Queremos tanto a Pi

90 Queremos tanto a PiYa que estamos con lo del día de Pi, ese número favorito de las matemáticas, comparto algunos aspectos y anécdotas de esta fascinante abstracción que ha capturado nuestra imaginación por más de 3500 años:

I. La trascendencia de Pi

Primero que nada, Pi es el más famoso de los llamados números trascendentes, cuya definición formal es simplemente que es un número “no algebraico”: lo que quiere decir que no puede ser la solución de ninguna ecuación con coeficientes racionales. Para ejemplificar, si tenemos una ecuación del estilo

x2x − 1 = 0,

no importa qué tan compleja hagamos la ecuación, no importa cuántos coeficientes extraños le pongamos ni cuántas cosas le sumemos ó restemos, nunca vamos a tener a Pi como solución.

Lo de “número trascendente” es quizá un término desafortunado que causa interpretaciones místicas. Pi es desde luego el más famoso (seguido por e, o sea 2.71828) pero la verdad es que hay muchísimos números trascendentes; de hecho hay un número infinito de ellos. Alexander Gelfond (1906-1968) probó en 1934 lo siguiente: que ab es trascendente si a es algebraico pero distinto de 0 y de 1, y b es algebraico pero no es un número real racional. Por ejemplo, los siguientes 3 números son trascendentes:

TrascendentesEl primero de ellos fue llamado Constante de Gelfond-Schneider.

Pero hay otra cosa: si elevamos un número trascendente a la potencia de otro trascendente, no es seguro que obtengamos un tercer trascendente. En el caso de eπ esto sí ocurre, y el resultado es llamado Constante de Gelfond.

Toda esta proliferación de trascendencias nos puede hacer pensar que nuestra querida Pi pueda ser uno del montón, pero desde luego, su “trascendencia” primaria proviene de ser no sólo el resultado de una relación numérica (que por cierto tardó siglos en hallarse), sino de ser el resultado de una relación geométrica fundamental proveniente del círculo. Esta relación fue hallada desde la antigüedad y nos dio uno de nuestros primeros y más duraderos sentimientos de maravilla ante la “significación oculta” en las cosas: de cómo podemos usar el lenguaje matemático para traducir el mundo y entenderlo.

II. Su nombre no es griego

Bueno OK, sí, su nombre es la letra griega π, pero quiero decir que no fueron los griegos quienes la bautizaron. Los babilonios, más o menos en el siglo 20 a.C., ya sabían que la relación entre el diámetro y la circunferencia era más o menos de 3 a 1. Y más o menos en 225 a.C. fue el venerable Arquímedes de Siracusa quien, usando un método de particionar el círculo en triángulos pequeños, estimó que el valor de Pi tenía que estar entre los límites de 223/71 y 220/70. La aproximación más familiar y más manejable de 22/7 también se le debe al buen Arqui. Los chinos en el siglo II usaron una aproximación de raíz de 10 (3.162277…) y el matemático indio Brahmagupta usó este mismo valor en sus cálculos en los albores del siglo V.

Arq 1
El método de Arquímedes, que casi fue cálculo diferencial 20 siglos antes de tiempo.

Pero después de siglos de estar escribiendo “la relación entre el diámetro y la circunferencia del círculo” en latín, finalmente el matemático escocés William Jones (1675-1749) probablemente se hartó y propuso escribirlo con un solo símbolo, usando la letra griega π. Pero fue realmente el fantástico Leonard Euler (1707-1783) quien popularizó el término, así que ya lo vemos: después de casi cuatro mil años, finalmente Pi tuvo un nombre en el que todo mundo se puso de acuerdo.

III. El valor de Pi

Ya vimos que los matemáticos de todas las culturas han descubierto y aproximado Pi por milenios, pero por más que tratemos nunca tendremos su valor exacto: esto fue demostrado formalmente en 1768 por el matemático suizo Johann Heinrich Lambert (1728-1777). Se han inventado docenas de formas de aproximar su valor de forma cada vez más exacta; para el siglo XVII se estaban usando fórmulas de series expandidas, basadas aún en argumentos geométricos. Por ejemplo, esta expansión usando la función del Arco Tangente, usada por Leibniz (1674):

Arc tan 1o esta, aún más elegante, que usa el hecho de que el arco tangente de 1 = π /4:

Arc tan 2Euler, ese increíble generador de fórmulas, encontró dos series más:

Euler approxPero en 1910, Srinivasa Ramanujan (1887-1920), una de las más increíbles mentes matemáticas que han existido, dio al mundo esta fórmula encontrada sin calculadora:

Formula PI 2No hay otra forma de decirlo, Ramanujan era un monstruo. Hoy en día tenemos fórmulas más complejas todavía y que pueden calcular Pi a billones de dígitos de exactitud, pero seamos honestos: la fórmula de Ramanujan gana por virtuosismo puro.

