Determinismo no implica predicción

La predicción del futuro ha sido, y sigue siendo, casi una obsesión para el ser humano a lo largo de toda su historia. A finales del siglo XVIII, Pierre Simon de Laplace, el famoso matemático francés, publicó un tratado sobre mecánica celeste en el que se afirmaba que, conociendo las condiciones iniciales de todas las partículas del Universo en un momento dado, esto es, su velocidad y posición, se podría determinar con absoluta precisión tanto su evolución en el pasado como en el futuro. Esta idea se conoce como determinismo laplaciano, y estuvo vigente a lo largo de más de un siglo.

En la actualidad, todavía solemos asociar la posibilidad de predicción con sistemas simples regidos por leyes también simples y conocidas; sin embargo, como mostraré en este artículo, esto no siempre es correcto, y podemos encontrar modelos extremadamente simples cuya evolución en el tiempo es imposible de predecir a medio o largo plazo, sin dejar de ser a la vez totalmente deterministas. Tomemos por ejemplo, como modelo, la siguiente ecuación, conocida como ecuación logística:

a * x * (1 – x)

Como se puede ver fácilmente, se trata de un simple polinomio de segundo grado, con un parámetro a que puede tomar diferentes valores. Supongamos que estamos estudiando un fenómeno que evoluciona en el tiempo, y que hemos encontrado que su comportamiento se puede describir utilizando un modelo matemático basado en esta ecuación. El modelo se construye de la siguiente manera: el parámetro a puede tomar valores entre 0 y 4, y el valor inicial de x debe estar comprendido entre 0 y 1. El resultado, que siempre será también un número perteneciente al intervalo (0, 1), se vuelve a introducir en la ecuación, obteniéndose así un sistema dinámico que genera una serie de valores en la que cada término depende del resultado de la iteración anterior.

x(n+1) = a * x(n) * (1 – x(n))

Si representamos en una gráfica esta serie para diferentes valores del parámetro a, observaremos que el sistema puede presentar comportamientos muy diferentes:

La gráfica de la parte superior, en rojo, muestra que, para un valor de a de 2.5, la serie se estabiliza rápidamente y proporciona un único valor para todos los términos; decimos que el sistema termina en un estado estacionario y, obviamente, en este caso el sistema es completamente predecible. Si incrementamos un poco el valor de a, hasta 3.2, observamos un cambio de comportamiento en la serie: después de unos pocos términos iniciales, la serie empieza a presentar un comportamiento oscilante entre dos únicos valores diferentes, como se puede ver en la gráfica central, en color verde; la dinámica cambia y el comportamiento se vuelve periódico, aunque la evolución del sistema continúa siendo perfectamente predecible.

Sin embargo, para un valor de a de 3.95, la cosa cambia radicalmente, como puede observarse en la gráfica de la parte inferior, en color azul; los valores cambian continuamente y no se puede observar ningún patrón que nos permita realizar ninguna predicción a medio o largo plazo. El sistema continúa siendo totalmente determinista, ya que, conociendo cualquier término de la serie, podemos calcular el siguiente con total facilidad; pero, para calcular un término que se encuentre más alejado en el tiempo, deberemos calcular primero todos los valores intermedios. La dinámica del sistema ha vuelto a cambiar y presenta comportamiento caótico, en concreto, se trata del tipo de caos denominado caos determinista, pues está generado por un modelo que es totalmente determinista.

Para tener una visión más completa de lo que sucede con nuestro modelo en función de los valores que toma el parámetro a, podemos recurrir a un tipo de diagrama conocido como diagrama de Feigenbaum:

En el eje horizontal se encuentran los valores de a comprendidos entre 0 y 4 (en el diagrama he representado solo los valores entre 2.5 y 4, por claridad) El eje vertical representa valores entre 0 y 1; para cada valor de a, marcamos sobre dicho eje todos los valores diferentes que presenta la serie resultante. Observamos claramente una zona, comprendida entre valores de a desde 0 a 3, que contiene solo estados estacionarios; a partir de 3, el comportamiento pasa a ser periódico, oscilando entre dos valores diferentes, fenómeno conocido como cambio de fase. Decimos que 3 es un punto crítico del sistema. También podemos ver que el periodo se duplica en el punto 3.45, pasando a 4 valores diferentes y, de nuevo, en el punto 3.54. A partir de un valor de a cercano a 3.57, el sistema se vuelve caótico, aunque presenta unas estrechas bandas claras en las que el comportamiento vuelve a ser estacionario o periódico.

