Los conceptos detrás de Infinite Patterns

Por Naukas, el 6 octubre, 2019. Categoría(s): Audiovisual • Matemáticas
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Un artículo de Cristóbal Vila


La pasada semana, Javier Peláez, alias “Irreductible”, me propuso escribir un texto para explicar mi último trabajo de animación, Infinite Patterns. Por cierto: ¡Muchísimas gracias, Javier! 🙂

Yo le pregunté: “Dime, más o menos, como cuánto texto te parece adecuado. Si algo cortito, tipo 5-10 líneas… o algo más largo…” a lo que Javier respondió: “Lo que quieras… la extensión es a tu gusto, puedes explayarte y explicar lo que te apetezca.”

Entonces recordé que un profe de mates me planteó en Twitter que era una pena que el texto de mi web estuviera solo en inglés, pensando en sus alumnos, a quienes les costaría más entenderlo.

Así que aquí lo tenéis. Espero que os resulte interesante.

Este artículo pretende ser un complemento a la animación, para entender mejor la base teórica que se encierra tras ella. Era también, en parte, el aspecto que tenía el guión que elaboré cuando planificaba el proyecto.

Infinite Patterns pretende establecer conexiones entre varios ámbitos que me interesan profundamente: la geometría, y cómo esta aparece ligada a la naturaleza, por un lado; y al arte y la arquitectura, por otro; planteando relaciones entre todos ellos. De alguna forma supondría la fusión entre los intereses de dos de mis trabajos anteriores: Nature by Numbers y Ars Qubica.

Cero, una y dos dimensiones


La animación arranca presentando tres figuras geométricas, los tres polígonos regulares más sencillos: un triángulo equilátero, seguido de un cuadrado y finalmente un hexágono. Pero lo hace una forma muy especial. Veámoslo con detalle:

Para empezar, lo primero que aparece en pantalla es un punto, uno de los “entes fundamentales de la geometría”, junto con la recta y el plano. Una figura geométrica sin dimensión, sin longitud, ni área ni volumen. La unidad mínima de comunicación visual.

Ese punto se transforma en una recta, nuestro segundo ente fundamental, con una sola dimensión y un número infinito de puntos.

Y finalmente, sobre esa recta definimos un segmento que, mediante dos giros centrados en sus extremos, nos permite obtener un triángulo equilátero; el polígono regular más simple, con el cual (como con todo triángulo) ya tenemos definido nuestro tercer ente fundamental: el plano, con dos dimensiones. Fijaos: en estos primeros segundos hemos ido de menos a más: subiendo de 0 a 1 y luego a 2 dimensiones. 😉

La particular forma de transformar el triángulo equilátero en un cuadrado y luego un hexágono no es un capricho. Necesitaba dejar claro que estos tres polígonos regulares en particular tienen la misma área. Quedaos con este detalle: los tres son polígonos de igual superficie.

 

Hinged dissections (disecciones abisagradas)


Una forma de representar visualmente la igualdad de áreas entre los tres polígonos es cortándolos por unas pocas líneas y recomponiendo las piezas para convertir uno en otro. Y además, para que sea más elegante, hacerlo de forma que todas las partes siempre permanezcan en contacto. Es lo que se conoce como “disección abisagrada” o “disección de Dudeney”. Una disección geométrica en la que todas las piezas están unidas en una cadena por puntos “articulados”, de modo que la conversión de una figura en otra se puede llevar a cabo girando la cadena continuamente, sin cortar ninguna de las conexiones y sin dejar huecos entre las partes.

El siguiente gif animado es de Wikipedia (Autor: Rodrigo Silveira Camargo) y fue de gran ayuda para entender y diseñar esta sección de animación:La transformación entre un triángulo equilátero y un cuadrado es relativamente conocida, ya que se ha empleado ampliamente como puzzle matemático en muchos libros de pasatiempos desde que el matemático Henry Dudeney la popularizara a principios del siglo XX.

