Diario de un padre troll: canciones infantiles y aritmética modular

Basado en hechos reales.

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Ser padre es lo más bonito que hay en el mundo. Ser padre es una experiencia irrepetible. Pero cuando uno es matemático y, además, un poco (sí, admitámoslo) tocapelotas, eso de trollear a tu hijo adquiere niveles insospechados. Pues de esto va este artículo. Vamos a utilizar las típicas canciones infantiles para echar algo a suertes para aprender algo de matemáticas. Y ya de paso, para divertirte un poco a costa de los amigos de tu hijo. En este artículo vamos a aprender una de las más valiosas aplicaciones de la aritmética modular.

Vamos a comenzar recordando la siguiente canción:

¿Quién es el más tonto de esta reunión?

Eres, eres, eres, eres e-res tú.

Al cantar esta sencilla tonadilla, se iba pasando el dedo de un niño a otro. En el que parara, ese era el más tonto. Y quien dice tonto, dice guapo, feo, pedorro… o lo que surja.

Vamos a volver a escuchar la canción y tratemos de encontrar los “golpes” de ritmo:

¿Quién es | el más | tonto | de esta | re|u|nión?

Eres, | eres,| eres, | eres,| e|res| tú.

Como veis, hay 14 golpes de ritmo.

Pongámonos en situación. Imaginemos que estás con tu hijo jugando con esta canción y quieres saber dónde empezar para que le toque a él ser “tonto”. Este problema se puede resolver fácilmente haciendo una simple prueba. Si empiezas por ti, le tocará a tu hijo ser tonto. Por el contrario, si sorteas quién es el “guapo” o cualquier cualidad buena, deberás empezar por el contrincante para que te toque a ti.

La matemática que hay detrás es fácil. Como 14 es un número par y empiezas por el 1 (que es impar), es fácil intuir lo que pasa.

Variemos la situación un poco. Supongamos que, además de tu hijo, está un amigo. Vamos, que sois 3. Si vas haciendo la cuenta de la canción de forma circular (y sentido horario, por ejemplo), es fácil comprobar que le tocará a la segunda persona. Vamos, que si empiezas por ti y quieres que el tonto sea el amigo de tu hijo, es a él a quien tienes que poner en segundo lugar.

Aquí las matemáticas ya se complican un poco. Si dividimos 14 entre 3, el cociente resulta ser 4 y el resto 2. Se dice que 14 es igual a 2, módulo 3(14=2 mod 3). Y esto es lo que acabamos de afirmar. En la cuenta de la canción, el 14 (el último) recae en el mismo en el que recaiga el 2.

¿Y si sois 4 para repartir? ¿Te atreves a decir matemáticamente qué va a salir? En efecto, otra vez el 2. Si dividimos 14 entre 4, el cociente es 3 y el resto vuelve a ser 2 (14=2 mod 4). Así que en este caso, de nuevo el tonto es el segundo. O si sorteas el guapo o listo y quieres que te toque a ti, debes empezar justo por el que está antes que tú.

¿Y para 5? Pues a ver. 14=4 mod 5 (14=5*2+4). Así que le tocará al que está justo ANTES del que empiezas.

¿Es o no es divertido ser matemático?

En general, supongamos que nuestra canción sirve para contar N veces y tenemos n<N personas entre las que sortear. Entonces basta con dividir N entre n y calcular el resto r (que estará entre 0 y n). La persona que esté en la posición r también le tocará cuando acabe la canción. Pero… ¿qué pasa si sale r=0? Como 0 es justo el número anterior al 1 (por el que se comienza), entonces le tocará justo a la persona anterior (o la última, que es lo mismo). Dicho de otro modo, si N es divisible entre n, entonces le tocará al anterior al que se empieza.

Volvamos a intentarlo con una canción más clásica.

Una dola tela catola quina quineta. Estaba la reina en su gabinete.

Llegó Gil y apagó el candil. Candil candilón, cuéntalas bien que las veinte son.

Tal y como nos dice la canción, ésta sirve para contar hasta 20. Observad la siguiente tabla. En la que en la primera columna está el número de concursantes. En la segunda, el resto de dividir 20 entre el número de concursantes

tabla2

Pero en el fondo, un padre es un padre y también quiere lo mejor para su retoño. Por muy tocapelotas que uno sea. El padre, me refiero. Así que ahora vamos a utilizar este poder que te acabo de mostrar para hacer el bien.

