Soy omega: La semilla del caos

omega

Escribe un número entre el cero y el uno; pero para hacerlo sigue una sencilla receta:

  1. Primero coloca el cero y una coma.
  2. Luego elige un número al azar, y lo colocas como primer decimal.
  3. Luego, eliges otro número al azar y lo pones como segundo.
  4. Eliges un tercero al azar… un cuarto… un quinto… un…
  5. y así infinitamente, siempre al azar. Hasta el fin de los tiempos.

Ese número soy yo: Omega.

Un simple número, ¿verdad?

Pero… cuidado.

Soy un número.

Definitivamente existo. Puedes definirme. Puedes entenderme… pero no puedes calcularme. Y eso, debería preocuparte.

Comencemos desde el principio:

Platón reconoció a los números como la base para la descripción del universo. Afirmaba que debían existir ciertos números, ciertas proporciones, ciertas relaciones, en definitiva, ciertas simetrías que describieran el universo físico. Solo debíamos encontrarlas.

Euclides definió en cinco simples postulados las bases fundamentales de la geometría, en las que se basa tu forma de ver el mundo que te rodea.

Sin embargo, Pitágoras , ya se enfrentó a una realidad oscura, difusa, al encontrar a los inconmensurables… esos números que no podían ser descriptos (ni calculados) de manera simple,  y que representaban todo un dilema filosófico: ¿cómo podía entenderse una cantidad que no pudiera medirse con las mismas unidades que otras cantidades que la forman? ¿cómo era posible que la hipotenusa de un triángulo jamás pudiera medirse en cantidades enteras de las mismas unidades con que se miden los lados? ¿cómo eran posibles esos números que hoy conoces como “irracionales”? Toda la grandiosa filosofía griega colapsaba ante su simple existencia… y eran apenas unos simples números.

Sin embargo las matemáticas se impondrían nuevamente con su poderosa belleza cuando Newton publica su “Principia Matemática” en 1686, describiendo las leyes del universo que controlan el devenir un simple grano de arena, de los planetas, las estrellas y el universo todo.

Aceptados ya los inconmensurables como una realidad,  con las matemáticas dominando el mundo y el universo,  de pronto en 1686. Leibniz se encuentra de nuevamente con las tinieblas. Su portentoso genio matemático (quizás el mas grande de todos los tiempos) atisbó algo que lo dejó perplejo:

Supongamos que dibujas dos puntos en una hoja de papel. Esos puntos definirán (tal como postulaba Euclides) una línea recta, cuya ecuación puedes calcular y expresar matemáticamente.

Si son tres los puntos, al menos podrás definir una curva que los incluya.

Ahora supongamos que sacudes la pluma sobre el papel y caen sobre él de manera aleatoria una gran cantidad de gotas de tinta, donde cada una representa un punto al azar. Leibniz razonaba que al igual que con los dos primeros ejemplos, debía ser posible calcular una ecuación que “dibuje” la curva que une todas esas gotas dispersas. Es decir: debe existir una ecuación que “ordene” esas gotas aparentemente al azar. Debe haber un orden matemático subyacente bajo el aparente azar.

Pero (y aquí está su dilema), es posible que tal ecuación sea tan compleja, que podría ser imposible de descubrir.

La pregunta que inquieta a Leibniz es:

  • Si ese orden subyacente fuera tan complejo que es inaccesible para en entendimiento humano… ¿qué diferencia tendría con el azar?

Nunca podrías saber si es realmente azar, o simplemente incapacidad humana para alcanzar el orden matemático subyacente. Tu comprensión del “universo de gotas sobre papel” se limitaría a solo aquellos conjuntos de gotas que fueras capaz de describir matemáticamente, pero  nunca podrías conocer por completo ese universo… solo adjudicarlo al azar… o a Dios.

Por analogía, si esa ecuación inaccesible pero cierta y verdadera existe, también sería imposible para el ser humano encontrar el teorema que demostrara todos los teoremas matemáticos posibles, conocidos o no.

En palabras llanas…  aquello de que “si te esfuerzas lo suficiente el tiempo necesario encontrarás la solución a todos tus problemas” era sencillamente falso.

El camino hacia el caos.

El “Principio de razón  suficiente es un axioma lógico que afirma (en palabras simples), que si algo existe, ocurre o es cierto, hay una explicación suficiente para ello.

Como todo axioma, se acepta sin justificación alguna.  Y aceptarlo implica por contraposición aceptar que nada puede existir sin una causa que lo justifique.

En palabras de Heidegger:

  • Nada existe sin una razón.
  • Todo tiene una razón de ser.

Si aceptas esto, debería entonces ser posible encontrar “La Teoría del Todo , que explicara el universo.

