Llegamos con esta, a la octava y última parte de nuestra serie acerca de los experimentos mentales, que a lo largo de la historia nos han demostrado que la abstracción pura no es sólo territorio de las matemáticas, sino que pensando en experimentos “indemostrables” podemos acceder a importantes ideas nuevas, o a pensar problemas de nuevas perspectivas en prácticamente todas las áreas del conocimiento. Hemos visto estos experimentos aplicados a la mecánica, la lógica, la filosofía y más. Hoy veremos un caso contemporáneo: un experimento que está siendo aplicado con miras a resolver uno de los problemas más endiabladamente difíciles que siguen sin contestación.

Este problema tiene e infame nombre de “Problema de la existencia, unicidad y regularidad de las soluciones de las ecuaciones de Navier–Stokes para un fluido incompresible.” Hasta el nombre es difícil. Pero vamos por partes.

 

Mecánica de fluidos

El estudio del movimiento de fluidos es una de las áreas más importantes de la ingeniería. Es por ejemplo, el estudio de cómo se mueve el aire alrededor de las alas de un avión, para poder calcular su resistencia y su aerodinamismo. También cómo fluyen líquidos a través de tuberías o compartimientos cerrados de modo que su flujo no se detenga ni tampoco destruya las vías por las que fluye. Más complejo aún, es ver cómo se comporta el clima a lo largo de periodos cortos de tiempo o cómo se mueven las corrientes oceánicas.

El estudio de fluidos en movimiento es muchísimo más complejo que otros problemas de mecánica, digamos la trayectoria de una piedra lanzada por una catapulta o el arrastre de un objeto en un plano inclinado. El problema es que un fluido está hecho por muchas partículas que en lo individual tienen movimientos imposibles de predecir, por lo que necesitamos predecir más bien el movimiento completo del fluido como un ente total. Este movimiento es mucho más irregular que el de una estructura sólida, así que las ecuaciones que lo describen son también más difíciles de resolver. La razón es la llamada “transición de fase”: hay un punto (cambio de velocidad, de temperatura o de presión) en el que un fluido que se comporta decentemente y es fácil de evaluar, empieza a comportarse de forma caótica y genera el fenómeno de Turbulencia.

 

Monsieur Navier y Sir George

El problema de comportamiento de fluidos ha sido estudiado por mucho tiempo. Las Leyes de Newton habían sido aplicadas a su formulación pero asumiendo fluidos altamente idealizados, de manera que si bien se podían tener aproximaciones razonables a problemas simples, este acercamiento no era realista para ser aplicado en problemas que la ingeniería del siglo XVIII encontraba en sus cada vez más avanzadas tecnologías, por ejemplo en máquinas de vapor.

El físico francés Claude-Louis Navier (1785-1836) hizo grandes contribuciones al estudio del análisis de estructuras, en particular formalizando la Teoría de Elasticidad de materiales. Con esta capacidad, fue el primero en formular las ecuaciones de movimiento de fluidos aplicando la mencionada Ley de Newton pero agregando también términos para considerar la viscosidad del fluido y la presión ejercida en él por su entorno. Estas ecuaciones por primera vez dieron una forma “disipativa” de un sistema de fluido, en contraste con las ecuaciones idealizadas precedentes.

El físico y matemático irlandés George Gabriel Stokes (1819-1903), fue experto en el área de cálculo vectorial; esto es, el análisis de fuerzas con dirección definida. Como Navier, una de sus principales áreas de interés era la viscosidad de los materiales y realizó importantes contribuciones al estudiar el impacto de sólidos en fluidos viscosos. Siendo su especialidad las matemáticas, desarrolló ecuaciones diferenciales parciales para describir estos movimientos.

Así, entre las contribuciones de ambos personajes, tenemos las llamadas Ecuaciones de Navier-Stokes, que describen un fluido en movimiento y su solución es un campo de velocidades de flujo. Esto quiere decir, que la solución es un montón de velocidades, definidas en cada punto del espacio y del tiempo por donde pasa el fluido. Una vez que se tiene el campo de velocidades, todavía se pueden calcular los campos de temperaturas y de presiones. Esto nos va dando una idea de lo difíciles que son de resolver, en comparación por ejemplo con la trayectoria simple de una bala.

