¿Está el Quijote escrito en π (Pi)?

El número que hoy denominamos π (Pi) era ya conocido, hace unos 4000 años, por los egipcios y los babilonios. Estas, y otras culturas coetáneas, sabían que la proporción entre la longitud de cualquier circunferencia y su diámetro tenía un valor constante algo mayor que 3, que habían determinado mediante mediciones empíricas.

El Antiguo Testamento incluye una estimación de π, en el Libro Primero de Reyes 7:23, que se refiere a la construcción del templo de Salomón, dice: » Hizo fundir asimismo un mar de diez codos  de un lado al otro, perfectamente redondo; su altura era de cinco codos, y lo ceñía alrededor un cordón de treinta codos. «; es decir, que su circunferencia («cordón”) era de treinta codos y su diámetro era de diez codos, por lo que la relación entre la circunferencia y el diámetro era 3.

El genial Arquímedes (287-212 a.C.) fue posiblemente el primero que encontró un método para calcularlo geométricamente. Éste se dio cuenta de que dividiendo un círculo en sectores idénticos, que podía irse representando como se muestra en la figura.

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Cada sector podía inscribirse y circunscribirse en sendos triángulos, la suma de todos los triángulos permitía acotar el área del círculo y a partir de esta, suponiendo un círculo de radio unidad, calcular el valor de π. Con este procedimiento dedujo π tenía un valor comprendido entre 3+10/71 y 3+1/7, pero lo más importante es que su método permitía calcular π con tantos decimales como se desease, naturalmente si se tenía un tiempo suficiente para hacer las cuentas.

Obsérvese que el cociente entre la longitud de la circunferencia y su diámetro es constante solo si la circunferencia la dibujamos sobre un plano, pero esto no es válido para superficies no planas. La definición de π en términos geométricos se debe a razones históricas (su aplicación en la construcción) pero otras definiciones son posibles. Podría haberse definido como como el valor al que converge una determinada serie, como ocurre con la definición de e.  De hecho, a partir del siglo XV se han deduciendo distintas series que convergen a π (ver http://mathworld.wolfram.com/PiFormulas.html). Por ejemplo Nilakantha en el s XV obtuvo:

π = 3 + 4/(2 x 3 x 4) – 4/(4 x 5 x 6) + 4/(6 x 7 x 8) -4/(8 x 9 x 10) +…

Muy interesante es el algoritmo BBP (1995): http://crd-legacy.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/digits.pdf

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que tiene la propiedad de que permite calcular los dígitos de π que se deseen (en hexadecimal)  empezando en una determinada cifra sin necesidad de calcular las precedentes.

Cada vez se han ido encontrando series que convergen a π más rápidamente y métodos de distintos tipos que van batiendo record casi todos los años. Se ha superado ampliamente el billón (1012) de dígitos empleando un PC, cantidad que se puede multiplicar varias veces repartiendo el cálculo entre varios.  No existe una razón práctica para ello.  Por ejemplo, el error que se cometería al medir una circunferencia con el radio medio de la órbita de la Tierra al Sol utilizando 16 decimales de  π (lo que da cualquier calculadora) sería mucho menor de 1 mm. ¿Por qué entonces el empeño en batir records? Quizás valga lo que decía el montañero Mallory cuando al ser preguntado sobre su empeño en conquistar el Everest (que le costó la vida) respondió: “Porque está ahí”.

En el bachiller se enseña que π es que es un número irracional y trascedente (razón por la cual la cuadratura del círculo es imposible) y como tal tiene un número infinito de decimales sin periodo (no hay un término a  partir del cual se repita de forma periódica una secuencia de dígitos). Pero quizás lo más sorprendente y no tan conocido, aunque no exista una demostración rigurosa, es que los dígitos de π siguen una secuencia aparentemente aleatoria, es decir: si elegimos un número grande de dígitos y le aplicamos un test para ver si se trata de números aleatorios procedentes de una distribución uniforme lo pasaría. Por ejemplo: Si expresamos π en binario y a partir de una determinada cifra,  elegido al azar, los siguientes 1000 dígitos obtendríamos que estos siguen una secuencia de 0 y 1 que presentaría una aleatoriedad similar a la de lanzar una moneda 1000 veces (asignando 1 a la caras y 0 a las cruces, o viceversa).  Lo mismo ocurre con la expansión decimal de π en la que podemos comprobar que los números 0, 1,…, 9 aparecen un probabilidad parecida (en la ilustración se muestra una aplicación, desarrollada por mi [1], en la que elegido el número de decimales de π se muestra interactivamente la frecuencia con la que aparece 0, 1,2,…, 9)

