El Efecto Mariposa: vaya ¿timo?

El aleteo de las alas de una mariposa hoy en Japón, puede provocar mañana un huracán en Nueva York

En Matemáticas, una de las teorías más conocidas por el público en general quizás sea la Teoría del Caos. Y es muy posible, querido lector, que ya sepas de qué va. Y también es muy posible que tan sólo con leer el título de esta entrada, ya supieras que esta entrada trataría sobre el Caos. Claro, es hablar del Efecto Mariposa y automáticamente aparece la palabra caos en la cabeza de todos. De hecho, tengo la sensación de que para el público en general, el caos es el Efecto Mariposa.

Efecto Mariposa
Imagen extraída de Ciencia con alma y arte

Pero… ¿qué es (matemáticamente hablando) el Efecto Mariposa? ¿Lo llaman así los matemáticos? ¿Qué tiene que ver todo esto con el Caos? En el presente artículo, vamos a tratar de dar respuestas, a modo de breves pinceladas, a estas preguntas.

Sistemas dinámicos y caos.

Vamos a comenzar sentando las bases. El caos es un concepto matemático que se aplica a Sistemas Dinámicos que para entendernos, podemos pensar en procesos que va cambiando con el tiempo bajo ciertas reglas. Matemáticamente, dada una aplicación \varphi de un conjunto X en sí mismo y un estado inicial x_0\in X, definimos la órbita de x_0 bajo la acción de \varphi, es decir, x_0,  x_1=\varphi(x_0),  x_2=\varphi(x_1)=\varphi^2(x_0),  x_3:=\varphi(x_2)=\varphi^3(x_0)… Pues bien, esto es un sistema dinámico (discreto). Aunque para ser más rigurosos, hay que decir que el sistema dinámico es (la iteración de) la propia aplicación \varphi y para cada posible estado inicial, tenemos una órbita diferente del sistema dinámico.

Bien, ya sabemos sobre el tipo de cosas con las que vamos a trabajar, lo siguiente es aprender sobre la propiedad que queremos estudiar. Y esta propiedad se llama caos. Dicho de forma sencilla, un sistema dinámico es caótico cuando las órbitas que genera son impredecibles y complicadas.

Por ejemplo, si parto de dos puntos muy cercanos, puede que pasado un cierto tiempo, las órbitas estén alejadas. Esto es lo que se conoce como Efecto Mariposa. Pero también hay otras formas de ver que las órbitas son complicadas. Puede ocurrir que una única órbita esté cerca de cualquier punto del espacio; algo así como la Curva de Peano (esa que llena un cuadrado).

Matemáticamente hablando, hay muchas opciones para tratar de definir el caos de un sistema dinámico. Pero quizás la más extendida de todas ellas sea la definición dada por Robert L. Devaney en 1985 [2]. Según este matemático, un sistema dinámico \varphi:X\to X (donde X es un espacio métrico, es decir, en donde existe una distancia) es caótico si posee las tres siguientes propiedades.

  1. Dependencia sensible respecto de las condiciones iniciales.
  2. Existencia una órbita densa.
  3. Un conjunto denso de puntos periódicos.

La primera propiedad es, precismenete, el Efecto Mariposa y significa que existe una distancia fija \delta_0 (llamada constante de sensibilidad) de forma que sea cual sea el punto de partida que elijamos, siempre seremos capaces de encontrar otro punto de partida, tan cercano como queramos al anterior de forma que la órbita del primero y del segundo tarde o temprano están a una distancia mayor que \delta_0. Esta constante es fija para cada sistema dinámico caótico, y puede ser muy grande (con lo que las órbitas se separarían mucho) o bien pequeña (con lo que las órbitas se separarían poco). Lo importante aquí es que da igual lo cerca que queramos buscar el segundo punto, que siempre lo podremos encontrar: tanto si lo buscamos a 1 centímetro de distancia, como si lo buscamos a 1 nanómetro, o usamos la Longitud de Planck.

La condición 2 implica que hay una órbita que prácticamente llena todo el espacio, mientras que la 3 nos dice que por todos lados vamos a poder encontrar puntos cuyas órbitas sean periódicas (es decir, órbitas que pasado un cierto tiempo -llamado periodo- vuelven a su estado inicial).

