Cortando un palo en tres trozos

Paseando por la red nos encontramos con listas de preguntas que supuestamente hacen en la empresa Google para contratar gente. Podrían pareceros peregrinas, pero son problema más o menos conocidos en los que se busca una manera de razonar o de aproximarse a un problema, más que la repetición de conocimientos previos, o la aplicación directa de fórmulas.

Muchas de ellas son lo que se llaman Problemas de Fermi, problemas de estimación de cosas aparentemente imposibles de calcular, pero que finalmente resultan fáciles de aproximar con cálculos sencillos. Como el más popular: ¿Cuántos afinadores podrían trabajar en la ciudad de Chicago?

Para mentes enfermas es peligroso jugar con estas cosas, porque rápido te picas y te pones a hacer alguno… y te lías y te lías… A nosotros nos picó éste:

Si rompo un palo en tres trozos, ¿cuál es la probabilidad de que pueda formar un triángulo con los trozos?

Imagen extraída de Wikipedia
Imagen extraída de Wikipedia

Pero tranquilos, no hay que ponerse así de chulos para cortar el palito. Si quieres, basta coger un espagueti e intentar cortarlo en dos… a ver si puedes.

Vamos a dejarnos de bromas y os vamos a mostrar dos formas de atacar este problema. Dos formas diferentes con dos interpretaciones diferentes.

Antes de empezar, hay que plantearse algo: ¿hay alguna condición para que tres segmentos puedan formar un triángulo? ¿Tres segmentos cualesquiera podrían formar un triángulo? La respuesta es no.

triangulo

Mira este triángulo y piensa que para que los dos lados de arriba puedan apoyarse sobre la base, tienen que ser (entre los dos) más largos que la base, quiero decir, sumando los dos lados deben tener más longitud que la base. Imagina que los dos lados miden 0.3 y que la base mide 1. Ni siquiera poniéndolos uno a continuación del otro, eres capaz de abarcar la base, no puede hacerse.

A este hecho,  a < b + c\, se le llama Desigualdad Triangular y debe cumplir para todos los lados del triángulo. Cada uno de ellos tiene que medir menos que la suma de los otros dos.

Supongamos que nuestro palo mide 1 e imagina que uno de los trozos mide más que (o incluso igual) 1/2. Entonces la suma de los otros dos trozos será menor (o igual) que 1/2, por lo que no se verificaría la Desigualdad Triangular. Así que para que al cortar un palo (de longitud 1) en tres trozos se pueda formar un triángulo necesitamos que todos los trozos midan menos que 1/2, es decir, que la desigualdad triangular nos asegura que cada trozo no será demasiado grande.

Y ahora, vamos al lío y cortemos el palito. El problema es que el enunciado no deja claro cómo se rompe el palo y esto crea algo (en realidad, bastante) de incertidumbre.  Esencialmente hay 2 formas de cortar un palo en 3 trozos.

  1. Corto en 2 trozos, elijo uno de ellos y lo corto de nuevo en 2.
  2. Corto directamente el palo en 3 trozos.

La diferencia radica en que en el primer caso la acción de realizar el segundo corte no es independiente de la primera; mientras que en el segundo método estamos interpretando que ambos cortes son independientes.

Vamos a ver que, de hecho, de cada una de estas formas, sale una probabilidad diferente. Comencemos con el primer caso.

Método 1:

Para ello, podemos plantear el problema así.

  1. Suponemos que nuestro palo es el intervalo [0,1] (por simplificar).
  2. Rompemos por un punto x
  3. Rompemos uno de los trozos restantes por otro punto y

x e y van a ser dos números entre 0 y 1. Puede pasar que el primer corte quede a la derecha del segundo corte o viceversa.

Si suponemos que el segundo corte se hace a la derecha del primero, estamos diciendo que x<y. Así, los tres trozos serán de longitud x, y-x y 1-y.

palo

La condición que hemos obtenido para que se forme un triángulo (que todos los trozos tengan longitud menor que 1/2), se reduce ahora a que x<1/2, y-x<1/2, o equivalentemente, y<x+1/2, y 1-y<1/2, o lo que es lo mismo, y>1/2. En resumen, x<1/2,\ 1/2<y<x+1/2.

Ya tenemos las restricciones que nos permiten formar un triángulo, ahora veamos cuál es la probabilidad de que nuestros cortes caigan dentro de esas restricciones.