IV. La mercadotecnia de Pi

Mi lector TIENE que estarse preguntando qué demonios es esa imagen del título. Ya dijimos que Pi es probablemente el número más famoso que hay y ha sido inmortalizado hasta en películas. Pues bien, hace cuatro años fue inmortalizado también en una bebida china de la empresa Nongfu Spring, con el nombre de “茶π”. Se pronuncia “chá pi”, quiere decir “té de Pi” y su eslogan es “Haciendo una nueva escuela”. En su página incluso se ponen poéticos y lo describen así:

Hadas del jazmín y la toronja

se reúnen en una copa;

Flores, frutas y té, vengan y dancen conmigo.

90 Queremos tanto a Pi, 2Que nadie diga que en Asia no reconocen la poesía de las matemáticas.

V. El romanticismo de Pi

Finalmente, una escena de un libro de ciencia ficción. En el hermoso Contacto (no la película, por favor), Carl Sagan hace que Eleanor, una de los protagonistas, hable con un extraterrestre que le dice que su civilización es tan avanzada que literalmente puede mover galaxias de un lado a otro para mejorar la estructura del universo. Estupefacta ante un poder semejante, ella pregunta, “si puedes hacer eso, ¿qué entonces puede maravillarte?”. El extraterrestre le contesta, “nuestra civilización cree que no hay misterio más grande que el mensaje contenido en Pi.”

El extraterrestre le explica que, oculto muy lejos dentro de la secuencia de números de Pi, existen dos mensajes claros e inteligibles. Le dice, “tu civilización aún no tiene ni remotamente el poder computacional para ver el segundo mensaje, el largo, pero probablemente puedas ver el mensaje corto, que es el llamado de atención.” Eleanor regresa a la Tierra y en efecto, tras meses de poner a una computadora a calcular Pi, encuentra algo asombroso: una secuencia de 1´s y 0´s que al cuadricularse forman un círculo perfecto.

Aunque Carl Sagan era agnóstico, esto no le impidió escribir esta bellísima escena final, un canto a la maravilla que despierta el descubrir los secretos del universo, ejemplificados en este caso por esa suprema invención del intelecto, el lenguaje matemático:

Oculto en el cambiante esquema de las cifras, en lo más recóndito del número irracional, se hallaba un círculo perfecto, trazado mediante unidades dentro de un campo de ceros. El universo había sido creado ex profeso, manifestaba el círculo. En cualquier galaxia que nos encontremos, tomamos la circunferencia de un círculo, la dividimos por su diámetro y descubrimos un milagro: otro círculo que se remonta kilómetros y kilómetros después de la coma decimal. Más adentro, habría mensajes más completos. Ya no importa qué aspecto tenemos, de qué estamos hechos ni de dónde provenimos. En tanto y en cuanto habitemos en este universo y poseamos un mínimo talento para la matemática, tarde o temprano lo descubriremos porque ya está aquí, en el interior de todas las cosas. No es necesario salir de nuestro planeta para hallarlo. En la textura del espacio y en la naturaleza de la materia, al igual que en una gran obra de arte, siempre figura, en letras pequeñas, la firma del artista. Por encima del hombre, de los demonios, de los Guardianes y constructores de Túneles, hay una inteligencia que precede al universo.

El círculo se ha cerrado.

Eleanor encontró, por fin, lo que buscaba.

Feliz día de Pi.

Referencias:

Audichya, A.L. Mathematics, Marvels and Milestones (Queries and Answers). Jaipur: Oxford Books, 2008. pp. 54.

Crilly, Tony. 50 Mathematical Ideas You Really Need To Know. Londres: Quercus, 2008. pp. 26-30.

Pappas, Theoni. More Joy of Mathematics. Exploring Mathematics All Around You. San Carlos, CA: Word Wide Publishing/Tetra, 1991. pp. 16-17.

Sagan, Carl. Contacto (Raquel Albornoz, trad.). Barcelona: Plaza y Janés, 1989. pp. 212-217; 251.

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