En palabras del propio Devaney, un sistema dinámico caótico posee 3 ingredientes fundamentales. Debe ser impredecible, de ahí la condición del Efecto Mariposa; debe ser indescomponible (no se puede descomponer en sistemas más sencillos e independientes entre sí), y por ello la segunda condición, ya que al existir un punto cuya órbita llena prácticamente el espacio, no lo vamos a poder dividir (el espacio) sin romper, de alguna forma, esta órbita; finalmente tienen que tener un amplio elemento de regularidad en medio de este comportamiento aleatorio, y este elemento son los puntos periódicos que han de poder encontrarse en cualquier sitio.

Efecto Mariposa, caos… y una sorpresa.

Como se puede apreciar, el Efecto Mariposa aparece como una parte importante de la definición de caos. De hecho, es la primera condición, la de lo impredecible. Podríamos decir que desde las propias Matemáticas, se da a entender que el Efecto Mariposa es la parte fundamental del caos.

Y sin embargo…

Y sin embargo, las cosas no son lo que parecen. 7 años después de la aparición del libro en donde Devaney introduce su definición de caos, 5 matemáticos australianos obtienen un resultado genial y completamente inesperado: el Efecto Mariposa es una condición superflua.

¿Qué significa esto? ¿Qué no siempre hay efecto mariposa en el caos? No, no significa esto. Lo que significa es que esta condición se puede eliminar de la definición y todo sigue igual. ¿Qué se elimina? Pues entonces es que no está. Tranquilos. Lo que se demuestra en [1] es que un sistema dinámico que cumpla las condiciones 2 y 3, es decir, la existencia de una órbita densa y la existencia de un conjunto denso de puntos periódicos, automáticamente debe cumplir la condición 1, es decir, el efecto mariposa. Dicho de otro modo, el efecto mariposa no es más que una consecuencia del caos.

Pero quizás lo más sorprendente es la sencillez (desde el punto de vista matemático) de la prueba. El artículo tiene poco más de 2 páginas, de las cuales la demostración del resultado apenas media carilla. Pero es que las matemáticas que son necesarias para entender la prueba apenas necesitan conocimientos básicos sobre espacios métricos. Vamos, que cualquier estudiante de primero de Matemáticas, Física o incluso Ingeniería, tiene las herramientas necesarias para comprender la prueba.

Por lo tanto, podemos concluir que para poder hablar de caos, basta con tener una órbita que (casi) nos llene todo el espacio y muchísimas órbitas periódicas. Podríamos decir que un sistema caótico, divide al espacio en 2 partes: una de gran regularidad (conjunto denso de puntos periódicos) y otra totalmente conectada e indescomponible (una órbita densa). Amabas partes están tan entrelazadas entre sí, que es imposible separar una de la otra. El efecto mariposa es una simple consecuencia de todo lo anterior.

Así que, queridos lectores, espero que a partir de ahora, cuando oigáis hablar de caos, no os centréis únicamente en el efecto mariposa y pensad que hay otro tipo de impredecibilidad que caracteriza mejor el caos.

Referencias

ResearchBlogging.org[1] J. Banks y otros, On Devaney’s definition of chaos, Amer. Math Month.99 4 (1992), 332-334. http://dx.doi.org/10.2307/2324899

[2] L. R. Devaney, An introduction to chaotic dynamical systems, Benjamin/Cumings, Menlo Park, CA, 1986.

[3] N. Feldman, Linear Chaos?(2001).

[4] K. G. Grosse-Erdmann y Q.Menet Le chaos linéaire : un paradoxe? (2012) Traducción al español: Caos lineal: ¿una paradoja? (2012).

PD: Esta entrda participa en la Edición 3.141 (Abril) del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog DesEquiLibros.

Actualización: Si queréis ver una demostración de que el efecto mariposa es una condición superflua, podéis encontrarla en el artículo El Efecto Mariposa: una condición superflua del caos. La demostración que allí presento es prácticamente la que aparece en la referencia [1], aunque ligeramente adaptada para utilizar básicamente el concepto de distancia.

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