En defensa del sistema duodecimal

Relojes en sistemas docenal y decimal
Relojes en sistemas docenal y decimal

Solemos entender el mundo cómo un sistema que funciona en un sistema numérico en base 10, o decimal. El sistema métrico funciona en base 10, y usamos potencias de este número para representar números muy grandes o muy pequeños para expresar cómo una secuencia de símbolos (2,3×106 en lugar de 2.300.000) y también solemos redondear hasta cantidades dadas por el sistemas en base 10, tanto en la vida cotidiana cómo en aplicaciones técnicas.

Nuestros cerebros ya están prácticamente programados para pensar en decenas y centenas, y debido a eso, le atribuimos algún tipo de valor especial al número 10, a pesar de que es simplemente un número. La decisión de nuestros ancestros de usar un sistema en base 10 para representar los números fue casi completamente arbitraria, y no debido a alguna cualidad especial inherente que el número 10 tenga.

Hagamos una pequeña revisión de los distintos sistemas numéricos que existen hoy en día.

El sistema más usado es el sistema en base 10, ya mencionado anteriormente, pero también se usan con bastante frecuencia el sistema binario y el sistema hexadecimal. Estos dos sistemas se usan en informática y están en base 2 y 16 respectivamente. ¿Qué significa que funcionen en base 2 o 16?

Tomemos el sistema binario cómo ejemplo. Sistema en base 2 significa en términos simples que sólo existen dos símbolos para representar todos los números (el número de símbolos no siempre es el mismo que la base del sistema numérico, pero comúnmente se da este fenómeno y facilita la explicación). En el sistema decimal hay diez símbolos, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 que se usan para representar todos los números, mientras que en el sistema binario solo se usan los símbolos 0 y 1.

¿Cómo se hace esto? El “0” binario y decimal es el mismo, así como el “1”. Es cuando llegamos al número dos que se notan las diferencias. En sistema binario no existe el símbolo “2”, ¿Cómo lo representamos entonces? Deberíamos usar dos símbolos, el “1” y “0”. Entonces el “2” se expresa cómo “10”en binario. Listo, solucionado el problema del número dos. ¿Qué hacemos ahora con el tres? Podemos expresarlo cómo “11”, el cuatro se expresaría cómo “100”, el cinco cómo “101”, el seis cómo “110” y el siete cómo “111”. De esta forma se pueden expresar todos los números usando solamente dos símbolos.

El sistema hexadecimal en cambio tiene dieciséis símbolos, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. La combinación de símbolos “10” en sistema hexadecimal representa el número dieciséis, mientras que la combinación “1F”, por ejemplo, representa el número treinta y uno, y “20” representa el treinta y dos.

Números en decimal, hexadecimal y binario.
Números en decimal, hexadecimal y binario.

Entonces, existen estos tres sistemas numéricos en el mundo moderno, ¿Pero qué sistemas se usaban en la antigüedad?

En muchas culturas, incluyendo chinas, griegas e hindo-árabes (sistema del cuál deriva la numeración moderna) se utilizaban sistemas en base diez. Esto es probablemente debido al hecho de que tenemos diez dedos y desarrollar un sistema numérico derivado de la forma más primitiva de contar (usando los dedos de las manos) tiene sentido. Los sistemas de contar en base veinte también fueron muy populares, siendo usado por mayas, galos, celtas y varias otras culturas. Remanentes del sistema base veinte todavía se puede observar en muchos números franceses. El numero ochenta se llama “quatre-vingt”, literalmente “cuatro-veinte”, y el noventa se llama “quatre-vingt-dix”, o “cuatro-veinte-diez”. Los sistemas de numeración en base cinco también fueron comunes, por la misma razón que los sistemas en base diez.

La tribu Yuki del norte de California usaba un sistema en base ocho, ya que en lugar de contar con los dedos contaban usando los espacios entre los dedos. Los antiguos sumerios desarrollaron un sistema en base sesenta, o sexagesimal. Este fue uno de los primeros sistemas numéricos desarrollados en la historia. El sistema sexagesimal nos dejó como legado el sistema de segundos, minutos y horas, que funcionan en base sesenta.

Existe también un caso notable en que inexplicablemente se usa un sistema en base veintisiete, y se trata del lenguaje de los Telefol, habitantes de Papua Nueva Guinea.