Imagina que damos un corte x y esperamos dar el corte y. Como hemos supuesto que y>x, la longitud accesible para hacer el segundo corte es 1-x. Pero sólo nos sirve si 1/2<y<x+1/2 como hemos dicho. ¿Cuál es la longitud de ese trozo? Restando (x+1/2)-1/2 sale precisamente x.

Por lo tanto la probabilidad de habiendo dado un corte en x acertar con el corte en y es el cociente entre la longitud que nos sirve dividida por la longitud total: \displaystyle\frac{x}{1-x}.

Ahora tendríamos que sumar para todos los valores de x que nos sirven, que, como dijimos antes, no pueden irse más allá de 1/2.

Como x es una variable continua esto lo podemos hacer con la integral: \displaystyle\int_0^{1/2}\frac{x}{1-x}\,dx.

Resolviendo nos sale \ln2-1/2\approx 0,19 (un 19%).

Ya, pero nos faltaría el otro caso, cuando el corte y nos queda a la izquierda del primer corte (es decir, y<x). Si lo miras bien,  verás que la situación es igual a la primera, pero simétrica, así que multiplicamos por dos el resultado.

Por lo tanto, si generamos los tres trozos, dando un primer corte y luego otro, la probabilidad de que los tres trozos resultantes puedan formar un triángulo es 2\ln2-1\approx 0,38 , aproximadamente un 38%.

Método 2:

Aquí suponemos que los 2 cortes se hacen a la vez. Si llamamos x al primer punto de corte e y al segundo, estamos en una situación muy parecida a la anterior.

¿Cuáles son las posibles configuraciones de los puntos de corte x  e y? La única restricción es que x<y, luego todas las posibles opciones son 0<x<y<1.

Si representamos gráficamente en el plano XY este conjunto, resulta ser el triágulo de vértices (0,0), (0,1) y (1,1):

posibles

Ahora bien, ¿Cuáles de esas posibles configuraciones hacen que pueda formarse un triángulo? Esas restricciones las calculamos un poco más arriba, acudiendo a las desigualdades triangulares, y eran: x<1/2,\ 1/2<y<x+1/2. Si representas de nuevo este conjunto en el plano, te sale otra vez un triángulo, pero ahora el de vértices  (0,1/2), (1/2,1/2) y (1/2,1):

favorables

En resumen, tenemos un montón de casos posibles (los del primer triángulo) de los cuales sólo los que están en el segundo triángulo son favorables. Aplicamos la Regla de Laplace, hallamos el área de cada triángulo y su cociente es… 1/4, es decir, tenemos un 25% de probabilidad.

Conclusiones:

¿Cómo es posible que un mismo problema se resuelva de dos formas diferentes y den resultados diferentes? ¿Acaso algún método está equivocado?

En primer lugar, eso es más habitual de lo que parece. Te recomendamos que veas la charla Intuiciones improbables de nuestro compañero Iñaki Úcar.

En segundo lugar, lo que ocurre aquí es una guerra de interpretaciones. Quizás una guerra entre paradigmas. Entre el clásico paradigma frecuentista, en el que todo es ideal, todo está perfectamente definido y está basado en unos axiomas concretos (como en el Método 2); y el nuevo paradigma bayesiano para el que las cosas no son ideales, sino que hay que someterlas a la cruda realidad y todo depende de las circunstancias concretas (como en el Método 1). Quizás estar de acuerdo con un método sí y el otro no, indique en qué bando estás. Pero en cualquier caso, si has resuelto por ti mismo este problema, siempre te quedará la satisfacción de haberlo hecho.

 

PD: Este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta quincuagésima tercera edición, también denominada 6.3: Teorema de Pitágoras, está organizado por Rafael Martínez González a través de su blog El mundo de Rafalillo.

10 Comentarios

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EssostreEssostre

Si parto un espagueti uno de los dos lados siempre es más largo que la mitad. Si después elijo romper el más corto no hay triángulo posible. ¿Es correcto?

JorgeJorge

El primer caso yo lo aproximaría de una forma mucho más sencilla e intuitiva partiendo de la siguiente premisa:
“La única condición es que ningún trozo puede ser mayor a 1/2 de la longitud original”

Si comenzamos partiendo el palo en dos partes, tenemos un 50% de probabilidades de escoger el trozo más largo (que medirá igual o más de 1/2 de la longitud original) para volverlo a partir.