Einstein pasó su vida tratando de encontrar la Teoría de Campo Unificado.

Los físicos aún siguen buceando en la Teoría de Supercuerdas, imaginando dimensiones que no saben si existen.

Hilbert intentó desarrollar un conjunto de axiomas (verdades que no necesitan ser justificadas) que incluyeran toda la matemática conocida.

Pero mientras todos estos esfuerzos intentaban dar con la razón última del universo, la física y las matemáticas,  un joven Kurt Gödel ya había abierto en 1931 una grieta en el principio de razón suficiente con sus “Teorema de  incompletitud”.

Gödel demostró algo muy simple:

  • No existe una teoría matemática que describa la aritmética de los números naturales y sea a la vez consistente y completa.

“Consistente” significa que no tiene contradicciones en sí misma.

“Completa” significa que puede responder cualquier pregunta.

Lo que Gödel demostró es que toda teoría aritmética que pretenda responder todas las preguntas, tendrá contradicciones, y toda teoría sin contradicciones tendrá preguntas sin resolver.

En sentido figurado, no puedes demostrarte a ti mismo.

Las oscuras manchas de tinta sobre el papel, comienzan nuevamente a aparecer ante tu intelecto.

Lo que Gödel dice, no implica que una teoría sea cierta o no… puede serlo, solo que no puedes probarlo.  Siempre habrá preguntas que no puedas contestar, o contradicciones que desconozcas.

  • No es que seas tonto y no puedas responder todas las preguntas con tus teorías… es que, simplemente, es imposible.

Alan Turing reformuló esta idea en forma de algoritmos, es decir, secuencias lógicas de operaciones que permitan resolver un problema:

  1. Programe un algoritmo sencillo que dé como resultado un número irracional cualquiera con infinitos decimales.
  2. Hágalo funcionar y obtenga el resultado con n decimales ( por ejemplo, 5 decimales)
  3. Ahora entréguele ese resultado con n decimales a alguien que desconoce el algoritmo.
  4. Pídale que descubra el algoritmo que lo generó.

Es imposible.

Esa persona podrá aproximar un algoritmo que reproduzca los cinco decimales, pero como no conoce el sexto decimal, nunca sabrá si su algoritmo es el correcto. Lo mismo da que le entregues un resultado con diez decimales, con cien o con un millón… para que esa persona descubra sin lugar posible a dudas el algoritmo verdadero (y no otro que solo se le aproxime), deberías darle infinitos decimales… y eso es imposible.

Más aún: ¡Es posible que esa persona haya encontrado el algoritmo verdadero! pero no puede probarlo por métodos matemáticos.

Para decirlo de manera contundente:

Quizá tu teoría sea cierta y verdadera… pero no puedes probarlo por métodos matemáticos.  Solo podrás probarla empíricamente mediante ensayos, cálculos, prueba y error, verificaciones, etc… Pero nunca demostrar matemáticamente que es cierta.

Gregory Chaitin intentó internarse más aún en esta oscura realidad, y se planteó unir en un solo concepto las ideas de Gödel y Turing, con un ejemplo como este:

Programa un ordenador para que realice la siguiente tarea:

  • tome cualquier número x no negativo y multiplíquelo por 2 hasta que el resultado sea mayor que 1

Con cualquier número mayor que cero, el ordenador se detendrá en algún momento al alcanzar el número mayor que 1 indicado como fin del proceso. Puede ser en una única iteración o después de miles de millones… depende del número inicial x que haya tomado la máquina al azar.

Pero si (azarosamente) la máquina tomó como  número “no negativo” al cero,  no podrá detenerse nunca… hasta el fin de los tiempos.

Por lo tanto: Has podido determinar en qué caso el programa se detendrá, y en qué caso no. Tienes certeza de eso. Incluso puedes determinar la probabilidad de que el programa se detenga.

Ahora plantéate lo siguiente:

Toma todos los programas existentes y no existentes pero posibles, de todas las computadoras del universo, habidos y por haber… y extrae uno al azar

¿qué probabilidad hay de que ese programa se detenga?

Soy Omega.

De pronto, Chaitin me estaba mirando a los ojos… fijamente.

Allí estaba yo, Omega. Cierto. Verdadero. Real. Pero imposible de calcular.

Represento la probabilidad de que un programa tomado al azar se detenga.

Pero nunca podrás calcularme.

Toda tu lógica matemática sucumbe ante mí.

Sabes que estoy entre el cero y el uno… sabes que cada uno de mis dígitos se obtienen al azar.  Pero no tienes forma de calcularme. Necesitarías una “Teoría del todo” matemática para calcularme, pero sabes que no tienes manera de alcanzarla.