Sistema sexagesimal de los sumerios
Sistema sexagesimal de los sumerios

Existe sin embargo un cuarto sistema en el mundo moderno (y antiguo) que subrepticiamente se sigue usando por casi todo el mundo, en la mayoría de las culturas. Se trata del sistema en base doce, o duodecimal (docenal para los puristas). En el comercio y la vida cotidiana es muy común usar docenas en lugar de decenas, y gruesas en lugar de centenas. Esto se debe a que el doce tiene más factores que el número diez. El diez se puede dividir por 1, 2, 5 y 10, mientras que el doce se puede dividir en 1, 2, 3, 4, 6 y 12. Al tener más factores, se puede dividir con mucha más facilidad. Es fácil dividir una doce de huevos en tres, o cuatro, o dos, mientras que dividir una decena de huevos en tres es imposible sin romper un huevo. Es por el pragmatismo del sistema duodecimal que se ha usado en el comercio a través de la historia, independientemente del sistema numérico que se use para contar.

El número doce también se usa para contar los meses, ya que se hace muy fácil dividir el años en cuatro (cuatro estaciones o trimestres), dos (dos semestres), seis (seis bimestres), etc. Entonces se hace evidente que el número doce es más práctico que el número diez. Es quizás por esto mismo que el número doce ha tenido un significado especial en la mayoría de las culturas a través de la historia; doce tribus de Israel, doce apóstoles, doce signos del zodiaco, doce signos zodiacales chinos, las doce labores de Hércules, los doce hijos de Odín, etc.

Los modernos proponedores de un cambio por el sistema docenal suelen usar doce símbolos para contar, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, un “2” invertido para representar el diez y un “3” invertido para representar el once.

La anatomía de nuestras manos también nos permite contar usando un sistema en base doce, si utilizamos un poco nuestra imaginación. Se puede contar tocando cada falange de los dedos con el pulgar, permitiéndonos llegar hasta doce con una sola mano. Con la segunda mano podemos contar las docenas, por lo que se puede contar hasta ciento cuarenta y cuatro usando un sistema en base doce. Nada mal, ¿o no?

Se puede contar hasta ciento cuarenta y cuatro con las manos usando sistema docenal.
Se puede contar hasta ciento cuarenta y cuatro con las manos usando sistema docenal.

No pretendo convencer a los lectores sobre la superioridad del sistema duodecimal, pero es notable darse cuenta de cuán condicionados y programados estamos para ver el mundo de cierta forma. El número diez no tiene ninguna propiedad especial, y sin embargo estamos entrenados desde pequeños para entender el mundo desde ese sistema. La cultura en la que estamos insertos afecta muy poderosamente (e invisiblemente) la forma en que interpretamos y observamos el universo y los fenómenos naturales. Creo que la lección es que a veces no hace daño desaprender algo para poder aprender cosas nuevas.

Este artículo nos lo envía Vicente Muñoz Walther. Ingeniero en Biotecnología Molecular de la Universidad de Chile, en Santiago de Chile. En la actualidad trabaja en el laboratorio de Virología Molecular de la Fundación Ciencia & Vida. Vicente también escribe cuentos cortos de fantasía y ciencia ficción, los cuáles podéis leer en cuentosdeltente.blogspot.com.

Referencias y más información:

Ascher, Marcia (1994), Ethnomathematics: A Multicultural View of Mathematical Ideas, Chapman & Hall

Telefol at Ethnologue (18th ed,. 2015)

Ifrah, Georges (2000) The Universal History of Numbers: From prehistory to the invention of the computer, John Wiley and Sons.


34 Comentarios

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Juan Pedro UrdirozJuan Pedro Urdiroz

Interesante. El hecho de que tengamos 10 dedos en las manos y lo conveniente que resultaría poder contar y hacer cálculos, ¿no sería una causa para elegir un sistema en base 10?

Sergio VeraSergio Vera

Pequeño apunte:
“quatre-vingt-deux” no es 90, es 82, ya que “deux” es 2 y no 10. Lo correcto sería “quatre-vingt-dix”.

saludos

françois

Además del sistema francés de contar veintenas entre el 60 y el 100 ( con el pequeño desliz -sin importancia al caso- de confundir deux por dix ), siempre me ha llamado la atención la irregularidad del castellano al decir once, doce, trece… y no dieciuno, diecidós, diecitrés… Aquí la verdad es que es evidente que sí se vuelve a reiniciar contador desde el diez y además se adivinan las raíces de uno, dos, tres, etc, pero es curioso que esos primeros números tengan un tratamiento especial, ¿quizás reminiscencia de otra base?
En valencià de hecho la “anomalía” llega hasta el 16 -setze- e incluso el 17, 18 y 19, que aunque se construyen en la forma “diez y x”, se hace de manera irregular.

