Mas bien el teorema de incompletitud es un paradoja, usa el razonamiento matemático que a su vez contiene y del que surge una teoría formal de primer orden, para deducir que no se puede desmostar la raíz de una teoría formal dentro del lenguaje de la misma teoría, cosa que logra mediante el razonamiento matemático. Pero aplicando la mismo teorema de incompletitud, no sobre la teoría formal de orden matemático sino en el razonamiento matemático, entramos en una paradoja.
Es como decir pienso de una forma lógica (razonamiento matemático) y puedo comprender dentro de ese conjunto de razonamiento lógico, teorías incompletas que no contienen al conjunto (razonamiento matemático), pero no puedo deducir por qué pienso de esa forma lógica matemática.

De lo cual se puede esbozar que el pensamiento humano es incompleto, si existiese otro conjunto mayor que contenga al pensamiento humano, incluso no se deba suponer tal conjunto porque la teoría de conjuntos es un pensamiento humano.

¿Podremos generar otro razonamiento que no sea matemático?, accediendo a otra u otras alternativas de herramientas que completen vacíos ignotos de la realidad y así tener respuestas a las paradojas.

HeHe

No
En tal caso dejaríamos de ser humanos para ser Dioses… y yo no soy muy creyente que digamos…

HeHe

PD: Se me olvidaba, una paradoja no es un problema “fuerte” como lo es una contradicción. Esta última evidencia un error, la primera sólo demuestra la incapacidad existente para abordar un problema… en este caso meta-matemático, físico ó filosófico según se quiera interpretar.

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