Es un chiste matemático repetido, que incluso un no iniciado puede haber oído antes… Aún así los matemáticos siempre bromeamos con el hecho de que un donut y una taza (o cualquier recipiente con un asa cerrada) tienen esencialmente la misma forma… o para ser más precisos, topológicamente la misma forma. Y eso es porque podemos deformar una de estas figuras en la otra sin modificar su estructura básica.

Bueno eso es lo que siempre decimos, pero ¿Qué es realmente la topología? ¿Qué significa deformar? ¿Cuál es la estructura básica de un objeto? ¿Qué modificaciones son válidas? ¿Por qué estoy leyendo esto con voz de narrador de caricatura? A continuación intentaré responder, de manera sencilla, a (casi) todas las preguntas anteriores.

¿Qué es la topología? 

Los matemáticos somos personas curiosas por naturaleza, lo queremos explicar todo, y estamos convencidos de que en gran medida podemos encontrar respuestas en la matemática. Entre las cosas que tratamos de explicar se encuentran  las propiedades de las figuras geométricas o los espacios que no se ven alteradas por transformaciones continuas, biyectivas y de inversa continua y de esto se encarga la topología. Con ella estudiamos conceptos como proximidad, número de agujeros, conectividad, compacidad o metricidad, lo que nos permite comparar unos objetos con otros.

¿Qué significa deformar? 

Queremos estudiar figuras o espacios que no se alteren por ciertas transformaciones, en concreto la topología es un tipo de geometría donde está permitido doblar, estirar, encoger, retorcer…

De esta forma, ya podemos hacer los primeros experimentos:

Una hoja de papel extendida es, topológicamente, equivalente a una hoja de papel con un doblez, o cuatro, ¡o cien!

Un cuadrado es topológicamente equivalente a un círculo, porque a este último lo podemos estirar hasta llenar las esquinas del primero.

 

Una moneda es topológicamente equivalente al más caro diamante y una taza es topológicamente equivalente a un donut.

¿Cuál es la estructura válida de un objeto? ¿Qué modificaciones son válidas? 

Pero… ¡Cuidado! ¡Que no se nos vaya la mano! Todas las transformaciones anteriores son válidas, pero hay una trampa, y es que antes cuando definimos topología dijimos que admitía un tipo específico de transformaciones, es decir, aquellas que son continuas, biyectivas y de inversa continua… Y por supuesto esto da pie para una nueva pregunta:

¡¿Qué diantres son las transformaciones continuas, biyectivas y de inversa continua?!

En realidad es más fácil de lo que parece, que sean continuas simplemente significa que lo que está unido no se puede separar o romper, por ejemplo si queremos modificar la taza, no es válido romper su asa. Biyectiva significa que tenga una transformación válida que pueda regresar el objeto a su estado original una vez transformado, y finalmente de inversa continua significa que lo que está separado no se puede unir. Por ejemplo si tenemos de nuevo la taza no podemos integrar el asa en el cuerpo del vaso cerrando el agujero.

Y aquí podemos hacer una nueva serie de experimentos:

Una moneda NO es topológicamente equivalente a un donut, porque no podemos colapsar el agujero del segundo para tener la superficie compacta de la primera.

Una línea NO es topológicamente equivalente a un círculo, porque no podemos cortar el segundo para quedarnos con el primero, y finalmente no, una taza NO es topológicamente equivalente a un croissant (u otro bollito sin agujero).

Con estas nociones básicas de topología, veamos para qué puede útil (además de para alguna conversación interesante sobre monedas y diamantes o tazas y donuts). Uno de los teoremas más divertidos de la topología se llama el Teorema de la Esfera Peluda, así se llama realmente, y fue demostrado por primera vez Jan Brouwer en 1912. El enunciado es en esencia el siguiente:

Imagina una esfera completamente recubierta de pelos lisos, todos de la misma longitud. Tu objetivo es peinar la esfera alisándola. No importa cuánto te esfuerces, siempre habrá algún punto de la esfera en el que haya o un remolino o una raya.

¿Para qué puede servir esto? Imagina ahora que la bola es el planeta tierra… No es una esfera perfecta pero puedes usar la topología para deformar una en la otra ¿no? Si consideramos ahora que los pelos representan la dirección del viento en un instante de tiempo. Con este teorema podemos concluir, sin siquiera echar un ojo al planeta, que en alguna parte hay un remolino.

 

Este artículo nos lo envía Anastacia Londoño, estudiante de doctorado apasionada por las matemáticas y la divulgación. Durante toda su carrera realizó presentaciones de matemagia en el encuentro de las ciencias que organiza cada año la Universidad de los Andes para acercar la ciencia a los niños y jovenes en edad escolar. Ahora hace divulgación científica en su canal de youtube Maths Vader. También puedes seguirla en Twitter (@MathsVader) o Instagram (@AnastaciaVader)