Como dato curioso, el teorema Wallace-Bolyai-Gerwien, probado por primera vez en 1807, establece que dos polígonos cualesquiera de igual área siempre tendrán una disección común. Sin embargo, la cuestión de si dos de estos polígonos deben compartir también una disección abisagrada permaneció abierta hasta hace relativamente poco, en 2007, cuando Erik Demaine y otros colegas demostraron que siempre debe existir tal disección abisagrada, y proporcionaron un algoritmo constructivo para producirlos. Aquí tenéis el PDF donde aparece esa demostración.

 

La teselación hexagonal es especial


Bien. ¿Pero por qué es tan importante, en la animación, dejar claro visualmente que los tres polígonos tienen la misma superficie? Porque inmediatamente después veremos cómo de estas tres figuras, al desplegar en línea recta cada uno de sus contornos, la que tiene un perímetro menor es el hexágono.

En el siguiente diagrama, que aparece en la animación, vemos cuál es la diferencia. Partimos de la base que, por diseño, el área es idéntica en las tres figuras. Pongamos que es exactamente 1. No importa si 1 cm cuadrado, 1 m o un 1 km cuadrado…

Es evidente que el perímetro del cuadrado será 4. Para calcular el perímetro del triángulo equilátero podemos emplear la fórmula de Herón que nos permite obtener el área de cualquier triángulo conociendo sus lados. Aquí no conocemos los lados, pero sí el área, así que son matemáticas sencillas. También existe una fórmula para calcular el área de un hexágono conociendo su lado. Aplicándola a la inversa, ya que conocemos el área, podemos calcular el perímetro final.

¿Y esto qué implica?

Existen infinitos polígonos regulares (polígonos cuyos lados y ángulos interiores son iguales), empezando con el triángulo equilátero, con solo tres lados, siguiendo con el cuadrado, pentágono, hexágono, heptágono, octógono… hasta terminar con una circunferencia, que podríamos definir como un polígono regular de infinitos lados.

Pero de todos los polígonos regulares solo existen tres con los que se puede teselar el plano usando la misma pieza: el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono (si usamos combinaciones de dos o más polígonos regulares tenemos muchas más posibilidades).

Y de esas tres alternativas, la hexagonal es la que resulta más compacta. Por ejemplo: si tuviéramos que dividir campos de cultivo en parcelas iguales separados por muros de piedra, la forma óptima (para gastar el mínimo número de piedras) sería la teselación hexagonal. Si no se utiliza es, seguramente, porque la cuadrada/rectangular resulta mucho más fácil de trazar, aunque se gasten unas poquitas piedras más 😉

Es lo que también se conoce como “conjetura del panal de abeja” (PDF) que afirma que este teselado es la mejor manera de dividir una superficie en regiones de igual área y con el mínimo perímetro total. Una conjetura que se conoce desde la antigüedad, pero no fue probada hasta finales del siglo XX, en 1999 (!)

 

Finalmente, la tercera dimensión: un panal de miel. Y una abeja


Llegados a este punto, eso es lo que vemos a continuación en nuestra animación: cómo los hexágonos teselados se extruyen para construir un panal. Además, fijaos, ya hemos llegado a la tercera dimensión, por eso nuestra cámara gira para verlo todo en perspectiva.

Las abejas, que no tienen un pelo de tontas, saben que con este tipo de empaquetamiento consiguen crear una estructura con la relación óptima entre el volumen dedicado para las cavidades y la cera necesaria para construir sus paredes. No entraremos aquí en más detalles, pero la forma exacta de las celdillas de un panal plantea otras curiosidades geométricas.

Una vez construido nuestro panal aparece una abejita obrera, que se da cuenta de que hay una celdilla vacía, sin miel, y decide salir a trabajar para solucionarlo 😉

Y mientras, nosotros avanzamos hacia la siguiente sección de la animación.

 

Patrones decorativos islámicos. La Alhambra


El panal tridimensional se simplifica hasta llegar de nuevo a una teselación hexagonal plana. Y a partir de ahí, mediante una sucesión de operaciones geométricas obtendremos una teselación decorativa mucho más compleja. En el siguiente gif animado podéis ver en detalle la sucesión de pasos para llegar a ella.

