5 lunes, 5 martes y 5 miércoles

Periódicamente aparece por Internet mensajes como el del siguiente tuit:

 

En él, se dice que este año es muy especial pues el mes de octubre tiene 5 lunes, 5 martes y 5 miércoles. En ese momento, paras de leer, corres a ver un almanaque y observas con cierto asombro que el dato es correcto. Continúas leyendo y (ahora viene lo bueno) te dicen que esto sólo ocurre cada 823 años (bueno, este dato es variable, a veces es 825, otros 829, pero siempre es un número de años que ni Matusalén lograría vivir al alcance sólo de Matuslén). Y claro, ahí ya se te descoyuntan la mandíbula y todos los metacarpos y metatarsos.

Imagen tomada por Marta Macho

Vamos a pararnos un momento a pensar (con un par de neuronas activas es suficiente). ¿823 años? ¿estamos locos o qué? Una sencilla búsqueda en el calendario de tu Sistema Operativo te dirá que esto mismo ocurrirá el próximo año 2018, para el que faltan sólo 6 años y no 823.

  • Entonces… ¿en 2024 volverá a ocurrir?
  • Pues va a ser que no. Tras el 18, la próxima vez que ocurrirá esto en octubre será en 2029.
  • Ah! Ya lo entiendo. Que no hay un periodo fijo para que esto ocurra.
  • Pues va a ser que no, otra vez. Sí podemos encontrar un periodo fijo y vamos a usar la lógica para encontrarlo

Lo primero que tenemos que darnos cuenta es que el hecho de que haya 5 lunes, 5 martes y 5 miércoles en el mes de octubre, es lo mismo que decir que el día 1 de octubre cae en lunes. En efecto, como octubre tiene 31 días, y 31=7\times4+3, los 3 primeros días de octubre se repiten 5 veces, mientras que el resto, se repiten sólo 4 veces. Así que si el 1 de octubre cae en lunes, habrá 5 lunes, martes y miércoles en octubre (y cualquier otro mes con 31 días) y 4 jueves, viernes sábado y domingo.

Lo segundo es echar unas cuentas. Todos sabemos que cada año que pasa, el día de nuestro cumpleaños salta 1 día ó 2 de la semana, dependiendo si el año es o no bisiesto. Para evitarnos problemas, vamos a trabajar con periodos básicos de 4 años, para garantizarnos tener siempre 3 no bisiestos y 1 bisiesto. Así, como este año el 1 de octubre cae en lunes, el año que viene 2013 (que no es bisiesto) caerá en martes; en 2014 caerá en miércoles; en 2015 caerá en jueves; y en 2016, que vuelve a ser bisiesto, caerá en sábado.

Ahora ya lo tenemos. Cada 4 años, si nos fijamos en 1 día concreto del año (el 1 de octubre, por ejemplo), el día de la semana se retrasa en 2 días (pasamos de lunes a sábado) o lo que es lo mismo, avanza 5 días. Para que vuelva a caer en lunes, y dado que 5 y 7 son números primos entre sí, hace falta que pasen 7 periodos de 4 años.

En resumen, que cada 28 años, volvemos al punto inicial. ¿Y cual era ese punto? Pues que el 1 de octubre caiga en lunes. Así, podemos tuitear que

Este año, en octubre, hay 5 lunes, 5 martes y 5 miércoles. Y esto ocurre, al menos, cada 28 años.

  • Hala, ya estamos tranquilos, hemos encontrado un periodo fijo tras el cual vuelve a ocurrir lo de los 5 lunes, martes y miércoles de octubre. Y, desde luego, es mucho más mundano que los 823 años esos.
  • Sí, vale, pero… ¿cómo cuadramos lo de 2018? Porque está claro que este hecho no ocurre sólo cada 28 años. De aquí a 28 años (allá por 2040), habrá ocurrido otra vez en 2018. ¿Podemos hacer algo?
  • Ya veo por dónde vas. Tú buscas un patrón en este hecho ¿verdad? Claro, es que por el camino para encontrar el dato ese de 28 años, hemos ido desechando información. Vamos a recuperarla y encontraremos tu patrón. Y además, usaremos matemáticas.

Partamos de que el 1 de octubre de 2012 es lunes. Asignémosle al lunes el valor 0, al martes el 1, y así sucesivamente hasta el domingo, que le asignamos el 6. Y aquí viene lo bueno.

Llamemos X_n al día de la semana (expresado en número) del día 1 de octubre del año n. Si el año n+1 es no bisiesto, el día de la semana avanza 1, luego X_{n+1}=X_n+1. Mientras que si n+1 es un año bisiesto, el día de la semana avanza 2 unidades, luego X_{n+1}=X_n+2.

Pero si sumamos y sumamos, tarde o temprano nos pasaremos de 6… ¿y qué significa que X_n=13, por ejemplo? Pues no hay más que usar aritmética modular, sí, esa en la que (si es módulo 7) tenemos que 7=0, 8=1, 9=2, 10=3,…,13=6, es decir, domingo.