Respecto al trozo que volvemos a partir (que mide entre 1/2 y algo menos de 1 de la longitud original) tenemos en el peor de los casos el 50% de probabilidades de dejar un segmento mayor de 1/2, y en el mejor de los casos el 100%.
Es decir, un 75% de probabilidades de no dejar un trozo mayor del 1/2 al cortar el segundo palo.

Entonces es el 75% del 50% anterior: es decir, el 37,5% a ojímetro.
No sé si se ha entendido el razonamiento, porque es más fácil explicarlo con papel y lápiz que con palabras.

MarkMark

Totalmente de acuerdo. El resultado al que llegas depende mucho de cómo decidas resolverlo y del dato o datos de los que partas.
Son problemas curiosos y entretenidos que hacen pensar a la gente. Eso es lo bueno que tienen. Pero por lo general los resultados no son precisos.

africanoafricano

Molan estos problemas de Fermi.

Yendo a la física sería interesante una entrada sobre la física de estas técnicas de romper piezas de mortero. ¿ Es tan complicado ? ¿ Porqué están las piezas separadas por piezas de madera y no en contacto ?

Iñaki Úcar

Un apunte con respecto a las entrevistas de Google. Como puede leerse en este artículo de Wired, que es un fragmento de un libro, es un mito que se pongan problemas de Fermi. Y la razón es que en realidad son una chorrada, una mera curiosidad, y su resolución responde a una habilidad muy concreta que se gana con la práctica y, en último término, se fundamenta en el conocimiento de un dato anecdótico.

jklñjklñ

realizado el primer corte siempre un trozo sera mayor que el otro así que, con elegir el trozo mas largo para realizar el segundo corte se cumple la condición, ¿elegir entre dos trozos no seria el 50%?, pregunte eh, que la verdad, con la estadística siempre me lleve fatal…

jorgejorge

La condición es que ninguno de los tres segmentos debe ser mayor a 1/2 de la longitud total.
El problema es que los cortes no se tienen que hacer necesariamente cercanos a la mitad. Eso puede llevar a que, aunque hayas escogido el trozo más largo para el segundo corte, lo hagas de tal manera que el resultado sea un trozo muy pequeñito y otro mayor de la mitad.

No es difícil imaginar esa situación si los cortes son lo bastante asimétricos.

Juan ManuelJuan Manuel

A lo mejor parece una tontería, pero partas como partas los 3 trozos puedes hacer un triangulo.

Al planteamiento original le habéis añadido una condición que no aparece en ninguna parte del problema. Y es que los bordes de los lados deben coincidir en el vértice.

No se si me explico bien así que con la siguiente imagen que he encontrado en internet intentare poner un ejemplo.

http://aulafacil.com/matematicas-bas...tria205.jpg

En esta imagen hay un triangulo formado por 3 segmentos AB, AC y BC. Pero como podemos comprobar el segmento AC en la figura continua mas allá del vértice del triangulo ABC. Ahi podemos poner el punto D como “final” del segmento AD.

En definitiva, si al partir el palo en 3 trozos uno saliese mas grande que la suma de los otros 2 (en mi ejemplo: AD) aun así podríamos hacer un triangulo ABC.

Eso si… sobraría un trozo de palo 😀

CristinaCristina

¡¡Tienes razón!!

Si nos atenemos al enunciado del problema, en ningún momento se exige que los vértices coincidan con los extremos de los palos. Esa es una condición “añadida” dada por supuesta, pero que no está en el enunciado.

Es algo que sucede a menudo, en enunciados abiertos donde no se especifica con precisión el problema, tendemos a añadir condiciones de forma innecesaria, lo que complica enormemente la obtención del resultado.

Buen apunte.

AlejandroAlejandro

La opción 1 es incorrecta. Da 0.38 porque no se tienen en cuañenta todas las posibilidades. En un segmento dividido en dos porciones, una de longitud x y otra de 1-x, no hay una distribucion uniforme de la probabilidad. Dicho de otra forma, no se ha tenido en cuenta que el segundo corte no se da siempre a la derecha del primero. Si se tiene en cuenta que tiene una prob de 1-x de caer en dicha sección el resultado es 0.25.
*voy a utilizar el símbolo { como integral
La formula sería:
2{(x/1-x)×(1-x) entre 1/2 y 0
Que queda
2{x entre1/2 y 0
Que es 1/4

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