Geometría y Blues. 01: El placer de explorar

Circle Circle OK
George Crumb: Moto Perpetuo (izq), y una gráfica que ya veremos más adelante.

Pocas cosas hay tan estimulantes como la sensación de libertad que da la exploración pura y sin objetivo definido, y por eso quiero comenzar con una imagen y una cita del virtuoso de la guitarra, Steve Vai:

Vai why

Me podrías preguntar, “pero ¿por qué escribiste eso?” y yo diría, “no lo sé.” Podrías decir, “pero quién va a tocar eso?” y yo diría, “no lo sé.”

De la misma forma que Mr. Vai, quiero hacer algo por la pura pasión de hacerlo sin tener en cuenta nada más. De forma un poco más elevada, Francis Bacon dijo que buscaba “experimentos que den luz, no frutos”: esto es, cosas que parezcan perfectamente imprácticas en lo inmediato, pero que quizá alguien más pueda usar sus resultados para crear algo al otro lado del mundo, a siglos incluso de distancia. Me refiero a cosas tan abstractas como el Círculo de Feuerbach: una observación sorprendente hecha en 1822 que relaciona la construcción de círculos y triángulos, pero que sigue siendo objeto de estudio hasta hoy.

El experimento que voy a realizar es menos riguroso y quizá bastante más estrambótico; tal vez más cercano a la vena del Ars Combinatoria de Ramón Llull, que creó combinaciones geométricas inscritas en círculos, por medio de las cuales pretendía obtener relaciones formales entre conceptos filosóficos. Si bien la inspiración de Llull era religiosa, su idea fue más tarde retomada por Leibniz y eventualmente sirvió de base al estudio de la matemática combinatoria. Siglos después, hay quienes lo consideran pionero de la teoría de computación y de la información. De modo que si los resultados del experimento que propongo a continuación son triviales, espero que por lo menos no será trivial el camino recorrido para completarlo.

A lo largo del camino, plantearé muchas más preguntas y conjeturas que soluciones, pues por un lado el tiempo que le he dedicado a este divertimento ha sido limitado y por otra parte la gente que sabe más de estos temas pueda tener un rato de entretenimiento y, espero, de duda que le lleve a realizar sus propios experimentos, cálculos y enmiendas. El tema, como apunta el título, pone lado a lado la estructura musical y la geometría. En cada capítulo hay temas relacionados pero me será imposible extenderme en ellos; sin embargo proporcionaré una lista de lecturas de referencia para que el lector interesado pueda indagar por su cuenta en cada tópico. Con estas advertencias, comencemos.

INTRODUCCIÓN

En el chiste de la consabida rivalidad entre estudiosos de la ciencia, se hace a algunos empezar diciendo que “todo es biología”, pero el biológico es un nivel muy alto de organización y la frase tiene cierto tufo de antropocentrismo. Otros dicen, más básicamente, que “todo es química” y desde luego este es un nivel más abajo. Finalmente, de forma más fundamental, se asevera “que todo es física”, invocando la última realidad a nivel subatómico. Parecería que no se puede ir más allá, pero yo suscribo el punto de vista de que hay un nivel más profundo y más extenso al mismo tiempo: todo es estructura y relaciones. Si bien puede ser que no sea más “fundamental” que el de los constituyentes básicos de la materia, es más comprensivo en cuanto a que es realmente el que configura la realidad a partir de ellos.

En un artículo en Naukas, Daniel Hazeldine describió admirablemente el agua y de forma específica, cómo todas sus propiedades macro dependen de su estructura: la manera particular en que sus átomos se unen y se relacionan, creando geometrías que le confieren sus propiedades físicas. De forma más abstracta —y es a lo que quiero llegar— las matemáticas modernas han fundado sus bases ya no en los números mismos, sino en las teorías de conjuntos y de categorías como su parte más fundamental. Muchos ven a las matemáticas como una lógica estructural, en donde los números o las funciones no importan tanto como conceptos, sino más bien importan el orden en el que existen como objetos y las relaciones entre ellos. Este punto de vista es llamado “estructuralismo”. Al decir de Stewart Shapiro:

La noción de “objeto matemático” es relativa a una estructura. Lo que desde un punto de vista es un objeto, desde otro no es más que un lugar dentro de una estructura. Podemos observar varios puntos de un sistema estructurado y entonces imaginar la estructura del sistema. No podemos tener contacto directo con las estructuras porque son abstractas, pero podemos imaginarlas y estudiarlas.