 

 

Os recomiendo que le echéis un vistazo a la web Tilingsearch.org, que contiene multitud de diagramas muy detallados (incluidos PDFs) mostrando la construcción de otras tantas teselaciones propias del arte islámico. Aquí tenéis reseñada la de nuestra animación, que se encuentra en la Sala de los Reyes de La Alhambra de Granada.

Y aquí, a la izquierda, se puede ver la página de un libro que sirvió de base para su construcción geométrica. La fuente de esta imagen es otro sitio interesante dedicado a los revestimientos decorativos: PatternsInIslamicArt.com (Nº de catálogo PIA 060)

Y por supuesto, es a la Sala de los Reyes donde llegamos en la siguiente toma y desde ahí salimos al famosísimo Patio de los Leones.

Desde que hace muchos años visité por primera vez Granada y descubrí su mayor joya, La Alhambra, siempre había querido incluirla en alguno de mis proyectos personales. Ese espectacular conjunto de palacios y jardines encerrados en una fortaleza, que en tiempos llegó a ser una ciudad dentro de la propia Granada y que fue edificada a lo largo de varios siglos, siempre me ha parecido una obra bellísima, casi abrumadora. No me canso de visitarla, una y otra vez.

Y esta me parecía la ocasión perfecta, porque no solo supone la obra cumbre del arte andalusí, también es uno de los mejores sitios del mundo para disfrutar de la decoración islámica mediante patrones geométricos en sus mosaicos, azulejos y estucos. No en vano es la segunda atracción turística en España, solo superada por la Sagrada Familia, de Gaudí.

Alcazaba, Alhambra, Granada, España. Fuente: Wikipedia. Autor: Jebulon.

Cuando la cámara avanza por el Patio de los Leones me he permitido la licencia de incluir un elemento poco probable (una pequeña licencia artística, si lo preferís): una flor que aparece de entre las rendijas formadas las losas de mármol blanco, justo al lado de uno de los canalillos de agua.

 

Aquí tenemos de nuevo el ángulo áureo


Conforme nos acercamos, la flor crece y se abre, para descubrir que es una margarita. Y el disco central de esta flor, presenta una estructura amarilla muy característica, una inflorescencia con una distribución que sigue el mismo patrón geométrico que las semillas del girasol, basado en el ángulo áureo (137.507º). En la sección “The concepts behind…” de mi trabajo Nature by Numbers tenéis explicado en detalle cómo se conforma esta estructura.

Y aquí tenemos de vuelta a nuestra abejita trabajadora que viene a buscar sobre la margarita su materia prima para poder rellenar la celda vacía de su panal.

 

Los ojos de las abejas


Pero en esta segunda ocasión la cámara se acerca muchísimo a uno de los ojos de la abeja (sí, también es un guiño al final de Nature by Numbers) para descubrir que están compuestos por múltiples estructuras, los omatidios, distribuidos según un patrón hexagonal.

Como curiosidad, cada omatidio proyecta su propia imagen. Los zánganos tienen unos 8000 omatidios (ya que deben tener buena vista para ser capaces de localizar a la reina), las obreras unos 5000 y la reina unos 4000 (porque apenas saldrá unas cuatro o seis veces del nido en toda su vida)

Además las abejas también tienen tres pequeños ojos simples (ocelos) en la parte superior de la cabeza y que les sirven para la visión lejana y percibir mejor la intensidad de la luz. Por cierto: las abejas distinguen el color azul, amarillo y blanco pero no pueden ver el rojo.

