La evolución de la pandemia: ¿qué nos dicen los modelos?

Por Colaborador Invitado, el 6 abril, 2020. Categoría(s): Actualidad • Ciencia • Colaboraciones Naukas • Divulgación

Este trabajo nos lo envía Mariano Santander, Profesor de Física Teórica de la Universidad de Valladolid. Su campo de trabajo es la Física Matemática, dentro de la que usa muchas de las técnicas matemáticas que se usan también en epidemiología habitualmente. Ha procurado limitarse en esta entrada a lo que se deriva a grandes rasgos del uso de tales técnicas, y se ha animado a publicarlo, ya que parece coincidir con lo que nos vienen diciendo los epidemiólogos, y cree que puede servir un papel pedagógico no exento de cierto rigor.

Las figuras que acompañan a esta entrada son de elaboración propia del autor y el programa de Mathematica con el que están generadas estará disponible en su blog, Una Vista Circular, junto con esta entrada, en un par de días, en donde también se podrá comentar.

 

«De aquí a una década, podremos estar mucho mejor preparados para una epidemia letal si estamos dispuestos a poner en preparación para la epidemia una fracción de lo que gastamos en presupuestos de defensa y nuevos sistemas de armas.»

Bill Gates, Enero 2018.

Hace unas semanas, un colega y amigo me hizo llegar las transparencias de una presentación que Jim Yorke había dado en Maryland el día anterior, 8 de Marzo: ‘Coronavirus: Transmision Dynamics and Control’. Jim Yorke es uno de los referentes mundiales en investigación en Caos, y fue él quien propuso en 1983 el uso moderno del término Caos en su influyente artículo con Li ‘Period 3 implies chaos’. Las transparencias se ofrecían para su distribución pública y estudiaban el efecto de medidas de contención basadas en el distanciamiento social. En esa charla se empleaba una variante discreta simple del modelo SIR que describe la propagación de epidemias, un modelo básico y robusto de propagación de epidemias.

En los días siguientes se comenzó a ver como prioritaria en nuestro país la necesidad de aplanar la curva para evitar la previsible sobrecarga en el sistema hospitalario que un pico de infectados demasiado intenso causaría, precisamente una de las consecuencias beneficiosas de las medidas que Yorke señalaba. Y entonces llegaron las primeras medidas establecidas desde el Gobierno, un confinamiento parcial de menor duración que las que proponía Yorke.

Me entretuve un día en elaborar unos cuadernos de Mathematica para replicar y explorar lo que Yorke proponía; esta entrada presenta los resultados de esa exploración: los patrones cualitativos de evolución de una epidemia como la que nos asola, junto con simulaciones con los resultados esperables de las medidas de distanciamiento social y de contención de la epidemia que se siguen de ese modelo, muy simple pero adecuado para una aproximación de orden cero.

Según han ido pasando los días, la evolución de la epidemia, y la lectura de artículos o entrevistas más informadas de epidemiólogos parecen indicar que, tomadas cum grano salis esas simulaciones no están tan descaminadas. Lo que conozco de la modelización de la dinámica de poblaciones a través de sistemas dinámicos es suficiente para saber que una característica de las variantes simples de esos modelos es que, aunque no sean nada precisos, ni literalmente ni incluso en grandes detalles, su validez y aplicabilidad cualitativas son extraordinariamente robustas y en cierto sentido inescapables. A esos modelos podría aplicarse, parafraseada, la repetidamente citada frase que Minkowski escribió en el trabajo en el que introducía la interpretación geométrica de la Relatividad: ‘Estas concepciones son radicales y provienen de la experiencia. En ello estriba su fuerza

Me centraré pues en traducir las respuestas que da ese modelo a unas cuantas preguntas.

Como esta entrada es bastante larga, indico aquí el esquema de los apartados, para que quien tenga interés especial en un apartado concreto pueda hacer scroll hasta allí directamente. Lo más interesante, creo, son las gráficas que muestran como depende la evolución del número inicial de susceptibles (6), y las de los efectos de cambiar los parámetros de las medidas de distanciamiento (10 a 13).