 

El Gran Premio

Ahora bien, no son sólo difíciles de resolver: tiene más de cien años y es uno de los “problemas del millón de dólares” del Clay Institute: hay esa cantidad de dinero disponible para quien sea capaz de avanzar aunque sea un poco en su solución.

Ahora bien, el problema no es propiamente resolver las ecuaciones, sino éste: arriba dijimos que el asunto es acerca de “existencia, unicidad y regularidad”, y después dijimos que las soluciones son un “campo de velocidades.” Vamos a clarificar. Ese “campo” puede ser expresado matemáticamente como una superficie: un plano con montañas y valles. En este plano, cada punto indica una velocidad, y el conjunto de todos los puntos (velocidades-solución) son ese “campo” que muestra la solución un caso.

Las palabras “existencia” y “regularidad” quieren decir esto: que lo que queremos saber en especial, es que en nuestro plano de soluciones, no haya ningún punto no existente (por ejemplo causado por una división entre 0), ni tampoco ningún salto súbito. La palabra en inglés para regularidad es smoothness (lisura), que nos da una imagen de lo que buscamos. Por décadas se ha intentado demostrar esto, sin éxito. Lo más que nos hemos acercado (en los 60s) es a demostrar que en dos dimensiones, las soluciones sí existen y son lisas; pero en tres dimensiones seguimos atascados.

 

El Experimento

Terry Tao, de origen taiwanés, es considerado uno de los dos ó tres matemáticos más brillantes de nuestros días. Sus contribuciones a las matemáticas son tan vastas que se ocuparían varios artículos para hablar de ellas con un mínimo de detalle. Y si bien Terry es un matemático “puro”, sus intereses son renacentistas, en el sentido de que ha contribuido a especialidades extraordinariamente diferentes entre sí. Un matemático moderno normalmente se especializa en teoría de números, en topología, en formalización, etc. Cada campo es amplísimo, pero Terry brinca de uno a otro y colabora con especialistas de todo tipo con la facilidad asombrosa del virtuoso. Ese que nos causa una mezcla de infinita admiración y envidia.

Su experimento mental más reciente tiene que ver directamente con las bestias negras de Navier-Stokes. He aquí la descripción de su razonamiento, que parece sencillo:

imaginemos que alguien muy inteligente puede construir una máquina hecha solamente de agua. Esto es, no estaría formada por engranes ni flechas rígidas, sino de un patrón de corrientes de agua, interactuando entre sí. Ahora imaginemos que esta máquina tuviera la particularidad de ser capaz de crear una copia de sí misma, pero más pequeña y más rápida. Si esto fuera posible entonces el proceso podría continuar hasta el punto aproximarse a una velocidad infinita en un espacio muy pequeño, y explotar. Yo no puedo construir esa máquina, pero si puedo demostrar que matemáticamente no existe, en principio, nada que contradiga su posible construcción y operación, eso significaría que el agua puede de hecho explotar. Ah, y también significaría que el problema de regularidad de las ecuaciones de Navier-Stokes estaría resuelto.

El virtuosismo de Terry Tao ha sido comparado con el de Gauss y Euler. Sería maravilloso que durante nuestras vidas pudiéramos tener el privilegio de ver a alguien de su estatura, resolver un problema de esta envergadura.

 

Aquí dejo a mi lector la lista completa de esta breve aventura que hemos realizado a través de la historia y de las maravillas que nuestra mente puede producir:

1. Einstein vs Bohr: la naturaleza de la realidad
2. Introducción: de Zenón de Elea a Frankenstein
3. Filosofía: Nietzsche y Simmel pensando la eterna recurrencia
4. Estadística: oráculos, apuestas y Teoría de Juegos
5. Lo posible y lo concebible: trompetas angelicales
6. ¿Qué es conciencia?: la Estatua de Condillac
7. El experimento más radical: la Teoría de la Relatividad

 

 

 

 

Referencias:

Navier–Stokes existence and smoothness. Wikipedia.

Why global regularity for Navier-Stokes is hard.

The Millennium Prize Problems. Clay Mathematics Institute.

Ecuaciones de Navier-Stokes

Garteh Cook. The Singular Mind of Terry Tao. New York Times. Julio 24, 2015.