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Lo anterior nos lleva a algo sorprendente: si escribimos al azar o intencionadamente un número de varias cifras es seguro que encontraremos en los decimales de π una secuencia donde aparecerá ese número. Por ejemplo: En el primer billón de decimales (1012) de π se ha comprobado que hay al menos una secuencia en la que el 0 se repite 12 veces consecutivas, lo mismo ocurre para el 1,…, 9 y 10, incluso hay una posición en la que el 8 se repite 13 veces. Lo mismo podemos decir para otros números [1]. Por ejemplo: el número 12345 en el primer millón de dígitos aparece en 8 ocasiones.

Este tipo de coincidencias nos puede llevar a una variante de lo que Borges planteaba en su célebre relato La Biblioteca de Babel. En él se describe una biblioteca que contiene todos los libros escritos y los que pudiesen escribir (en el relato de Borges estipula un número de páginas y líneas por página, pero eso es irrelevante para el argumento que sigue). Suponía que podía construirse un libro donde todas las letras eran a, en el siguiente libro la última letra se sustituía por una b, y así sucesivamente, hasta que el último libro todas serían z, con lo que se completaban todas las posibilidades.

El número que se obtiene es enorme, inmensamente mayor que el número de átomos del universo, sin embargo es un número finito. Se me ocurre una variante del relato anterior: expresamos π en base 35 (para incluir las letras del alfabeto y otros símbolos necesarios para la escritura) y asignamos el 1 a la a, el 2 a la b, y así sucesivamente, si tomamos un número suficientemente grande de dígitos nos encontraremos que eligiendo un número suficiente de dígitos está escrita la frase: “En un lugar de la Mancha de cuyo nombre no quiero acordarme” si ampliamos el número de dígitos podemos ir ampliando la frase, incluyendo más frases hasta  encontrar una secuencia en la que encontremos una coincidencia con el texto del Quijote. De hecho nos encontraríamos con la Biblioteca de Babel (no importa cómo de grande pues π tiene infinitos dígitos), es decir: todos los libros posibles escritos y los que puedan escribirse están en los decimales de π. El único inconveniente es que necesitaríamos muchos gúlgolplex de eones para encontrar la expansión de π que coincidiese con el texto  del Quijote, pero como tenemos un tiempo infinito eso no es un problema. Si no somos demasiado pacientes y no queremos esperar tanto podríamos reducir considerablemente el tiempo si introducimos un corrector ortográfico combinado con un computador cuántico.

Otra especulación interesante que es la siguiente: π aparece en muchas fórmulas de física en contextos que nada tienen con la definición geométrica de π, por ejemplo: la función de densidad de la distribución normal (aplicada entre muchas cosas a estimar las incertidumbre en las medidas), el principio de incertidumbre de Heisenberg o en la teoría general de la relatividad, de alguna manera la naturaleza tiene que “calcular” π en muchas ocasiones pero no puede hacerlo con infinitos decimales, quizás (¿?) no es ajeno a ello que ante situaciones idénticas la respuesta de la naturaleza no es exactamente la misma.  Por ejemplo: en un arroyo en régimen turbulento aunque el flujo de agua sea constante su forma va variando sin razón aparente pues todas las variables que intervienen tienen prácticamente el mismo valor. Quizás la naturaleza se encuentre con un problema N o NP, pero eso es otra historia.

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Este artículo nos lo envía Guillermo Sánchez León, Profesor en la Universidad de Salamanca y autor de más de 100 artículos y ponencias,  algunos de divulgación científica que podéis encontrar en su web. Además aprovechamos la ocasión para recomendar su libro Mathematica más allá de las matemáticas  en cuyo cap. 7 desarrolla con Mathematica varios de los ejemplos y propiedades descritas en este artículo.



Por Colaborador Invitado
Publicado el ⌚ 4 abril, 2014
Categoría(s): ✓ Divulgación • Matemáticas