  • 1. ¿Es exponencial la evolución de una epidemia?
  • 2. Lo que es nuevo para el CoVid19
  • 3. El modelo SIR de propagación de epidemias.
  • 4. Viendo las evoluciones predichas por los modelos
  • 5. La evolución ‘laissez faire, laissez passer‘ o BoJo v.0
  • 6. ¿Cómo depende la evolución de una epidemia de cuantos susceptibles haya inicialmente?
  • 7. La letalidad de la epidemia y la saturación del sistema hospitalario
  • 8. ‘Aplanar’ la curva
  • 9. ¿Como modelar esa estrategia de control?
  • 10. Intervenir muy pronto o menos pronto
  • 11. Intervenir con poca intensidad o con mucha
  • 12. ¿Qué nos dice este modelo simple sobre la evolución previsible tras 2 + 2 ‘semanas’ de distanciamiento?
  • 13. Medidas adicionales, ¿de qué tipo?
  • 14. Conclusiones

1. ¿Es exponencial la evolución de una epidemia?

La propagación de una epidemia del estilo de la actualmente causada por el CoVid19 está caracterizada, sobre todo, por un valor, denotado R0, y llamado índice reproductivo que determina, en promedio sobre grandes poblaciones, a cuantas personas en total infecta quien ha sido infectado.

Desde los primeros datos sobre la evolución de la epidemia en China, hemos sabido que el valor R0 para el CoVid19 parece estar entre 2 y 3, y que el tiempo en que un infectado resulta infeccioso para otras personas está entre 4 y 12 días, así que su orden de magnitud es de una semana, que tomaremos para el modelo simple como el intervalo de tiempo en que un enfermo puede infectar a otros, y también como el intervalo de tiempo en que un enfermo supera la enfermedad.

La primera observación importante es que lo robusto en las predicciones del modelo son las tendencias y no los detalles. Ese modelo que emplea hipótesis simplificadoras como asimilar los tiempos en los que un infectado es infeccioso con el de incubación y el de evolución de la enfermedad, pero resulta predecir, grosso modo, las mismas tendencias que si tuviéramos en cuenta que esos tiempos son diferentes entre sí (que desde luego lo son) o si fueran realmente la mitad o el doble de una semana. Un modelo con muchos más parámetros, que epidemiológicamente es imprescindible, lo presentaba aquí el viernes pasado Iván Rivera. Del modelo de juguete que se discute aquí solo podemos tener confianza en que recoja tendencias. Eso es, ahora, lo único que nos concierne.

Por ‘semana’ aquí entenderemos pues ese cierto periodo de tiempo, cuya duración podría ser la de una semana real de 7 días, o quizás un poco diferente, pero no demasiado diferente. Supongamos que inicialmente, en la ‘semana 1’, tenemos un solo enfermo en un grupo grande e interconectado de población, por ejemplo en una ciudad. Si suponemos que R0 vale 2, y nos quedamos en el nivel de análisis más simple, resulta que por cada infectado que haya la primera ‘semana’ habrá dos la segunda, cuatro enfermos la tercera ‘semana’, ocho la cuarta, …. El mecanismo es el mismo que el del crecimiento del número de los granos de trigo que pedía al rey el inventor del ajedrez en la vieja leyenda. En otras palabras, parece que estamos ante un crecimiento exponencial del número de enfermos. Esta idea la hemos escuchado hasta la saciedad.

Parece claro. Pero ¿es así o no? Pues NO. La evolución real de cualquier epidemia, a largo plazo, e incluso sin ninguna intervención, no PUEDE ser exponencial. En sí mismo, esto es una total obviedad; si no fuera así, toda la humanidad, o un continente o una ciudad hubieran sucumbido a la primera epidemia de un virus o bacteria que fuera a la vez nuevo y suficientemente letal: a la Peste Negra en Europa a mediados del S. XIV, a la gran peste de Londres en 1666, a la gripe del 18 incorrectamente llamada gripe española, de extensión mundial, etc. Y ahora mismo, el contagio acabaría llegando a todos los habitantes de una ciudad como Madrid tan solo 23 ‘semanas’ después de que hubiera un único infectado inicial. Es manifiesto que tal cosa no ocurre. Así que la dinámica de una tal epidemia, en toda su extensión temporal, no es exponencial.