En el mejor de los casos, como mucho, podrás aproximarte a mí por métodos estadísticos… de manera empírica… por prueba y error.

En definitiva, toda tu lógica matemática sucumbe. Soy el número que no puedes calcular, simplemente porque es imposible. De nada vale tu razón. Nunca podrás.

Conclusión.

“La matemática es una ciencia exacta” has escuchado seguramente.

Ya no.  Si no puedes calcularme, toda tu matemática es insuficiente, incompleta, y por lo tanto, inexacta ante mí.

A partir de mí, la matemática puede ser meramente una ciencia experimental, cuasiempírica… pero ya no “exacta”.

El “princio de razón suficiente” ha sucumbido ante mí.

Soy la semilla del caos.

Este artículo nos lo envía Daniel Hazeldine. Ingeniero químico de profesión, docente por vocación, divulgador por pasión.Vive y hace docencia en un colegio técnico en una pequeña ciudad del interior de Argentina. Podéis visitar su blog Curioseantes y seguir sus actualizaciones en su twitter @curioseantes.

Referencias:

Platón: https://es.wikipedia.org/wiki/Plat%C3%B3n

Euclides: https://es.wikipedia.org/wiki/Euclides

Pitágoras: https://es.wikipedia.org/wiki/Pit%C3%A1goras

Newton: https://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton

Leibniz: https://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibniz

Heidegger: https://es.wikipedia.org/wiki/Martin_Heidegger

Einstein: https://es.wikipedia.org/wiki/Albert_Einstein

Hilbert: https://es.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert

Gödel: https://es.wikipedia.org/wiki/Kurt_G%C3%B6del

Turing: https://es.wikipedia.org/wiki/Alan_Turing

Chaitin: https://es.wikipedia.org/wiki/Gregory_Chaitin

Fuentes:

http://axxon.com.ar/zap/300/c-zapping0300.htm

https://es.wikipedia.org/wiki/Constante_de_Chaitin

https://es.wikibooks.org/wiki/Chaitin,_Omega_y_otras_curiosidades_matem%C3%A1ticas

https://plus.maths.org/content/omega-and-why-maths-has-no-toes

 

6 Comentarios

Participa Suscríbete

guestguest

Soy seguidor habitual de naukas y lamentablemente tengo que criticar bastante este artículo. La constante de Chaitin está perfectamente bien definida (véase https://en.wikipedia.org/wiki/Chaitin%27s_constant ), y es un único número real.

Por contra, la definición dada en este artículo es una “chapuza”. La propuesta aquí dada no define un número particular, más bien define una familia de números, de hecho todos los números en el intervalo [0,1).

Con todo el respeto, parece el artículo de alguien que ha leído bastante divulgación del tema pero no ha entendido para nada los detalles (vamos, ni la definición).

Curioseantes

Estimado Guest:
Agradezco su crítica y declaro con humildad mis dudas previas sobre la propuesta de publicación o no del artículo, dado que como bien dice, no soy experto en la materia.

Comprendo que mi “relato” puede no ajustarse a la realidad matemática de la construcción de Chaitín con la rigurosidad requerida.
Mi real objetivo, solo era tratar de brindar una explicación lo mas llana posible para que cualquiera pudiera comprender mediante analogías, metáforas (y algo de historia) el concepto de un “número no computable algorítmicamente aleatorio”, especialmente el mas intrigante de ellos.

Pido desde ya disculpas a los lectores de Naukas que puedan discrepar con el presente artículo y acepto las críticas y observaciones que merezca en estos comentarios.

Txema M.Txema M.

Euclides definió las bases fundamentales de la geometría en cinco postulados, cuatro simples y uno, el quinto, muy complejo. Es curioso que no se insista más en este punto, ya que da pie a pensar que el propio Euclides sabía que eran posibles otras geometrías distintas con una formulación diferente de dicho postulado.

HéctorHéctor

“¿cómo era posible que la hipotenusa de un triángulo jamás pudiera medirse en cantidades enteras de las mismas unidades con que se miden los lados?”… Esta afirmación no es cierta: ¿qué hay de las ternas pitagóricas?

Txema M.Txema M.

Sí, tienes razón; las ternas eran conocidas por los egipcios y creo que por varias culturas más. Lo que supongo que quería expresar el autor es el asombro ante el hecho de que para cualquier cuadrado resulte imposible expresar la diagonal (la hipotenusa del triángulo rectángulo formado por dos lados adyacentes) en unidades discretas que también dividan a los catetos.

Deja un comentario

Tu email nunca será mostrado o compartido. No olvides rellenar los campos obligatorios.

Obligatorio
Obligatorio

Puedes usar las siguientes etiquetas y atributos HTML: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>