Matemáticas en la Dinastía Song

El Tratado de Nueve Capítulos, de Qing Jiushao
El Tratado de Nueve Capítulos, de Qing Jiushao

Como tantas otras cosas con la historia que aprendemos en Occidente, la historia de las matemáticas son marcadamente etnocéntricas. Si bien esto es relativamente fácil de defender a partir del siglo XVII, antes de eso la evolución de las matemáticas es un mosaico fascinante que tiene complicadas y sorprendentes relaciones de influencias que se mueven entre Medio Oriente, India y China. Tras crear un espeso caldo de cultivo, se movieron hacia Europa, donde florecieron y explotaron sobre todo a partir de las necesidades creadas por las técnicas de la Revolución Industrial.

En muchos casos, los nombres con los que conocemos casi la mayoría de teoremas y objetos matemáticos son de matemáticos europeos que los descubrieron ó re-descubrieron y les dieron y difusión, aunque hayan sido conocidos desde siglos o hasta milenios antes. Pro ejemplo, el Teorema de Pitágoras fue descubierto de forma independiente en varias regiones, y el Triángulo de Pascal se conocía en China en el siglo XI, seiscientos años antes de Pascal (1623 – 1662):

Triángulo de Yang Hui, 1303
Triángulo de Yang Hui, 1303

En años recientes, afortunadamente ha habido una generación de intensos estudios en la historia de las “matemáticas no occidentales” que han arrojado ya interesantísimos resultados en la exploración de periodos clave de su progreso gracias a persas y árabes, indios y chinos. Es una pena que grandes cantidades de material original hayan sido destruidos o bien permanezcan sin traducir, pero también, a juzgar por los trabajos que están saliendo a la luz, es emocionante pensar en lo que los estudiosos están por ofrecernos en los próximos años.

Veamos algunas interesantes facetas de las matemáticas chinas, en específico durante un periodo histórico conocido como la Dinastía Song del Sur (1127 – 1279).

La Dinastía Song normalmente se considera una “era dorada” y en efecto, vio un importante patronazgo de las artes y las técnicas. En pintura, caligrafía y artes plásticas esto es incontestable, sin embargo en las matemáticas es más bien un periodo en que tenemos muy pocos documentos sobrevivientes y los cuatro tratados más importantes —aunque exponen problemas bastante interesantes y complejos— tienen el rasgo común de mencionar con frecuencia a “matemáticos antiguos” de quienes tan sólo copian y expanden sus ideas. A pesar de esa modestia, si bien es cierto que trabajan en “problemas tradicionales”, de hecho muchas de sus técnicas son no sólo innovadoras sino hasta virtuosas. Para apreciar el por qué, primeramente echemos un ojo a la numeración china, que para épocas de la Dinastía Song había estado en uso por más de 1500 años, desde por lo menos la Dinastía Zhou (770 – 256 a.C.):

Numeración china antigua

En China coexistían tres formas distintas de notación y manipulación numérica: la primera era simplemente una forma de describir los números:

27 Matematicas Song, 1-10Esta notación no es para calcular, sino sólo para escribir, y es más o menos posicional. Por ejemplo:

27 Matematicas Song 387significa 387. Esto es que, en el chino, no hay diferencia como la hay en español entre escribir los números con letras o con sus signos. La segunda notación es básicamente lo mismo pero usando caracteres mucho más complicados; se usaba exclusivamente para llevar la contabilidad, evitando que los sencillos signos de 1, 2 y 3 pudieran ser alterados. Esto es lo mismo que hacemos hoy en día, escribiendo la cantidad con letra en un cheque.

La tercera forma era la realmente extraordinaria: la usada para realizar cálculos. Aunque se usaba para contar mercancías desde la Dinastía Zhou, los primeros tratados que tenemos con su uso matemático datan de entre los siglos V y VII. A primera vista parecen no más que otro sistema de representación:

27 Matematicas Song, varas 1pero es mucho más que eso, ya que de hecho se usaban varillas físicas sobre una tabla para realizar los cálculos, y además tenían un extraordinario sistema posicional que algunos autores han descrito como predecesor del uso teórico del cero:

27 Matematicas Song, varas 3De hecho, se ha propuesto que las “matemáticas difíciles” entraron en declive en China a partir del siglo XV, cuando el antiguo sistema de varillas fue sustituido por el ábaco, mucho más rápido para calcular pero mucho más limitado en su potencial.

Un ejemplo de cálculo con varillas

Tomemos el sencillo problema de multiplicar 81 x 81. Este problema aparece en un libro llamado Sunzi Suanjing (“El cánon matemático del maestro Sun”), cuya fecha es incierta pero es probablemente anterior al siglo VI. La explicación que aparece en este libro para realizar la operación es como sigue:

Nueve por nueve es 81. Encuentra ahora 81 x 81. La respuesta es 6561.

  1. Prepara las dos posiciones, inferior y superior.
  2. El 8 de arriba va con el 8 de abajo: 8 x 8 son 64, así que pon 6400 en la posición intermedia.
  3. El 8 de arriba va con el 1 de abajo: 8 x 1 es 8, así que pon 80 en la posición intermedia.
  4. Mueve el número inferior (el 81) un espacio a la derecha, y elimina el número de decenas superior (el 80).
  5. El 1 de arriba va con el 8 de abajo: 8 x 1 es 8, así que agrega 80 en la posición intermedia (resulta 6560).
  6. El 1 de arriba va con el 1 de abajo: 1 x 1 es 1, así que agrega 1 en la posición intermedia (resulta 6561) y elimina las posiciones superior e inferior.