¿Porqué la evolución real no puede seguir el crecimiento exponencial que la propia definición del índice reproductivo sugiere?

La explicación en cápsula: el crecimiento ‘natural’ de una tal epidemia es exactamente exponencial solo si la totalidad de la población es susceptible de ser infectada, lo que significa que no haya ninguna persona inmune. El crecimiento real de la epidemia se va separando del crecimiento exponencial conforme hay infectados que se recuperan, pasando entonces a ser inmunes.

Lo que significa que el crecimiento solo es muy aproximadamente exponencial en las primeras fases de la epidemia y solo para epidemias para las que nadie en la población tenga inmunidad previa.

Esto establece una distinción muy relevante entre la epidemia de un virus nuevo, como CoVid19, con la propagación de virus ‘antiguos’ como los de las varias mutaciones del virus de la gripe o el del sarampión. Y quizás no se ha insistido lo suficiente en esa diferencia, que ha llevado a mucha gente a pensar que lo que se nos venía encima era solo como una gripe ordinaria, cuando la situación es totalmente diferente.

En una enfermedad ‘antigua’ como la gripe ordinaria cuyo R0 está en torno a 1.3, actualmente una fracción importante de la población resulta ser inmune, bien por haberla sufrido antes o por haber sido vacunado. Así una parte de los contactos potencialmente infectantes que pueda tener un infectado con otras personas a las que podría transmitir la enfermedad lo serán con personas que ya son inmunes, y esos contactos no serán efectivos para transmitir la enfermedad. En términos cuantitativos, si el 40% de la población es previamente inmune, y la fracción de población susceptible de ser infectada es por tanto del 60%, el número medio de contagios producidos por cada enfermo de gripe en esa situación no será igual al valor ‘desnudo’ de R0=1.3 sino que se habrá reducido a R = 1.3 * 0.6 = 0.78. Los epidemiólogos llaman a tal valor R ‘índice reproductivo efectivo‘, que en la evolución de la epidemia se va reduciendo desde su valor ‘desnudo’ R0 según la fracción de personas inmunes va creciendo.

Queda claro en este ejemplo que la propagación de una enfermedad para la que ya hay inmunidad en una gran parte de la población nunca va a conducir a un crecimiento exponencial, ni siquiera inicialmente, ya que aunque R0 sea mayor que 1, si hay suficiente población inmune, el índice reproductivo efectivo será menor que 1. Y esta misma explicación sirve para entender porqué no hay epidemias ‘explosivas’ de otros virus ‘antiguos’ cuyo R0 es muchísimo más alto, por ejemplo el del sarampión cuyo R0 es de alrededor de 18. La cuestión es que cuando una fracción bastante importante de la población es ya inmune, eso hace que haya solo contagios ocasionales, sin crecimiento explosivo en un momento dado.

2. Lo que es nuevo para el CoVid19

El caso del CoVid19, al ser un virus nuevo, es sustancialmente diferente: no hay población previamente inmune, y el 100% de la población es inicialmente susceptible de ser infectada. Partiendo de un número inicial muy pequeño de enfermos, la propagación comenzará siendo exponencial, ya que todos los contactos infectantes de esos enfermos derivarán en infectar a personas sanas. Conforme el número de enfermos aumenta y un porcentaje de estos enfermos ‘superan’ la enfermedad y se recuperan, estos recuperados pasan a ser inmunes (al menos a corto plazo, tampoco se conoce exactamente el nivel de inmunidad que da el CoVid19 a largo plazo tras sufrir la infección). No todos los contactos potencialmente infectantes que vaya a tener cada infectado, que son los determinados en promedio por el R0 ‘desnudo’, van a ser efectivos para propagar la enfermedad: solo lo serán los contactos con la fracción de la población aún susceptible de enfermar, que va disminuyendo conforme va habiendo más inmunes.

Esto significa que el número medio efectivo de contagios causados por cada infectado irá siendo progresivamente menor, con lo que el crecimiento que inicialmente fue exponencial se irá ralentizando con respecto a la exponencial, e incluso sin ninguna intervención, llegará un momento en el que el crecimiento se detiene y su dirección se revierte, disminuyendo el número neto de infectados hasta acabar haciéndose muy pequeño.

