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Como tantas otras cosas con la historia que aprendemos en Occidente, la historia de las matemáticas son marcadamente etnocéntricas. Si bien esto es relativamente fácil de defender a partir del siglo XVII, antes de eso la evolución de las matemáticas es un mosaico fascinante que tiene complicadas y sorprendentes relaciones de influencias que se mueven entre Medio Oriente, India y […]

UN LLAMADO A LA CURIOSIDAD. . Si mi lector ha tenido la paciencia de seguirme hasta este punto, en primer lugar se lo agradezco infinitamente, porque no ha sido un trayecto sencillo. Y en segundo lugar, apelo aquí a su curiosidad por saber hasta dónde ha llegado la aventura, para continuar con la segunda parte. La cosa es así: hasta ahora […]

15. JUEGOS GEOMÉTRICOS EN UNA FIGURA BASADA EN ESCALAS MUSICALES. . En el capítulo anterior vimos varias opciones de manipulación y de observaciones que podemos hacer a las figuras construidas en nuestro espacio M. Como ejemplo, nos basamos en los pares geométricos que encontramos como una solución de lo que conocemos ya como M (3, 3). Ahora aplicaremos el mismo tipo […]

14. JUEGOS GEOMÉTRICOS EN UN ESPACIO M. En este capítulo, siempre con el espíritu de “vamos a ver qué pasa” con el que empezamos nuestra aventura, presentaremos algunas manipulaciones geométricas básicas, para usar en las figuras que hemos ido encontrando al mapear escalas y acordes musicales. Consideremos primero el conjunto de 5 pares de triángulos que encontramos en el capítulo […]

Decíamos que en nuestro sistema de graficar melodías musicales, la mayor parte de sus características distintivas desaparecen, y tan sólo nos quedamos con las figuras creadas por los movimientos entre nota y nota. Dejamos de lado duraciones, volumen y todo tipo de matices. En un sistema más sutilmente definido, en el futuro podemos tomar estos factores en consideración, pero por […]

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11. LA DEFINICIÓN DEL UNIVERSO M. Primeramente, definiremos los conceptos dentro de los cuales existe nuestro experimento así como sus reglas, de modo que tenga un máximo de generalidad y flexibilidad:. Un Espacio M es una colección de puntos distribuidos a lo largo de un objeto geométrico en un espacio n-dimensional. Dentro de un Espacio M se pueden crear figuras […]

10. ROTACIONES Y UNA PARADOJA. . Pasemos a un tema que naturalmente emerge de nuestro sistema: las rotaciones. Este tema lo relacionaremos con una de nuestras definiciones: la Extensión X(e) de la escala. Recordemos que definimos la Extensión como la relación entre el área del Polígono de la Escala vs. el área total del dodecágono. Para abundar, dijimos que esto equivale […]

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7. ESCALAS, PARTE III: asimetrías. Veamos ahora unos cuantos ejemplos de escalas cuyas estructuras son asimétricas y de las cuales decimos que acústicamente crean efectos más “alejados de lo clásico” que las escalas modales:. NOMBRE – ESTRUCTURA . Menor armónica – 2 1 2 2 1 2 1. Escala de Blues – 2 1 1 3 2 3. Escala japonesa – […]

5. ESCALAS, PARTE I: LAS CLÁSICAS. . Veamos lo que tenemos para comenzar:. Un círculo con un dodecágono regular inscrito (imagen arriba), en donde cada punto representa una nota, y todas las notas se suceden a la derecha en intervalos de siete semitonos; y. Siete estructuras de escalas (las escalas modales), que dibujaremos en dicho círculo. Recuerde: siempre usaremos la escala […]

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2. EL CÍRCULO DE QUINTAS COMO ESTRUCTURA PARA CONSTRUIR FIGURAS. . Lo que queremos es una estructura dentro de la cual construir geometrías y el Círculo de Quintas nos proporcionará una primera forma de este tipo de estructura, aunque no será la única. El círculo es muy usado en música —en específico en armonía— por esta razón: el intervalo de quinta […]