27 Matematicas Song, varas 2Esto es un fascinante ejemplo de multiplicación posicional por partes, y aunque más o menos exótica de seguir, el problema es que empieza con las posiciones de mayor valor y termina con las de menor, al revés de cómo hacemos nosotros. Pero requiere los mismos 5 pasos que requiere nuestra multiplicación moderna y es realmente un logro extraordinario para un sistema tan antiguo. Veamos ahora a nuestros cuatro virtuosos autores, que contaban con este poderoso método de cálculo.

Cuatro matemáticos Song

El primero de los cuatro autores es Yang Hui (1238–1298), que es famoso por sus tratados de problemas de introducción a las matemáticas y además por sus extensos estudios de matemáticas recreativas, algo muy poco común en la ciencia china que es intensamente práctica. Además de sus trabajos en cuadrados y círculos mágicos, Yang popularizó el Triángulo de Pascal (mostrado más arriba) en un tratado escrito en 1261, pero menciona al matemático Jia Xian (1010–1070) como su primer proponente.

El autor Li Zhi (1192–1279), nuestro segundo protagonista, escribió el idiosincrático Ceyuan Haijing (“Espejo marino de la medición de círculos”), un trabajo de geometría extraordinario: primeramente, Li dibuja el plano de un pueblo redondo. A lo largo de 170 problemas, la pregunta es siempre ¿cuánto mide el radio del pueblo?, y la respuesta es siempre 120 unidades, pero las formulaciones se van haciendo cada vez más complejas.

27 Matematicas Song 01 originalEn la imagen está uno de los problemas, expresado como sigue:

A una distancia de 135 pu de la puerta sur del pueblo hay un árbol. Si caminas 15 pu saliendo por la puerta norte y luego viras al este, al caminar 208 pu podrás ver el árbol. ¿Cuál es el radio del pueblo?

En representación moderna (y en español) lo podemos ver así:

27 Matematicas Song 02 esquemaEl problema requiere del uso del teorema de Pitágoras, así como del uso de tangentes y triángulos congruentes. Pero además, Li lo resuelve haciendo uso de una ecuación ¡de cuarto grado! simplemente para demostrar su maestría del cálculo.

Y pasando al tema de virtuosismo, tenemos a Qin Jiushao (c. 1202 – 1261) y a Zhu Shijie (1249–1314), autores de sendos tratados matemáticos en los que al igual que Li, abordan problemas prácticos pero hacen un despliegue de maestría matemática que es difícil de creer para la época. Por ejemplo, Qin, en su Shushu Jiuzhang (“Tratado de Matemáticas en Nueve Capítulos”, 1247) resuelve un problema similar al del problema del pueblo circular de Li, pero usando una ecuación ¡de grado 10! Para hacer esto, usa el artificio de definir el diámetro como x2, pero aún así es un trabajo fenomenal para resolver un problema de ese tipo.

En su tratado, Qin da además una de las explicaciones más completas del Teorema Chino del Residuo, un problema de congruencia de números conocido desde el siglo III pero que en Occidente no fue abordado sino hasta tiempos de Fibonacci (1200) y redescubierto por Gauss (1800). Se trata de cómo encontrar un número n, tal que dé residuos a, b, c… al dividirse entre números p, q, r… .

Por su parte, Zhu Shijie en su Siyuan Yujian (“Cuatro incógnitas en el espejo de jade”), además de resolver como sus contemporáneos, problemas complejos de formas muy complejas, constantemente construye problemas con ecuaciones de grado 4 y superiores, y propone formas para obtener sumatorias de series infinitas.

27 Matematicas Song 03 castilloEs de notar también que, además de buscar títulos extraordinariamente rebuscados/poéticos (dependiendo del gusto del lector), los cuatro autores de este periodo, aunque no se conocieron entre sí, enmarcan sus problemas de forma consistente como problemas topográficos, problemas de distribución de tropas en espacios confinados, de asignación de alimentos a batallones y de distancias a campos enemigos. Los convulsos tiempos en los que los mongoles conquistaban el norte de China daban la pauta para imaginar torres y ejércitos en constante necesidad de matemáticos capaces de que los ayudasen.

Referencias:

Kim Plofker, Mathematics in India. Princeton University Press, 2008.

Lam Lay Yong y Ang Tian Se. Fleeting Footsteps. Tracing the Conception of Arithmetic and Algebra in Ancient China. Singapore: World Scientific, 1992; p. 34.

Hodgkin, Luke. A History of Mathematics. Oxford University Press, 2005; pp. 90-97.

Yang Hui. Encyclopaedia Britannica.

Cómo hacer Cuadrados mágicos. Soy Matemáticas.

Sunzi Suanjing. Wikipedia.

Li Zhi. Wikipedia.

Ceyuan Haijing. Wikipedia.

Qing Jiushao. Biografías y Vidas.

Mathematical Treatise in Nine Sections. Wikipedia.

Zhu Shijie. Encyclopaedia Britannica.

Siyuan Yujian. Encyclopaedia Britannica.

Weisstein, Eric W. Chinese Remainder Theorem. MathWorld-Wolfram Web.


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