Las matemáticas son tus amigas

Por Alfonso Araujo, el 22 octubre, 2019. Categoría(s): Matemáticas
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Para Vely

 

La enseñanza de las matemáticas es un desastre: tenemos un tema tan interesante y hermoso —la joya de la corona del pensamiento humano— siendo siempre enseñado de forma repetitiva y cansada, y que termina intimidando a la mayor parte de la gente.

 

¿Qué son las matemáticas?

Hay un debate antiguo que sigue hasta nuestros días: el de si las matemáticas son inventadas o descubiertas. Los argumentos son interesantes y en el segundo caso, muchos piensan que “el universo está hecho de matemáticas” por decirlo de alguna forma, y que nosotros simplemente las vamos descubriendo. Es una idea muy bonita pero no la vamos a tomar en cuenta aquí, para nuestros fines vamos a explicar desde el otro punto de vista.

Las matemáticas son un lenguaje, igual que el español o el francés: podemos decir “yo hablo español, inglés y matemáticas.”

La diferencia entre las matemáticas y los lenguajes naturales, es que las primeras son muy estrictas y precisas, y los segundos pueden ser vagos, y con muchas excepciones a sus reglas. Pero básicamente son lo mismo: una forma de comunicar ideas.

 

Matemáticas y gramática

Tomemos las matemáticas y el español; ambos son lenguajes que nos permiten comunicar ideas, ambos tienen una gramática. Ahora veamos las diferencias.

Las matemáticas están hechas para expresar ideas de forma única, sencilla y sin confusiones. El español y cualquier lenguaje natural, puede expresar ideas de forma clara, pero también de forma aproximada, contradictoria, intencionalmente confusa o vaga.

En español tenemos oraciones que hacemos con reglas gramaticales. Por ejemplo: “El perro es blanco” indica un hecho simple, y si decimos “Blanco es el perro”, o “Es blanco el perro”, el hecho es igual de entendible. Y siguen siendo gramaticalmente correctas. Pero no podemos decir “perro el blanco es”, porque ya no se entiende.

En matemáticas podemos construir ecuaciones igual que las oraciones en el lenguaje natural. Las reglas son simples y claras:

1 + 2 = 3;   3 – 2 = 1;  3 = 3

Son todos hechos simples y correctamente escritos. Igual que con el lenguaje natural, no podemos hacer ciertas cosas, como poner “3 2 1 = -” porque deja de ser entendible.

 

Matemáticas y traducción

Lo que hacemos con las matemáticas es básicamente traducir. Vemos un problema complejo en el mundo real, lo medimos y lo traducimos al lenguaje matemático, que es muy confiable y fácil de manipular, lo resolvemos y luego usamos esa respuesta para re-traducir a la situación real.

Tomemos un caso típico, de esos que se llaman “problemas razonados.” Este es el problema expresado en lenguaje natural:

Juan y Ana son hermanos, Juan es mayor que Ana. Si a la edad de Juan le quitamos la edad de Ana, nos da 6. Si tomamos dos veces la edad de Ana y la sumamos a la edad de Juan, nos da 18. ¿Cuáles son las edades de Juan y de Ana?

Tenemos varios números que sabemos, y varios que no. Los que sí sabemos, los escribimos tal cual y para los que no, que llamamos “incógnitas”, usamos una convención del lenguaje de las matemáticas: las letras x y y. Si decimos que x es la edad de Juan, y y es la edad de Ana, entonces podemos poner:

para “Si a la edad de Juan le quitamos la edad de Ana, nos da 6”:

xy = 6

para “dos veces la edad de Ana más la edad de Juan, nos da 18”:

2 x y + x = 18

Como una de las características del lenguaje matemático es siempre simplificar, tomamos otra de nuestras “reglas gramaticales” y ponemos en la segunda ecuación, en lugar de “2 x y”, simplemente “2y”.

Así tenemos estas dos ecuaciones:

xy = 6

2y + x = 18

Y como en las matemáticas nos gusta poner las cosas lo más simétricamente posible para mayor claridad, intercambiamos los lugares de los términos de la segunda ecuación, para que queden así:

xy = 6

x + 2y = 18

¡Listo! Nuestra traducción español-matemáticas está completa.