En fin, pájaras mentales que probablemente tengan una explicación linguística diferente.

Vicente Muñoz WaltherVicente Muñoz Walther

Es muy posible que once, doce, trece, catorce y quince (y setze) sean los vestigios de otro sistema numérico (buena observación!). Amérita investigar sobre la etimología de esos números.

Vicente Muñoz WaltherVicente Muñoz Walther

Los nombres para esos numeros vienen de palabras latinas “undecim, duodecim, tredecim, quattuordecim, quindecim y sedecim”, que también es un sistema en base 10. Ocurre de forma similar con el inglés y el alemán para las palabras para once y doce (eleven y twelve, elf y zwölf), que son palabras de origen germánico antiguo, que de igual manera usaba sistema de base 10. Por algún motivo algunas palabras para números se derivan directamente de otras lenguas mientras que otras no. Misterios de la evolución de los idiomas.

CristianCristian

Me ha encantado este aporte, sobre todo entender cuál es el motivo por el que se usa un sistema u otro, la lógica que hay detrás, sobre todo en el caso de contar por docenas en la compra. Muy interesante.

MarioMario

Si se cuenta con las falanges resulta que puede (¿debe?) usarse un sistema en base 13: las falanges de la mano secundaria (izquierda de los diestros; derecha de los zurdos) van marcando 13, 26, 39…

Miguel EspinosaMiguel Espinosa

Igual y es por ser informático, pero le vería más sentido al duodecimal si utilizara A y B para representar al 10 y 11 decimales.

Vicente Muñoz WaltherVicente Muñoz Walther

Existen varias formas del sistema docenal, siendo la que usa el 2 y 3 invertido una de las más populares. No me sorprendería que también hubiera alguna que usara las letras A y B para representar el diez y el once.

oscaroscar

de hecho, trabajé hace 1/2 siglo con computadores Burroughs (B100) que funcionaban en base 12, con la A y B :))

Diego OlivaresDiego Olivares

Como dato aparte, recién ví la película “A beautifull young mind” que trata sobre un niño superdotado. En la historia se cruza con otro niño que defiende el sistema duodecimal también. Veanla!

Javier López EnamoradoJavier López Enamorado

Realmente interesante la ponencia, y realmente útil el punto de vista de la divisibilidad.

Lo que tienen los sistemas “por convenio”, al igual que (ignoro si será así aún, antes sí) medir el kilogramo como “la masa patrón de una barra de iridio y platino conservada en el museo de Sévres”, es que es por narices, porque sí, porque alguien dijo en su momento que era conveniente, y desde entonces “es”.

El problema de los convenios es que, al pasar muchos años y hasta siglos desde su instauración, su reconversión sería tan traumática que no merecería la pena.

Algo parecido pasa con el sentido real y convencional de la corriente eléctrica.

Pero muy interesante la ponencia, insisto. Gracias

Nacho MartinezNacho Martinez

Es el sistema sumerio realmente sexagesimal?
Parece más un sistema decimal (el número 11 es representado como 10 +1, el número 21 como 10+10+1, etc). Tinenes idea de cómo representaban números por encima del 59?

RicardMRicardM

Parece que, efectivamente, el sumerio es decimal. Pero hay una peculiaridad: carece de cero. Si contamos con los dedos, el número 10 tiene dos dígitos por convención. Lo podrÍamos llamar X (como los romanos) y así nuestro 10 sería X y el 11 seria X1. Añadiendo X añademos decenas, igual que los sumerios. En nuestro sistema el cero es un gran invento porque, aparte de simbolizar ausencia, nos permite simbolizar múltiplos de diez simplemente añadiendo los dígitos correspondientes a la izquierda. Así 20 son dos decenas, etc.
Por cierto, siempre me ha intrigado cómo realizaban cálculos complejos los romanos con su sistema. De joven realicé algunas sumas e, incluso, multiplicaciones sencillas con números romanos y eran un auténtico lio. Saludos.

santaklaussantaklaus

Tenemos diez dedos, así que sistema decimal. Pero si hay que defender otro, que sea el binario. Al duodecimal que le den. ¡Bi-na-rio, bi-na-rio!

FelipeFelipe

Con 10 dígitos significativos en binario podemos contar hasta 1023 con nuestras manos, y podemos realizar algunas operaciones matemáticas de forma bastante sencilla (y otras siguiendo varios pasos) pero claro, no es nada intuitivo.

PanreyesPanreyes

Yo lo secundo!

Con binario puedes contar hasta 1023 usando los 10 dedos de las manos, ¡y ni te cuento si también usas los pies!