 

De los átomos al ADN. La base de la vida


Una vez que esta superficie hexagonal —el ojo enormemente ampliado de la abeja— llena nuestra pantalla, nos sirve de soporte para generar las fórmulas estructurales de cuatro moléculas que son fundamentales para la vida: las bases nitrogenadas Adenina, Guanina, Citosina y Timina, a las que se suele simplificar son sus iniciales A-G-C-T. Los siguientes gráficos proceden de Wikipedia, autor Vesprcom:

Todas ellas cuentan con un hexágono en su fórmula estructural. Y todas comparten y se enlazan mediante átomos de:

  • Carbono, en gris oscuro y sin letra en la animación (ya que así suele hacerse en la notación química)
  •  Nitrógeno, en azul y con la letra (N)
  • Hidrógeno, en blanco y con la letra (H)
  • Además, la Guanina, Citosina y Timina también contienen átomos de Oxigeno, en rojo y con la letra (O)

En la animación se aprecia cómo, una vez formadas, estas cuatro nucleobases comienzan a enlazarse. Pero no lo hacen de forma arbitraria: la Adenina (A) siempre se enlaza con la Timina (T) y por otro lado la Guanina (G) siempre lo hace con la Citosina (C). Así pues los enlaces siempre son del tipo AT/TA o bien GC/CG.

Y esta sucesión de enlaces entre pares, a los que también se suman otras moléculas como azúcares y fosfatos, es lo que acaba conformando la famosísima estructura del ADN, con su característica forma de doble hélice, que contiene las instrucciones genéticas usadas en el desarrollo y funcionamiento de todos los seres vivos y se encarga de la transmisión hereditaria.

 

Doble hélice: del ADN a la Escalera de Bramante


La animación avanza. Con la gran molécula de ADN ya perfectamente formada se dibujan varias líneas helicoidales en torno a ella. Esas líneas de luz se expanden y a partir de ellas empieza a desarrollarse una construcción un tanto misteriosa. Se originan y acoplan sobre ella lo que parecen varios escalones y también unos complejos relieves con motivos ornamentales (ángeles, águilas y ornamentaciones vegetales) todo con un aspecto metálico y reflectante.

Finalmente, en una visión cenital vemos cómo el acabado metálico se matiza y se termina apreciando la estructura de una de las obras arquitectónicas más fotografiadas por los turistas de Roma: la moderna Escalera de Bramante en los Museos Vaticanos, con su balaustrada ricamente ornamentada en bronce. Una de las pocas escaleras de doble hélice que existe en el mundo, que da lugar a unas perspectivas con líneas curvas muy sugerentes.

Escalera de Bramante (moderna), Museos Vaticanos, Vaticano. Fuente: Wikipedia. Autor: Colin / Wikimedia Commons.

Aunque no es la original: se trata de un diseño relativamente moderno, de 1932, realizado por Giuseppe Modo e inspirado en la que diseñó Donato Bramante en 1512, para que el papa Julio II pudiera entrar en su residencia privada sin salir de su carruaje. En esta otra versión moderna, el objeto inicial de la doble hélice era conseguir que los visitantes pudieran subir y bajar sin cruzarse, uno por cada tramo. Aunque actualmente me temo que solo se utiliza en un único sentido, así que se ha perdido parte de la intención original…

 

Doble hélice: de la Escalera de Bramante a la palmera


Una vez recorrida esta escalera-rampa de doble hélice, la cámara gira en torno al pedestal vertical que está en su base, con una gran copa de mármol encima. De ella surgen varios haces de luz y se forma una especie de rejilla circular, que recuerda a un radar. Una gráfica sobre la que empiezan a aparecer, una tras otra, varias “partículas” esféricas.

Con cada giro de 137,5º (otra vez el ángulo áureo) aparece una nueva partícula, pero esta vez, a diferencia de lo que ocurría en el girasol de Nature by Numbers o en la margarita de La Alhambra, estas partículas se van compactando para crear una forma cilíndrica, no un disco. Las partículas se van transformando en una especie de escamas más aplanadas y el cilindro va creciendo en altura.

En un momento dado, de la balaustrada de la escalera surgen varias curvas helicoidales que se escalan hacia el centro mientras la propia arquitectura se desmorona y desaparece. Y nos sugieren cómo, al cerrarse sobre el creciente cilindro central, las escamas de su superficie —conformadas, recordemos, mediante una distribución áurea— también presentan una disposición en espiral helicoidal. Realmente con espirales en dos sentidos, aunque ese detalle no aparece en la animación: ¡demasiadas cosas a mostrar en tan poco tiempo!