Imagina que tu hijo es el capitán del equipo de fútbol del recreo y tiene que echar a suertes el equipo que le toca. Tu hijo sabe bien quienes son el Messi, el Cristiano o el Konoplianka de su clase. Y quiere que estén en su equipo.

Vamos a imaginar que hay 10 chicos para jugar. Como hay 2 capitanes, hay 8 elegibles. Elegimos nuestra canción favorita:

Pito | pito | colo|rito. | Dónde | vas | tú tan | bonito.

A la | era | verda|dera. | Pin, | pon, | fuera.

Tiene 15 golpes de ritmo.

El sorteo lo haremos de la siguiente forma. Un niño (tu hijo, por ejemplo) empieza a sortear con la canción y el que le toque es de su equipo. Repite la operación comenzando con el siguiente al que haya tocado (el cual se elimina de la siguiente cuenta). Repetimos hasta completar el equipo de 4. El resto de chicos van al equipo contrario ¿En qué posiciones tiene que poner tu hijo a los 4 mejores, para que caigan en su equipo?

Comencemos por colocar a los chicos en forma circular y a numerarlos del 1 al 8, como en la figura

criba0

Para el primero, la cosa es fácil. Hacemos lo mismo que antes. 15=7 mod 8 (15 entre 8 sale a 1 y el resto es 7). Esto significa que le tocará al número 7, es decir, al que está 2 posiciones antes del que empiece el juego.

Ahora hay 7 chicos (del 1 al 8 menos el 7) y comenzamos a contar por el 8. 15=1 mod 7 (15 entre 7 cabe a 2 y el resto es 1), luego le tocará al mismo por el que empieza, es decir, el número 8.

Repetimos. Hay 6 chicos (del 1 al 6), contamos 15 y empezamos a contar por el 1. 15=3 mod 6 (15 entre 6 cabe a 2 y el resto es 3). Le tocará al que está 2 posiciones a la derecha del que empieza en este turno. En nuestro equipo cae el número 3.

Finalmente hay 5 chicos (del 1 al 6 menos el 3), comenzamos a contar hasta 15 comenzando por el 4. 15=0 mod 5 (15 entre 5 es 3 y de resto 0). Esto significa que le tocará al que está inmediatamente antes del que hayamos empezado a contar. Como lo hicimos en el 4 (y el 3 ya estaba eliminado), cae en nuestro equipo el número 2.

Si queréis, os dejo con una pequeña animación que ilustra la situación.

criba

En resumen, si nuestro hijo pone en círculo a los elegibles, ha de poner a los buenos en las posiciones 3, 4 7 y 8. Así se garantiza que caerán en su equipo.

Ahora, querido lector, ya tienes todas las herramientas necesarias para hace tu propia cuenta. Toma tu canción favorita para echar suertes y analízala desde el punto de vista matemático. Utiliza ahora este conocimiento con cautela: un gran poder conlleva una gran responsabilidad. Enseña a tu hijo a ser el rey de los sorteos o sácalo de quicio cada vez que puedas. Tuya es la elección: ¿Prefieres la pastillita roja o la azul?

RojoyAzul

PD: Ningún animal o niño ha sido dañado en los experimentos necesarios para la correcta toma de datos para este artículo.

PD2: Si quiere aprender más, aquí te dejo un par de enlaces elementales.

Aritmética modular en la wikipedia

Problema de Flavio Josefo en la wikipedia.

En el primero podrás aprender los rudimentos de la aritmética modular y cómo funciona. Digamos que es en lo que se basa la primera parte de este artículo.

En el segundo podréis aprender sobre el Problema (o Criba) de Flavio Josefo, una situación similar a la segunda parte de este artículo.

Pero sobre todo recordad que la mejor forma de aprender es hacer vuestros propios experimentos. Las matemáticas no son más que un juego de niños.

PD3: La primera imagen es una adaptación de un clásico meme de internet. La imagen y el gif animado de la criba son obra propia, mientras que la foto final es obra de mi Santa y Venerable Esposa, siendo yo mismo el modelo de manos.

Finalmente, quiero agradecer a Almudena M. Castro la grabación de la canción infantil. Vosotros también deberíais agradecérselo, pues de no haber sido ella, hubiese tenido que cantarla yo mismo.

PD3: Esta entrada participa en la Edición 6.9: Conjunto de Cantor del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog ::ZTFNews.org.


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