RafaelRafael

El articulo mezcla conceptos diferentes como base y formato. Por ejemplo el sistema horario NO es una bade, sino un formato. La diferencia entre base y formato es que la base es genérica para cualquier número y cada elemento de la base tiene asociado un símbolo diferente, mientras que el formato, como ocurre con el tiempo, depende de lo que la cifra representa y se puede representar en cualquier base.
Respecto al sumerio, vuelve a mezclar base y formato: en la imagen no hay 60 símbolos abstractos que representan 60 valores diferentes, lo que hay es una base unitaria (cuenta palitos) y un formato decimal. Un ejemplo idéntico tenemos en las monedas/billetes; decir que es una base diferente porque los agrupamos en un formato específico (en céntimos sería 1/2/5/20/50/100/200/500/1000/…) es otra vez mezclar los conceptos de base y formato…
Como detalle curioso, es interesante ver como hay distintas formas de combinar elementos de una base para crear los números: lo habitual es que cada símbolo de la base representa un valor consecutivo y para números mayores se suman símbolos de la base, pero también hay sistemas, como el romano, donde restan o suman dependiendo de la posición. Sabéis que otro sistema usa la misma lógica? Los sistemas de pesos de las balanzas 😉

LuuLuu

Realmente el sistema dibujado de las manos permite contar hasta 156, ya que al tener la otra mano cerrada haces de 0 y la primera falange hace de 13 hasta 24, la penúltima falange va del 133 al 144 y la última falange del 145 al 156.
Los 144 los da si usas la primera falange de la mano de las duodecenas como 0, no como 1.

J.DiazJ.Diaz

Como aporte intelectual me parece interesante, pero…

¿Tiene algun sentido andar contando con los dedos hoy en dia?

Sinceramente soy partidario de la unificacion en todos los entidos, creo que es una fuente de problema andar conviviendo con distintos sitemas, en cualquier ambito, y discutiendo si son galgo o podencos.
La humanidad deberia reunirese y unificarse y no andar aun discutiendo si es mejor o peor una cosa u otra.

No defiendo que el S.I. decimal sea mejor o peor, me d aigual, lo que me parece absurdo y medieval es que aun no seamos capaces de tener un unicos sistema de medida para toda la humnidad o simplemente un calendario coherente.

Y ese es el mejor ejemplo, ahora mismo, sin entrar en minorias, hay hasta siete calendarios oficiales conviviendo.

Medimos el tiempo mezclando sistemas de forma absurda y aleatoria.
Por debajo del segundo usamos fraccionnes decimales, luego usamos la base seis par aminutos y horas, base doce para la horas del dia, un absurod sistema de meses asimetricos para el año y luego volvemos al sistema decimal.

Hace mas de un siglo que s epropuso un sistema coherente, y esta vez basado en sistema decimal, y en los años cincuenta se propuso en los USA adoptarlo pero fue imposible proque «dios no quiere que cambiemos el calendario» (sic).

Me da igual si se adopta una base diez, seis, doce, o noventa y uno.

Pero pro favor, adoptemos estandares mundiales de una puñetera vez. Estandares racionales y coherentes, no sujetos a caprichos politicos, supersticiosos o morales e historicos.

Estandares mundiales en todos los aspectos, por favor.

Lamento haber molestado si asi ha sido.

InesInes

Cuando he leído lo de noventa en francés, me he acordado que en euskera también se hace igual
Diez: hamar
Veinte: hogei
Treinta: hogeita hamar (vértice y diez)
Cuarenta: berrogei (dos veces veinte).
Cincuenta: berrogeita hamar

Jesús Calvo BarriosJesús Calvo Barrios

Nuestros cerebros ya están prácticamente programados para pensar en decenas y centenas, y debido a eso, le atribuimos algún tipo de valor especial al número 10, a pesar de que es simplemente un número
En el aspecto evolutivo, es muy razonable suponer que la selección del sistema en base diez se deba a las ventajas operativas que aporta el poder usarlo ágilmente con nuestros diez dedicos. Estos los traemos de fábrica, pero no así el sistema. Ese nos lo enseñaron y lo aprendimos. Las culturas que aprovecharon esa ventaja para el cálculo son ahora hegemónicas y utilizan ese sistema como un instrumento omnipresente . El coste en energía del cambio a otro sistema, incluyendo la reeducación, sólo se justificaría racionalmente si ese nuevo sistema supusiese una ventaja evolutiva superior. Quizá nuestra arbitraria valoración del número 10 sea incorregible. O quizá una gran mente cibernética nos imponga su capricho en un futuro próximo. La vida es así de fascinante e impredecible. Muy interesante el artículo. Y muy didáctico. Gracias.