Este gran cilindro que ha crecido en el centro de nuestro espacio es, efectivamente, el tronco de una palmera. Y finalmente vemos cómo aparecen sus enormes hojas en esa distribución tan características de estas grandes plantas.

De hecho, las “escamas” que percibimos en la superficie del tronco de una palmera no son otra cosa que sus antiguas “ramas” (realmente hojas) que ya han ido cayendo o han sido cortadas.

 

Hablando de palmeras: la Capilla del King’s College tiene la bóveda palmeada más grande


A continuación las grandes hojas de nuestra palmera vuelven a replegarse y se generan las líneas de una superficie muy similar a un hiperboloide truncado. En realidad no es, estrictamente hablando, un hiperboloide, ya que esta figura es una superficie de revolución generada por la rotación de una hipérbola, cosa que aquí no es exactamente así, como veremos.

Lo que tenemos aquí es la base constructiva de una nueva gran obra arquitectónica: la Capilla del King’s College, en Cambridge. Este fantástico edificio, terminado a principios del siglo XVI, cuenta con la bóveda de abanico —también llamada bóveda palmeada— más grande del mundo, construida entre 1512 y 1515 por el maestro albañil John Wastell. Sus impresionantes vidrieras (12 a cada lado y dos más, todavía más grandes, en ambos extremos) fueron realizadas en su mayoría por artesanos flamencos entre 1515 y 1531.

Esta capilla constituye uno de los principales ejemplos de la arquitectura Tudor, en la recta final de la arquitectura medieval inglesa, en un periodo que abarcó las Guerras de las Rosas.

Capilla del King’s College, Cambridge, GB. Fuente: Wikipedia. Autor: Dmitry Tonkonog

 

Arcos de cuatro centros y también arcos apuntados. Y una rosa


Uno de los elementos más característicos de este estilo arquitectónico es su Arco Tudor (conocido, también como arco de cuatro puntos)

En el siguiente gif animado vemos cómo se construyen los arcos para la gran puerta oeste mediante este tipo de arcos de cuatro puntos. En mi investigación previa llegué, además, a un feliz descubrimiento: como podéis ver, para la obtención de este diagrama partimos… ¡de un hexágono! Hay diferentes procedimientos geométricos para encontrar los centros para un arco de cuatro puntos (dependiendo de sus proporciones finales). No puedo afirmar con rotundidad que este método aquí mostrado sea el que realmente utilizaron sus constructores, pero desde luego se ajusta muy bien a la imagen del fondo:

Para los doce ventanales laterales se emplearon, en cambio, arcos apuntados, compuestos por dos tramos de arco de circunferencia que forman un ángulo en la clave. Y en este caso encontré altamente probable que para su construcción se partiera de un rectángulo áureo, como podéis ver en el siguiente gif:

Después de un pequeño recorrido por el interior de la capilla, nos acercamos a la cima de la bóveda con uno de los elementos ornamentales que se repite por todo el interior: una gran rosa de piedra (símbolo de las dos grandes dinastías que intervinieron en la Guerra de las Rosas, la Casa de Lancaster, con una rosa roja, y la Casa de York, con una rosa blanca).

En el último momento esa rosa se abre, deja mostrar una estructura geométrica en su botón central, algo empieza a surgir y entonces… Fundido a negro. FIN.

 

Un misterio: ¿curvas catenarias? ¿de verdad? ¿dónde?


Arcos catenarios en la Casa Milà de Gaudi, Barcelona, España. Fuente: Wikipedia. Autor: Matthias Ott.