Con esta idea en mente tomemos la estructura por excelencia: la figura geométrica, y veamos a dónde podemos llegar con un juego sencillo. Pero empecemos con un poco de música.

I. ACERCA DE LA ARMONÍA

La música y las matemáticas tienen una relación tan antigua como fascinante. El estudio matemático de las escalas y las armonías se remonta a la antigüedad, con babilonios, chinos, indios y egipcios encontrando temprano sus bases generales. En Grecia, Pitágoras y sus alumnos (s. VI a.C.) fueron los primeros en formalizar su análisis, representando las relaciones entre notas (intervalos) por medio de relaciones numéricas en forma de fracciones.

Para fines de este artículo, no es necesario tener una formación en teoría musical ni en los principios físicos de la música (“acústica”). Sin embargo, es importante tener idea de los conceptos más fundamentales para entender por qué vamos a proponer una estructura en particular para nuestro experimento. Estos conceptos básicos son: frecuencias, armonías e intervalos.

La música, digamos, está hecha de sonidos que armonizan entre sí y que se suceden en el tiempo. ¿Cómo “armonizan” los sonidos? Esto tiene una base física, independiente de nuestro gusto por la conga o por el heavy metal. Tomemos una nota cualquiera, digamos la nota a la que llamamos LA, y llamémosla “nota fundamental” o bien “tónica”; esto es, la nota que tomaremos de referencia. Esta nota, que es conocida como LA-4, tiene una frecuencia de 440 Hz. Si tomamos una nota que vibra a 880 Hz, esto es, el doble de la original, obtendremos una nueva nota que llamamos LA-5, separada de la original por un intervalo que llamamos “octava”. Estas dos notas tienen la armonía más simple y la suma de sus ondas da un efecto que reconocemos como “la misma nota”: una más grave y una más aguda. Pasa lo mismo si tomamos la frecuencia 440 Hz: tendremos otro LA, pero esta vez una octava más grave que el original.

Cuando una nota es creada en un instrumento hecho de un material que resuena, dicho material empieza a vibrar y crea “sobretonos”, que son vibraciones adicionales que se mezclan de forma natural con la nota fundamental. Estos sobretonos armonizan en cuanto que sus ondas tienen relaciones simples con la fundamental, y de hecho cuando tocamos la fundamental con sus “armónicos” —que son estos sobretonos— escuchamos “armonía”. Los armónicos más simples son intervalos que se crean con relaciones de 3/2, 4/3 y 5/4, y les llamamos intervalos de quinta, de cuarta y de tercera, respectivamente. La escala natural completa, que tiene siete notas desde la fundamental hasta la octava, se compone de esta manera (estaremos usando por comodidad la notación inglesa, en donde Do es C):

C-D-E-F-G-A-B-C

La “distancia” o intervalo entre dos notas puede ser de un semitono o de un tono. En un piano, dos teclas blancas consecutivas son un semitono (de Mi a Fa); si en medio de ellas hay una tecla negra, entonces existe un tono completo entre ellas (de Do a Re). Tenemos entonces que el intervalo mínimo entre dos notas es llamado semitono, y cuando incluimos todas las notas que no están en la “escala natural” —o sea avanzando de semitono en semitono— obtenemos 12 notas desde la fundamental hasta su octava, con lo que tenemos la escala completa, llamada cromática.

Si mi lector es músico o sabe de acústica, estará furioso por el infame minimalismo de esta explicación. Si mi lector por otro lado no tiene idea de cómo tocar ni siquiera la puerta, quizá esté preocupado por no poder seguir las ideas. A ambos les digo: no se preocupen que para los fines que nos ocupan, esta introducción, imperfecta como es, será suficiente. Lo que nos interesa ahora es ver por qué vamos a traer a colación el llamado Círculo de Quintas para usarlo como estructura básica de nuestro experimento.

Siguiente: el Juego de las Quintas.

Referencias:

George Crumb, Moto Perpetuo

Steve Vai, Tempo Mental (1983). The Official Steve Vai Website.

Francis Bacon. Novum Organon (1620). Cap. CXXI.

Alfonso Araujo. Un idilio geométrico. Naukas, abril 1, 2015.

Weisstein, Eric W. Nine-Point Circle. From MathWorld–A Wolfram Web Resource.

La máquina de pensar. Ramón Llull y el Ars Combinatoria. Latamuda. Septiembre 27, 2016.

Lullian Circle.

Daniel Hazeldine. Soy el Agua. Naukas, agosto 8, 2017.

Stewart Shapiro. Philosophy of mathematics. Oxford University Press, 2000; p.11.

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