Y en física, los teoremas, teoremas son

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La física se formula con matemáticas, es lo que hay y no tenemos escapatoria. Eso no implica que no se pueda disfrutar de ella a un nivel más relajado, que se puede, pero es bueno tener en mente que detrás de las entradas, libros, vídeos, explicaciones, etc, de divulgación hay todo un trabajo formal y técnico que solo puede entenderse con las mates. Así que en física nos encontramos con teoremas que como todo el mundo sabe son verdad y punto.

Desgraciadamente la realidad es más complicada. En esta entrada vamos a enfrentarnos a algunos teoremas que por un motivo u otro dan lugar a interpretaciones no demasiado afortunadas. Es decir, esto va a ser flipante.

Teoremas, teoremas, teoremas

Cualquiera que se haya enfrentado a un teorema no puede más que sentir respeto y asombro. De este sentimiento no se libra nadie, ni propios, ni extraños, por muy especialista que sean los propios o los extraños. En el imaginario colectivo un teorema es considerado como un pellizco de la verdad absoluta arrancado con mayor o menor esfuerzo de nuestras meninges. Vamos, que un teorema es cierto y para siempre.

Los teoremas son el armazón de las mates, pero, ¿qué es un teorema?

Para responder esto tenemos que tener una idea más o menos clara de qué es eso que llamamos matemática. Las mates no son más que un espectacular juego, ni más, ni menos. Lo que se hace en mates es lo siguiente:

  1. Definimos los objetos del juego. Ya sabéis, que si vectores, números, funciones, o lo que sea.
  2. Definimos como se relacionan estos objetos entre sí. Eso de definir las operaciones que podemos hacer con esos elementos y sus propiedades. Que queremos hacer multiplicaciones, pues las ponemos, si quieres que sea conmutativa que lo sea, si quieres que no lo sea pues no lo es y punto.

Estos dos puntos es eso que podemos denominar — Construir un sistema axiomático –. Los axiomas son definiciones de objetos matemáticos (vectores, números, funciones, etc) y las operaciones que podemos hacer con ellos.

Ahora ya tenemos el juego definido, ahora tenemos que ver qué podemos hacer en él. Así que tenemos que ir probando distintas relaciones entre los objetos empleando las operaciones definidas que estén permitidas en el juego, eso es demostrar un teorema. Una vez que tenemos ese teorema cuando descubramos una nueva relación de nuestros objetos y operaciones que sea cierta en nuestro esquema tenemos que tener cuidado con que su conclusión no sea inconsistente con el anterior. Y así sucesivamente, al final acabamos con una construcción bellísima donde cada afirmación que podemos hacer sobre las relaciones de nuestros objetos con nuestras operaciones son ciertas dentro de ese juego. Simple y hermoso, ¿no?

Pero, un momento, hay que tener cuidado con eso de — Un teorema refleja una verdad absoluta –. Sí hay que tener mucho cuidado porque esa afirmación solo es “cierta” tanto en cuanto no modifiquemos las reglas iniciales del juego.

Pongamos un ejemplo:

Si estamos en un plano y tenemos una recta por cada punto exterior a la misma pasa una única recta paralela.

paralela

Eso es un teorema. ¿Pero qué pasa si cambiamos las condiciones y en vez de estar en un espacio plano estamos en una esfera?

2000px-Sphere_filled_blue.svg

Al definir un ecuador, una circunferencia de radio igual al radio de la esfera, podemos definir circunferencias paralelas sin problemas (con radio decreciente conforme nos alejamos del ecuador). Pero, si nos empeñamos en usar circunferencias de radio igual al radio de la esfera en todo caso encontraremos que no es posible definir paralela alguna.

Así que cambiando las condiciones del juego, en vez de usar un espacio plano usamos un espacio esférico, la conclusión de las paralelas cambia de forma dramática.

Teoremas en física

La cosa se pone difícil en física por varios motivos:

  1. Las teorías físicas se definen en esquemas matemáticos bien definidos, al menos esa es la intención.
  2. En esos esquemas matemáticos tendremos objetos como números, vectores, tensores, etc, que representarán magnitudes físicas como fuerzas, velocidades, presiones, etc. Las operaciones permitidas nos indican como podemos hacer que esas magnitudes se relacionen entre sí, por ejemplo que F=ma.
  3. Evidentemente podemos definir teoremas dentro de esos esquemas, como el principio de conservación de la energía, el principio de aumento de la entropía, etc. Esas cosas en realidad son, desde el punto de vista matemático, teoremas de pleno derecho.
  4. Pero los teoremas solo son ciertos tanto en cuanto sean válidos los puntos de partida. Pero en física además tenemos que añadir que podemos definir una teoría física totalmente consistente desde el punto de vista matemático pero que no describa los experimentos. En esa situación tendremos que renunciar a dicha teoría y a todos sus teoremas puesto que no son “ciertos” desde el punto de vista de la física.