DarylDaryl

Aunque parezca mentira el uso del sistema decimal, de forma extensiva, es muy reciente, no más de 200 años, y su expansión viene motivada por el uso de mayores cantidades y el incremento exponencial del comercio. En longitudes, superficies, volumenes/peso no usabamos (y en muchos sitios siguen si usar) el sistema decimal

El sistema decimal es más cómodo de aprender y manejar para generar y operar con cifras grandes y su expansión no se debe a un capricho.

Como en tantas otras cosas, la adopción de un sistema u otro ha sido el resultado de una mejor adaptación a las condiciones de un sistema. No tiene nada de arbitrario. El sistema sexagesimal y el duodecimal se han usado con anterioridad ¿por que no se ha expandido y ocupado todo el sistema de medidas?

De hecho para pequeñas cantidades es más comodo el duodecimal. Lo vemos en los meses, las horas del dia, el empaquetamiento de productos.

El paradigma lo vemos en las diferentes estructuras militares.
Los grupos pequeños estan regidos por el sistema duodecimal ya que es más facil agruparlos y dividirlos. Asi vemos que las escuadras, escuadrones, pelotones, secciones estan compuestos por 4, 8, 12, 24…soldados. Pero cuando nos vamos a grandes cantidades compañis, batallones, regimientos aparece el sistema decimal.

Asi que mal que nos pese tendremos decimal para rato y dudo que pueda ser reemplazado, salvo que volvamos a una sociedad primigenia donde más de cuatro ya es mucho o muy grande, pero no será omnipresente. Hay “nichos de mercado”, como diria algún pedante, donde el decimal chirria y no funciona tan bien como el sexa y el duode.

Cary LowelCary Lowel

Secuencias 12:60 y 13:20

Hay una secuencia todavía mucho mas interesante, la 13-20 de los mayas.

José LuisJosé Luis

Propongo una modificación del adn humano, para que las futuras generaciones tengan 12 dedos en cada mano. Así, asunto zanjado. 😉

PacoPaco

Hola, sin pretender defender un sistema u otro, creo que el duodecimal tiene una ventaja sobre el decimal. La base 12 se puede fraccionar en más partes enteras que la base 10.
La base 10 se puede dividir entre 1, 2, 5 y 10.
La base 12 se puede dividir entre 1, 2, 3, 4, 6 y 12.
Si os fijais, en el comercio ocurre en muchas ocasiones, los huevos se venden por docenas, las cajas de leche por 1/2 ó 1 docena, muchos paquetes de bollería vienen con 6 o 12 unidades. Mi padre de joven trabajó en una papelería y en aquella época, los años 60, era lo habitual, paquetes de 12 unidades, paquetes de 12 docenas… Ahora se empieza a utilizar de forma sistemática la decena, pero antes…
La hora que tiene una base 60, que no es más que un múltiplo de 12, la podemos fraccionar con resultado entero dividiendo entre 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60

Eulogio Santana SantanaEulogio Santana Santana

En Gran Canaria (Islas Canarias), como seguramente en el resto del mundo ya que al parecer los sumerios usaban este mismo método, entre las personas del campo se utiliza la base doce por ser una base humana. Contados con una mano usando el pulgar a modo de puntero, las falanges de los restantes cuatro dedos sale la cuenta de doce, una docena, 3 falanges por 4 dedos. Usando la otra mano de multiplicador 12 x 5 = 60. O sea, con las dos manos contaban mis mayores hasta sesenta, o sus cinco docenas, las manos utilizados como ábaco, cosa que por ignorancia académica no enseñan en las escuelas. De ahí que sean doce los meses, apóstoles, las horas del día, signos del zodiaco, etcétera. Y lo que más importante de ahí el sistema sexagesimal (base 60), y también la división de la hora en sesenta minutos y estos en sesenta segundos.

Eulogio Santana SantanaEulogio Santana Santana

Aunque mi comentario parezca local, los campesinos que lo utilizaban muchos no sabían siguiera leer y eran capaces de realizar cálculos rápidos con su calculadora manual.

Roberto Toledo RomanRoberto Toledo Roman

porque hay tan poca información sobre el sistema Duodecimal, es decir he buscado ejemplos para practicar (sobre todo ejemplos con literales) así como algún método de comprobación
es decir pasar de binario terciario etc a duodecimal y viceversa del duodecimal (con literales) a otros sistemas.
alguien me puede ayudar

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