Para terminar quiero hacer una confesión: cuando estaba planificando este proyecto, mi idea era incluir un edificio que hiciera uso de las curvas catenarias. La elección más lógica o evidente podría haber sido utilizar una de las muchas obras de Gaudí, pues él fue uno de los máximos exponentes de la utilización de este tipo de curvas en arquitectura. Pero… digamos que a Gaudí me lo reservo “para otra ocasión” 😉

Así que buscando otros ejemplos por la red encontré varias referencias a esta otra obra, la capilla del King’s college, como muestra del uso de este tipo de curvas, las catenarias. Por ejemplo:

Así pues, ¡genial, lo había encontrado! El edificio me encantaba e iba a ser un ejemplo maravilloso del uso de catenarias en arquitectura, perfecto para cerrar la animación, tal como yo había planeado.

Pero cuando llegó el momento de la verdad, después de bajar abundante documentación, fotos, dibujos, escáners de varios libros, etc. lo primero que hice fue buscar dónde, exactamente, aparecían ese tipo de curvas en este edificio. Se supone que debería ser en la bóveda, pues las catenarias se caracterizan precisamente por generar un tipo de arcos extremadamente resistentes.

Incluso imprimí varios alzados, desde diferentes ángulos, los invertí y usé una cadenita para tratar de encontrar dónde demonios estaban las catenarias.

Pero por más que busqué, no encontré una sola curva o arco que recordara a una catenaria, por ningún lado (!?).

Todo esto me empezaba a recordar a la historia de la espiral áurea como base para el desarrollo de la concha de un nautilus, anécdota que explico en la sección “The concepts behind…” de mi viejo trabajo Nature by Numbers. En aquella ocasión, a pesar de comprobar que, realmente, la espiral de un nautilus NO es una espiral áurea, decidí dejarlo tal cual (como así se afirma, erróneamente, en infinidad de artículos y reportajes a lo largo y ancho de internet) y excusarme bajo el pretexto de la “licencia artística”.

Pero aquí, en este nuevo trabajo, no quería que volviera a ocurrir lo mismo. Basta ya de “licencias artísticas” forzadas…

Así que, continuando con mi investigación, entré en contacto con un estudio de arquitectura del que había encontrado una publicación en PDF que describía una visita que sus trabajadores habían hecho a Inglaterra para estudiar este tipo de trabajo (King’s College Chapel y otros). Después de una primera auto-introducción, les envié varios documentos y gráficos y les hice todas mis preguntas y dudas. Básicamente, ¿dónde se encontraban esas curvas catenarias específicamente en las elevaciones o secciones de este edificio? Añadiendo este tipo de gráfico adjunto:

Debo decir que fui tratado maravillosamente por esos profesionales. Y finalmente reconocieron que, “quizás”, la catenaria no había sido utilizada para diseñar los arcos de la bóveda de esta obra, contrariamente a lo que se afirma en varios lugares…

Así que, finalmente desistí de introducir el tema de la catenaria. A pesar de todo, siempre mantendré la duda. Si algún experto lee esto y puede confirmarme de una forma u otra, se lo agradeceré. Pero no me basta con una simple afirmación tipo “por supuesto que se usaron las catenarias, es evidente”. Necesito ver un diagrama claro, algo que los constructores originales podrían usar plausiblemente con las técnicas y conocimientos de ese siglo XV. Y afirmar que “una parte de los arcos de las bóvedas podría corresponder a una parte de una curva catenaria…” no me parece un argumento serio.

De todos modos, finalmente descubrí que la sección de la bóveda principal, aunque no respondía a un diseño basado en curvas catenarias, sí lo hacía basado en arcos de cuatro centros. Y además, ¡oh, sorpresa, encajaba perfectamente con un diseño basado en hexágonos! Lo que de hecho conectaba mejor con el resto del cortometraje. Y por otro lado, los arcos apuntados de las ventanas ¡coincidían con un diagrama basado en el rectángulo dorado! Casi grité “Eureka” cuando encontré estas dos coincidencias, después de mi investigación 😉

Así que finalmente no tuve que renunciar a la inclusión de este singular edificio en mi proyecto, aunque no encontrase por ningún lado curvas catenarias en su construcción.



 

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