En lo que sigue vamos a discutir varios teoremas que a mí me resultan alucinantes tanto desde su formulación matemática como de su contenido físico. Pero no solo eso, son teoremas que, sacados de contexto, pueden llevarnos a ideas equívocas sobre su significado en términos de la física involucrada.

Nuestro universo no existe, lo dice un teorema

Vamos a visitar un bonito artículo de Collins (no es el de los diccionarios) y Hawking. El artículo en cuestión es este:

imposibleuniverso1

El objetivo del artículo queda claro en su título, quieren explicar por qué el universo nos parece igual en todas direcciones, que se denomina isotropía. Esa característica del universo es muy interesante porque obliga a que sea homogéneo también. ¿Qué concluye el artículo? Pues un teorema que ha sido trabajado dentro de la relatividad general y de la teoría de partículas usual. El teorema es este:

imposibleuniverso

Considerando la condición de energía dominante y el criterio de presión positiva (que la gravedad es atractiva entre las partículas conocidas, una suposición muy lógica), y las condiciones sobre las ecuaciones de materia descritas antes (que nada se mueve a mayor velocidad que c y esas cosas), el conjunto de condiciones iniciales homogéneas que dan lugar a modelos (de universo) que se aproximan a la isotropía es de medida cero en el conjunto de todas las condiciones iniciales homogéneas.

Esto quiere decir lo siguiente:

  • Nuestro universo es isótropo y por tanto homogéneo.
  • Hacemos caso a nuestras teorías sobre gravedad y materia que han sido comprobadas experimentalmente.
  • El universo tuvo que empezar en un estado muy especial del que si calculamos la probabilidad de elegirlo al azar entre todos los posibles comienzos nos sale un rotundo cero.

El resultado es demoledor, si no hay nada que elija con una precisión infinita las condiciones iniciales las probabilidades de estar en un universo isótropo como el nuestro son, en base a nuestros modelos comprobados de gravedad y materia, se reducen a cero (eso es lo que significa conjunto de medida cero, más o menos).

Entonces, ¿cómo es que vivimos en tal universo? La idea es que si el universo empezó de manera espontánea no podría ser isótropo y sin embargo lo es. Podréis imaginar que este teorema hizo las delicias de todos aquellos que querían introducir a un creador en el juego. ¿Cómo se podría explicar nuestro universo sin un ser todopoderoso que eligiera su estado inicial de forma imposible? ¡MILAGRO!

No, la cosa no es tan simple. Hoy sabemos que hay cosas en el universo que no generan gravedad atractiva sino repulsiva. Por ejemplo la energía oscura, la energía de Casimir, etc. Además surge la teoría de la inflación que postula que el universo tuvo su origen en una expansión muy grande del espaciotiempo a causa de un sistema que, como la energía oscura, produce repulsión gravitatoria. Por lo tanto, se viola la hipótesis del teorema de que la gravedad solo es atractiva y su conclusión no es una verdad absoluta. El teorema ese no tiene en cuenta la cuántica así que, físicamente, no nos dice mucho de nuestro universo que es cuántico en su naturaleza más íntima. Nada de dioses, ahora sabemos que la inflación hace que la probabilidad de que el universo sea isótropo y homogéneo, como el nuestro, es prácticamente del 100%.

Así que lo que podemos extraer de este teorema no es más que una limitación sobre nuestra descripción del universo al ignorar una parte esencial en su constitución y comportamiento, la mecánica cuántica y sus derivados. Cosa que, como veremos, es bastante usual.

El universo no es eterno hacia el pasado, lo dice un teorema

Hagamos un poco de repaso histórico sobre las imágenes que nos hemos hecho sobre el origen del universo. Sabemos que el universo se está expandiendo, de hecho de forma acelerada, lo que implica que hacia el pasado estaría más contraído, más caliente y con más energía disponible para que las partículas que vemos no existieran o estuvieran en otros estados. Así que todo parece indicar que nuestro universo tuvo un origen en el tiempo que hoy datamos hace 13.700 millones de años atrás.

La imagen en un diagrama sería la siguiente:

Desde nuestra posición, el origen del universo ocurrió en un tiempo finito hacia el pasado.
Desde nuestra posición, el origen del universo ocurrió en un tiempo finito hacia el pasado.