El cambio de tendencia de crecimiento a decrecimiento ocurre cuando la fracción de susceptibles de ser infectados ha disminuido por debajo de un cierto valor crítico (la mitad de la población si R0=2). Lo que se conoce como ‘inmunidad colectiva’ o inmunidad de grupo.

La misma situación que ocurre hoy para el CoVid19, (que no haya personas con inmunidad previa a la enfermedad), ocurrió con las epidemias que al parecer diezmaron a los nativos americanos a la llegada de los españoles —ante gérmenes para los que los nativos carecían de inmunidad adquirida debido a que para ellos se trataba de un patógeno ‘nuevo’—. Jared Diamond detalla ejemplos análogos en su ‘Armas, gérmenes y acero’.

O también en 1918 para la gripe del 18, causada por un virus entonces completamente nuevo y bastante letal, cuyo R0 se estima entre 2 y 3. Como referencia numérica, de una población mundial en aquel momento de algo menos de 2 mil millones, y en plena Gran Guerra, esa gripe afectó al 27% de la población mundial, unos 500 millones de infectados; el número de muertes no se conoce exactamente, pero su orden de magnitud se estima en torno a 50 millones, uno de cada 10 infectados. Esta tasa de letalidad altísima en buena medida se debió no solo al propio virus sino a factores complementarios: malnutrición, mala higiene y atención sanitaria desbordada y muy insuficiente en paralelo con la gran Guerra.

Para ir más allá, necesitamos un modelo matemático que describa, de manera al menos cualitativa y en primera aproximación, las características relevantes de la evolución del número de enfermos infectados. La famosa ‘vaca esférica de radio despreciable’ de los chistes de físicos. En epidemias el modelo SIR juega ese papel.

3. El modelo SIR de propagación de epidemias.

El modelo más simple de propagación de epidemias es el llamado modelo SIR, propuesto en 1927 por Kermack y McKendrick, y casi ignorado hasta que Anderson y May lo rescataron de su olvido en 1979. Tiene muchas variantes más complicadas, pero la versión original, al ser tan simple es también muy sólida en esencia, aunque sea solo una aproximación muy básica a la propagación real de una epidemia en un grupo de población grande e interconectado.

El modelo básico, que es el único que aquí voy a emplear, describe la epidemia mediante tres variables que evolucionan con el tiempo, a saber, las fracciones sobre la población total en cada momento de

S: Susceptibles de ser infectados,

I: Infectados en ese momento y

R: Recuperados, que han pasado la enfermedad.

Las hipótesis básicas de ese modelo son completamente razonables y claramente capturan lo esencial del proceso de propagación de la epidemia.

El modelo supone una población fija y el total de la población se divide, de manera disjunta, en esos tres grupos, por lo que las fracciones S, I, R deben sumar 1.  A lo largo del tiempo, los susceptibles pueden pasar a infectados, que a su vez pasarán mas adelante a ser recuperados (o, en el caso fatal, a fallecer). Es esta dinámica la que queremos analizar.

Parece que no se están tomando en consideración los muertos, que forman parte del panorama de la epidemia. Solo a primera vista: el número de fallecimientos será una fracción de los ‘recuperados’ (que realmente sería mejor llamar post-infectados) dado por la tasa efectiva de letalidad, en inglés case fatality ratio) (aunque el nombre ‘recuperados’ parezca una broma macabra para aquellos fallecidos de entre ellos).

La letalidad tiene varias componentes, unas determinada por el propio virus y que pueden cambiar de manera sustancial si el virus muta o se debilita, y otras que dependen de circunstancias externas, y que pueden hacer que la letalidad se dispare, por ejemplo si la atención hospitalaria no es capaz de atender a todos los enfermos realmente graves.