Esta traducción, en un par de ecuaciones, representa de forma sencilla y completa el problema planteado, sin ningún elemento innecesario (por ejemplo, el hecho de que Juan y Ana son hermanos). Y si ya lo tenemos expresado en este lenguaje, podemos usar nuestras “reglas gramaticales” como sumas, restas, multiplicaciones o agrupaciones, para resolverlo. En este caso tan sencillo, podríamos usar dos técnicas distintas para resolver: Eliminación o Sustitución (ambas explicadas al final del artículo). Pero el énfasis que quiero hacer aquí no es en la resolución de ecuaciones, sino en el hecho de que el mundo puede ser expresado con ellas.

 

El vocabulario

Si entendemos a las matemáticas como traducción, como lo ejemplificado, hemos entendido no sólo el concepto de casi todas las matemáticas clásicas, sino que podemos perder casi todo nuestro miedo: aprender matemáticas es aprender un idioma.

Desde luego, hay problemas sencillos y complejos. Aprender a traducir un problema como el anterior es como aprender a decir Hello, Thank you y Nice to meet you en inglés. Para traducir problemas más complejos es necesario desarrollar nuestro vocabulario y nuestra comprensión de la gramática. Pero no es necesario que nos intimiden los signos: cierto que una integral o una derivada nos parecen exóticas, pero no lo son más que aprender la “R” o a “N” en el alfabeto ruso.

Cuanto más crezca nuestro vocabulario, más problemas podemos traducir; cuanto más gramática sepamos, más problemas podemos resolver.

 

Matemáticas y poesía

El polo opuesto de las matemáticas es la poesía, porque mientras las matemáticas las usamos para expresar relaciones claras y sin ambigüedad, la poesía hace exactamente lo opuesto: expresa relaciones evocativas.

Por ejemplo, si decimos “tus ojos son como las alas del cuervo” ó “tus ojos son como la noche” es claro que estamos usando un símil para implicar el color negro. Pero si decimos “tus ojos son como un susurro”, eso es algo poéticamente válido, pero no se puede expresar de ninguna otra forma, es algo que se deja a la imaginación del lector.

Las matemáticas no están hechas para expresar esos vuelos de imaginación y emociones, pero en cierta forma sí pueden hacer algo similar. Además de “traducir el mundo”, como dijimos antes, con las matemáticas también se puede imaginar: con su vocabulario y sus reglas gramaticales, pueden “crear” nuevas cosas y encontrar nuevas relaciones entre ellas, de la misma forma en que la imaginación puede crear un unicornio o un dragón. Gran parte de las matemáticas modernas hacen esto, explorando los números infinitos, los diversos sistemas de geometría o la teoría de los números primos.

Así tenemos que las matemáticas no son frías ni alejadas del mundo ni tan intimidantes como parecen: tan sólo debemos verlas de la forma correcta. Con ellas no sólo podemos traducir el mundo a un lenguaje más práctico y manejable, sino que también podemos usarlas para ejercitar nuestra imaginación y crear quimeras que otros puedan usar, y como la mejor poesía, a veces las matemáticas nos pueden mostrar relaciones del mundo real tan sorprendentes —como por ejemplo el hecho de que el álgebra y la geometría son dos caras de una misma moneda— que no podemos menos que movernos a asombro y a la emoción. Emoción de saber que un invento del intelecto de hecho nos abre las puertas a la comprensión de la existencia.

Es nuestra joya de la corona, no dejemos que nos espante.