La diferencia de comportamiento del sistema también se puede observar con otro tipo de gráfica denominada diagrama de recurrencia:

Para construir este diagrama, dibujamos la gráfica de la función (en rojo) para los valores comprendidos entre 0 y 1 (eje horizontal), y trazamos también la recta diagonal y = x; desde un punto cualquiera del eje horizontal (valor inicial), trazamos una recta vertical hasta la gráfica, que representa el valor de la función en ese punto. A continuación se traza una recta horizontal desde ese punto hasta la recta diagonal y, desde allí, de nuevo una recta vertical hasta la gráfica, lo que representa una iteración de la función. Este proceso se repite un número determinado de veces (250 veces en la figura) para obtener la gráfica final. A la izquierda podemos ver la gráfica correspondiente a un valor de a de 3.2, en la zona periódica, con las primeras iteraciones, que representan los términos iniciales de estabilización de la serie, en un color más claro. El resultado es un cuadrado con los vértices en los dos únicos valores de la gráfica que toma la serie. Se puede comparar con la gráfica de la derecha, para un valor de a de 3,95, en la zona caótica, donde se observa que la serie pasa por infinidad de puntos diferentes.

Pero esto no es todo. En la zona de comportamiento caótico el sistema presenta además una propiedad llamada sensibilidad a las condiciones iniciales. Esto quiere decir que variaciones mínimas en el valor inicial que usemos para calcular la serie, digamos 0.1 y 0.10001, producirán series totalmente diferentes al cabo de unas pocas iteraciones. Esto tiene una gran importancia en el mundo real de cara a la predicción, ya que, si este modelo fuera utilizado por varios investigadores para modelar un fenómeno natural, una pequeña variación en el valor proporcionado por sus aparatos de medida, produciría predicciones completamente diferentes a medio y largo plazo. Más aún, aunque los aparatos de medida fuesen tan precisos como para proporcionar exactamente el mismo valor para todos los investigadores, si realizasen los cálculos en ordenadores con diferente precisión numérica, o redondeando a un número distinto de decimales, también se produciría este efecto, como se puede observar en el siguiente gráfico:

En la parte superior, en rojo, he utilizado variables de precisión simple para realizar los cálculos de la serie; en la parte central, en azul, se representa la misma serie, con el mismo valor inicial, pero calculada usando variables de precisión doble. En la parte inferior se pueden ver las dos series superpuestas, para apreciar mejor la diferencia.

Así que ya lo sabéis, incluso aunque conozcamos perfectamente las leyes que rigen el sistema en estudio y los valores iniciales, la predicción puede llegar ser un verdadero quebradero de cabeza; muchos fenómenos naturales, incluso de apariencia simple, presentan este tipo de comportamientos complejos que la dificultan enormemente o incluso la imposibilitan.

Este artículo nos lo envía Miguel Díaz Kusztrich: soy desarrollador en varios lenguajes desde los años 80 del pasado siglo, habiendo trabajado en múltiples áreas, desde los videojuegos, pasando por la electromedicina, multimedia, inteligencia artificial o el e-learning hasta la logística industrial, a la que me dedico actualmente. También soy un gran aficionado a las ciencias en general, y en especial a las aplicaciones de la informática y la tecnología a las mismas. Tengo dos blogs, desarrollados por mí, uno dedicado a la programación (http://software-tecnico-libre.es) y otro más personal, dedicado a una gran variedad de temas (http://filosofia-y-lo-que-surja.net), algunos de ellos también relacionados con la ciencia.

Referencias y más información:

Orden y caos en sistemas complejos. De Ricard V. Solé y Susanna Manrubia. Ediciones UPC.

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