No conocemos bien el porcentaje de letalidad para el CoVid19, que debe ser calculado sobre el total de los que en algún momento se infectaron (no de los registrados ‘oficialmente’ como tales, que inevitablemente serán muchos menos). Diferentes estimaciones sugieren que en condiciones óptimas de higiene de la población y de atención hospitalaria sin saturar, el orden de magnitud de esa letalidad para el CoVid19 puede estar cerca del 1 por cien sobre el total de infectados. Sí que sabemos que esa tasa depende mucho de la edad, siendo muy pequeña para los niños y jóvenes y va creciendo hasta llegar a más a un 15% para pacientes mayores de 90 años, en contraste con la gripe del 18, en la que la letalidad se centraba en los adultos de media edad.

El modelo SIR admite una formulación como sistema dinámico con tiempo continuo o con tiempo discreto. En el modelo discreto, que es con el que están hechas las simulaciones que presento a continuación, se divide el tiempo en intervalos de duración fija, la ‘semana’ de la que hablamos al principio y se establecen las ecuaciones de evolución que determinan cómo cambian las variables S, I, R al pasar de cada intervalo temporal de una ‘semana’ a la siguiente. Evidentemente tal modelo solo puede dar estimaciones numéricas muy toscas, pero de lo que se trata es de capturar las tendencias. Hay algunas variantes del modelo, más realistas pero más complicadas, comenzando con el modelo SEIR, que se presenta con detalle aquí.

4. Viendo las evoluciones predichas por los modelos

Debido a la incertidumbre que tenemos sobre los parámetros del modelo (¿cual es el valor de R0?, ¿en qué ‘semana’ de la evolución estamos?, ¿cual es la duración exacta de cada ‘ciclo’ de infección, que hemos denominado ‘semana’?, etc.) lo que realmente hay que tener en mente es que la información sobre la evolución obtenida de estas gráficas es sobre todo cualitativa. Lo que, por supuesto, no obsta para que cualitativamente esa información y los patrones que aparecen sean muy robustos ante cambios en los valores supuestos de los parámetros, etc.

Y, claro está, las predicciones dependen esencialmente de algunas hipótesis implícitas. Por ejemplo, que el virus no mute. Podría mutar perdiendo virulencia, y en ese caso la evolución real podría ser mucho más favorable. Pero también podría hacerlo a un virus más agresivo, como ocurrió durante el episodio de la gripe del 18. No lo sabemos, pero algo positivo para nosotros es que de mutar, es más frecuente que lo haga a menos virulento y más raro que lo haga a más.

Tampoco tenemos datos fiables sobre el número de infectados actualmente. Parece virtualmente seguro que el número real de afectados debe ser un orden de magnitud mayor que el de los registrados oficialmente como tales; la causa es que una gran parte de los infectados o bien son asintomáticos o bien están pasando la enfermedad en sus casas sin que los registros oficiales los tengan en cuenta (ver este artículo con enlaces a un análisis estadístico que lleva a esa conclusión). Que haya ya muchos infectados que están pasando la enfermedad sin más consecuencias es, visto debidamente, muy positivo, como veremos enseguida.

5. La evolución ‘laissez faire, laissez passer’ o BoJo v.0

Como para el CoVid19 sabemos que R0 está entre 2 y 3, comenzaremos nuestra excursión gráfica representando la evolución ‘espontánea’ en esos dos casos, suponiendo que no hay ninguna atención sanitaria ni intervenciones externas y coordinadas de ningún tipo; eso seguramente fue aplicable bastante literalmente a muchas de las epidemias letales en la historia. Nótese que muchos gráficos publicados en diversos medios toman como origen temporal la fecha del primer fallecido, que típicamente puede ocurrir al comienzo de lo que llamamos luego ‘despegue’ y que es muy posterior al origen temporal ‘semana 0’ que estamos tomando aquí, que es cuando llegan a la población los ‘infectados 0’.

En primer lugar, supongamos que en la ‘semana’ 1 hay un número inicial muy pequeño de infectados. La evolución posterior, en las 35 ‘semanas’ siguientes depende esencialmente del valor de R0, y salvo llegar a los mismos niveles de infectados algo antes o algo después, el resto de la evolución no depende para nada del número inicial de infectados.