Sabemos que X_{2012}=0, luego para que vuelva a ocurrir lo de los 5 lunes, martes y miércoles, tenemos que preguntarnos ¿Cuándo volverá a ocurrir que X_n=0? O equivalentemente, ¿cuándo será X_n múltiplo de 7?

Como 2012 ha sido bisiesto (y el 1 de octubre es posterior al 29 de febrero), los 3 próximos años serán no bisiestos, por lo que se le sumará 1 al valor, mientras que el cuarto año, se le sumará 2. Así, la sucesión de operaciones que hay que hacer, partiendo de que X_{2012}=0 es:

+1 +1 +1 +2 +1 +1 +1 +2 +1 +1 +1 +2 …

Por tanto, basta fijarnos cada cuántas operaciones (cada cuántos años) obtenemos como resultado un múltiplo de 7. Veámoslo en una tabla

Año (20xx) 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Valor de X 0 1 2 3 5 6 7 8 10 11 12 13 15 16 17 18 20 21 22 23 25 26 27 28 30 31 32 33 35
Nº Operaciones 0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5

 

Gracias a ella vemos el ritmo al que cambia. La próxima vez que el valor de X vuelve a ser múltiplo de 7 es en el año 2018, y han pasado 6 años; la siguiente vez es en el año 2029, cuando hayan pasado 11 años; después vuelve a ocurrir en 20362035, cuando hayan pasado 6 años; y de nuevo en 2040, cuando pasan 5 años. En este punto, podemos volver a comenzar en el principio de la tabla (cambiando 12 por 40 en la primera fila y sucesivas), pues 2040 es bisiesto y el 1 de octubre vuelve a caer en lunes.

Así vamos a tener un patrón 6-11-6-5 de forma que cada vez que pasen esos años, el 1 de octubre volverá a caer en lunes (y por tanto, tendrá 5 lunes, martes y miércoles). Y este dato cuadra perfectamente con el ciclo de 28 años, pues, si os fijáis 6+11+6+5 es, ¡oh, sorpresa! 28.

Volviendo al tuit inicial, ¿Es cierto que dentro de 823 años volverá a ocurrir lo de los 5 lunes martes y miércoles? Vamos a pensar de nuevo.

Si esto de los años bisiestos siempre siguiera el mismo ritmo (1 de cada 4 años, aquél que es múltiplo de 4) simplemente tendríamos que buscar el múltiplo de 28 más cercano, por defecto, a los 823 años y comenzar con nuestro patrón. Así, tenemos que 812=28\times29 es ese múltiplo, por lo que dentro de 812 años, estaremos (otra vez) al principio de nuestra tabla (el 1 de octubre será lunes y el año será bisiesto). Ahora, iniciamos nuestro patrón y lo de los 5 lunes, martes y miércoles en octubre volverá a ocurrir 6 años después, es decir 818 años desde ahora; y la siguiente vez será 11 más tarde, es decir… 829 años desde ahora (¿no salía ese número en algún tuit?)

Lo del párrafo anterior valdría, repito, si el ritmo de años bisiestos fuese 1 de cada 4. Pero todos sabemos que eso no es así. Sabemos que los años múltiplos de 100 NO son bisiestos, a menos que, además, sean múltiplos de 400 (en cuyo caso –como ocurrió en el año 2000- sí serán bisiestos).

¿Y en qué influye esto? Pues que en esos años múltiplos de 100 que deberían ser bisiestos pero no lo son, en nuestras cuentas, suman 1 en vez de 2, por lo que habrá que rectificar el resultado, restando el número de años múltiplos de 100 no bisiestos que haya. ¿Y cuántos son esos? El primero será el 2100, que ocurrirá de aquí a 88 años; el segundo el 2200 (188 años); el tercero el 2300 (288 años); el 2400 sí es bisiesto; el 2500 (488 años) será el cuarto; 2600 (588 años) el quinto; 2700 (688 años) el sexto; 2800 sí es bisiesto y ya han pasado 788 años. En resumen, de aquí a 829 años nos encontramos con 6 años no bisiestos múltiplos de 100, por lo que, en realidad, hay que restar 6 y obtenemos que (sorpresa sorpresa) dentro de 823 años volverá a ocurrir tan magno evento.

¡Anda! Pues al final va a resultar que el tuit inicial, en el fondo, no estaba equivocado del todo. Dentro de 823 años, volveremos a tener un mes de octubre con 5 lunes, martes y miércoles… pero por el camino, nos encontraremos muchos otros años con esa misma propiedad.

Moraleja. Antes de creerte cualquier cosa que te digan en un tuit, o un WhatsApp o mensaje… PIENSA. Si aún tienes dudas…. PIENSA. Y si todavía no te queda claro… pide que te lo expliquen. Y es que el saber detectar engaños, aunque sean de este tipo, nos hace ser más sabios.



Por Tito Eliatron
Publicado el ⌚ 5 octubre, 2012
Categoría(s): ✓ Matemáticas