#LasMatematicasSonTusAmigas


RESOLVIENDO UN SISTEMA DE DOS ECUACIONES

Estas ecuaciones se pueden resolver, porque tienen dos incógnitas en dos ecuaciones. Si tuviéramos dos incógnitas en una sola, entonces no se podría resolver de esta forma.

xy = 6

x + 2y = 18

Lo que queremos es poner toda la información de ambas ecuaciones, en una sola. Esto lo podemos hacer de dos formas, pero primero vamos a ejemplificar algunas reglas de la manera más sencilla. Si tenemos esta ecuación:

x + 1 = 3

es tan simple que casi de inmediato diríamos “la respuesta es 2.” Pero de lo que se trata es de aprender las reglas, así que lo que realmente hacemos para resolverla, es aislar la incógnita. Para esto, debemos restar 1 en ambos lados de la igualdad, así:

x + 1 – 1 = 3 – 1

Si hacemos una operación de suma, resta o lo que sea, exactamente de la misma forma en ambos lados de la igualdad, entonces la ecuación sigue siendo válida. Al restar el 1, dejamos sola a la x del lado izquierdo, y obtenemos la respuesta del lado derecho:

x  = 2

 

Otra regla es esta: si tenemos dos ecuaciones, las podemos sumar y la ecuación resultante sigue siendo válida. Por ejemplo, consideremos estas dos:

x1 = 5

x + 2 = 8

De nuevo, estas ecuaciones son muy sencillas y podemos decir “la respuesta es 6”, pero la forma técnica de hacerlo es así: primero, sumamos los términos de las dos y obtenemos:

2x1 = 13

Si eliminamos el 1 de la izquierda y lo pasamos al lado derecho:

2x  = 12

Y finalmente dividimos entre 2 en ambos lados, para obtener:

x  = 6

Ahora usemos estas reglas sencillas para resolver el problema de Juan y Ana. Primero lo haremos eliminando una incógnita y luego sustituyendo:

  1. ELIMINACIÓN

Este es nuestro sistema de dos ecuaciones:

xy = 6

x + 2y = 18

Lo que vamos a hacer el sumarlas, pero de tal modo que una de las dos incógnitas desaparezca al hacerlo. Si las sumamos ahora mismo, en la ecuación resultante obtendríamos un 2x y una y: ninguna desaparece. De modo que tenemos que hacer un paso previo. Este paso previo es multiplicar ambos lados de la primera ecuación por 2. Esto nos da:

2x – 2y = 12

¡Perfecto! Ahora tenemos un – 2y (negativo) y es lo que queremos, porque en la segunda ecuación hay un 2y (positivo). O sea:

2x – 2y = 12

  x + 2y = 18

si ahora sumamos esas dos ecuaciones, la incógnita y desaparece y nos quedamos con:

3x  =  30

Dividiendo entre 3 en ambos lados, vemos que Juan tiene 10 años (x  =  10) y si ponemos este valor en la primera ecuación (xy = 6), encontramos que Ana tiene 4.

Esto se puede hacer de nuevo, pero eliminando la incógnita x: para eso hay que multiplicar la primera ecuación por – 1.

¡Inténtalo! Esta vez encontrarás primero la edad de Ana.

 

  1. SUSTITUCIÓN

La segunda forma de resolver el sistema, es tomar cualquiera de las dos ecuaciones, expresar una de las incógnitas en términos de la otra, y sustituir este valor en la segunda ecuación, para poder resolverla con una sola incógnita. Quizá esta explicación en lenguaje natural no es fácil de seguir, pero en lenguaje matemáticas sí es fácil de ver. Tomemos la primera ecuación:

xy = 6

Lo que queremos saber es “a qué equivale x”: para hacer esto, la “separamos” de su compañera y, enviando a ésta del otro lado de la igualdad:

x = 6 + y

Perfecto. Ahora vemos la segunda ecuación:

x + 2y = 18

y como queremos una ecuación con una sola incógnita, simplemente sustituimos esa molesta x con el valor (6 + y), lo que nos da:

6 + y + 2y = 18

Muy bien, ahora agrupamos las y para que nos quede:

6 + 3y = 18

llegando a terreno bien conocido. Nos deshacemos del 6, pasándolo del otro lado:

3y = 12

y dividiendo entre 3, obtenemos la edad de Ana: y = 4.

Al igual que en el ejemplo anterior, esto puede hacerse desde el principio otra vez, pero expresando y en función de x, y hallando primero la edad de Juan.

Ya vas a la mitad de ser un buen traductor, ¡a intentarlo!

 

¡Vocabulario y gramática, y ánimo de hablar un idioma nuevo!



Por Alfonso Araujo, publicado el 22 octubre, 2019
Categoría(s): Matemáticas
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