Sin embargo, hoy tenemos evidencias de que el universo no surgió de un punto que contenía todo el espacio, el tiempo y la energía (eso carece de sentido físico). Lo que cada vez tenemos más claro es que el universo se creó de un estado de vacío cuántico pre-existente que tenía la propiedad de generar gravedad repulsiva y por tanto expandía mucho el espaciotiempo. En alguna parte de ese vacío se genera una fluctuación de forma que se crean partículas y su gravedad asociada de forma que la energía de ambas contribuciones es la misma pero opuesta en signo (eso se dice que el universo es plano, como lo es el nuestro). Como efecto secundario la expansión de esa región se relantiza dando lugar a una expansión como la que vemos en nuestro universo.

En azul el vacío expandiéndose de forma brutal, de forma inflacionaria. En blanco las regiones donde esa expansión se frena generando partículas en el proceso, creando un universo.
En azul el vacío expandiéndose de forma brutal, de forma inflacionaria. En blanco las regiones donde esa expansión se frena generando partículas en el proceso, creando un universo.

Este proceso que dio lugar a nuestro universo se puede repetir aquí y allí en ese vacío, que sigue expandiéndose de forma inflacionaria, dando lugar al modelo de inflación eterna. Es decir, si la inflación se produce se seguirá produciendo eternamente hacia el futuro en un proceso imparable. La imagen que podemos asociar es como la siguiente:

NS055-Eternal-Inflation

Se puede demostrar que en ese contexto no podemos decir cuándo se originó el vacío que da lugar a nuestro universo, la cosa hace que el origen del mismo pueda estar infinitamente atrás en el tiempo.

InflationHorizon
En este diagrama el origen del vacío puede estar infinitamente alejado y lo que llamamos “origen del universo (big bang)” no es más que el frenado de la inflación de dicho vacío generando partículas en el proceso.

La pregunta es, ¿Es la inflación eterna también eterna hacia el pasado? Es decir, ¿ese vacío ha existido siempre?

La cosa no es trivial porque establece que el universo en el estado vacío ha existido desde siempre por siempre o ha tenido un origen en sí mismo.

Esa cuestión se intenta responder en este artículo:

teoremabgv2

El título lo dice todo, la inflación eterna no ha existido desde siempre, es decir, el vacío ha tenido un origen. De hecho, es un teorema que dice así:

teoremabgv1

Traduzco el último párrafo:

Ecuación 11 por lo tanto reproduce exactamente los resultados de las ecuaciones 4 y 6, pero en un contexto mucho más general. De nuevo vemos que si (la expansión del universo ha sido positiva, no hay contracción) a lo largo de cualquier geodésica nula o no-comóvil temporal, entonces el conjunto de geodésicas es necesariamente incompletas hacia el pasado.

Lo que quiere decir es que en un universo en el que solo hay expansión pero no contracción los caminos que pueden seguir las partículas ha tenido que tener un origen, no se pueden extender infinitamente hacia atrás en el tiempo, todas convergen en un tiempo finito.

Ale, esto nos dice que aunque nuestro universo solo es una parte minúscula de algo mayor, de un vacío en gran expansión, dicho vacío no ha existido para siempre. La inflación ha tenido un origen aunque siga indefinidamente hacia el futuro.

Esto ha vuelto a ser usado por algunos para implicar un ser superior que ha hecho aparecer ese vacío. De hecho, el teorema BGV (Borde-Guth-Vilenkin) ha sido empleado por multitud de teólogos para justificar la existencia de un dios creador. “Está bien, el universo se creó en un vacío de forma espontánea pero solo porque un dios puso un vacío en el origen que le dio lugar”. Casi pero no…

Basta con leer el inicio del artículo de marras:

teoremabgv3

Muchos espaciotiempos inflacionarios son susceptibles de violar la condición débil de la energía, un aspecto clave de los teoremas de singularidad. Aquí ofrecemos un argumento cinemático simple, sin requerir una condición de energía, en el que un modelo cosmológico inflacionario — o siemplemente expandiéndose suficientemente rápido — debe de ser incompleto en las direcciones pasadas nulas y temporales. Específicamente, obtenemos una cota sobre la integral del parámetro de Hubble en una geodésica dirigida al pasado temporal o nula. Entonces los modelos inflacionarios requieren física más allá de la inflación para describir la frontera pasada de la región inflacionaria del espaciotiempo.

De nuevo aquí vemos como se trabaja con los teoremas y la física… lo que nos viene a decir es que como no sabemos qué es eso del vacío inflacionario ni conocemos su física con detalle las conclusiones del teorema pueden ser falsas. De hecho, el artículo no trabaja con la cuántica, lo que es, de entrada, un punto muy flaco.

Ya tenemos modelos teóricos que incluyen efectos cuánticos que violan el teorema permitiendo un universo, en su fase de vacío, eterno hacia el futuro y hacia el pasado.

Concluyendo

Tengan cuidado con los teoremas en física. Valen para lo que valen cuando lo valen. Desconfíen de las conclusiones grandilocuentes en campos ajenos a la física.

Nos seguimos leyendo…

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