El valor R0=3 del índice reproductivo conduce, tras 6 ‘semanas’ de crecimiento muy lento, casi ‘subterráneo’ y casi exactamente exponencial, a un brote que ‘despega’ en la ‘semana’ 7. En la ‘semana’ 12 alcanza un pico con el (nada menos!) 30% de la población infectada en esa semana, y a partir de entonces disminuye hasta prácticamente desaparecer en la ‘semana’ 17. Por entonces solamente queda un 5% de la población que no ha sido infectada. Esto se ve en las dos gráficas siguientes. La (fase aguda, ‘visible’ de la) epidemia ha sido bastante rápida, durando 10 ‘semanas’ y ha afectado al 95 % de la población. Recuerdo: sin hacer ninguna intervención.

Si el índice reproductivo es R0=2, el despegue del brote ocurre en la ‘semana’ 10, alcanza un máximo del 15% de la población la ‘semana’ 18 y se extingue prácticamente la ‘semana’ 26, en la que quedan sin haber sido infectados poco más del 20% de la población. La fase ‘aguda’ (algo menos aguda que la anterior) dura 15 ‘semanas’ y ha afectado al 80% de la población

Si el índice R0 fuera aún menor, p.ej. R0=1.7, el despegue ocurriría en la ‘semana’ 13 y duraría hasta la 32, con un pico las ‘semanas’ 20 y 21, en las que está infectada el 10% de la población. En la ‘semana’ 31, al final práctico de la epidemia, un 30% de la población quedan como susceptibles, sin haber sido infectados. La fase en que la infección es intensa (menos intensa que en el caso anterior) dura 19 ‘semanas’ y ha afectado al acabar al 70% de la población.

La gráfica siguiente agrupa los tres gráficos de la fracción de infectados para R0 = 3, 2 y 1.7 y en ella se aprecian perfectamente esas características. He añadido en cada caso la evolución exponencial inicial para que se vea cómo la evolución real se separa de  (la exponencial al poco de ‘despegar’ el crecimiento del número de casos. Esta separación del comportamiento exponencial ocurre independientemente de que haya habido ninguna intervención para tratar de contener la epidemia.

La lección a conservar es que valores MENORES de R0 conllevan tres consecuencias:

  • una extensión temporal de la epidemia extendida a lo largo de una mayor duración mayor,
  • unos picos en la evolución de la fracción de infectados más tardíos y más bajos, y
  • un porcentaje total de la población que se infectó durante la epidemia menor.

La altura de cada pico no depende para nada del número inicial de infectados; modificar ese número inicial solo hace que el ‘despegue’ y luego el pico principal se alcancen tras un número diferente de ‘semanas’, pero la altura del pico y la duración de la fase aguda son las mismas.

Esperar a que, a costa de las muertes previsibles, los infectados que no mueran pasen a ser inmunes al recuperarse conseguiría reducir la extensión de la epidemia de manera ‘natural’ (nunca mejor dicho), sin necesidad de ninguna intervención, a más largo plazo. Esa ‘solución’, vía el logro de la inmunidad colectiva (‘herd inmunity’) a costa del número de fallecimientos que ‘correspondieran’ fue la que inicialmente propuso Boris Johnson para aplicar en UK. Afortunadamente ha dado marcha atrás, ver esta interesante carta del editor de Lancet sobre este asunto. A cualquiera que no sea indecorosamente cínico-populista le parecerá una ‘solución’ eugenista e inaceptable desde muchos puntos de vista.

6. ¿Cómo depende la evolución de una epidemia de cuantos susceptibles haya inicialmente?

Además de depender del valor de R0, la altura del pico depende muy fuertemente de la fracción inicial de susceptibles. Las gráficas anteriores tienen inicialmente la totalidad de la población como susceptible, en cuyo caso, con R0=2, el pico tiene altura del 16%.

Esta dependencia tan fuerte se representa en la siguiente gráfica, que se refiere a la evolución una epidemia según haya diferentes fracciones de la población que tienen previamente inmunidad. La evolución depende muchísimo de cual sea esa fracción.

La gráfica representa la evolución de la fracción de infectados, con R0=2, para varias fracciones de inmunes al inicio, desde 0% (que es el caso de CoVid19, en rojo), pasando por 10%, 20%, 30%, hasta 40% (en verde claro), lo que corresponde a fracciones de susceptibles del 100%, 90%, 80%, 70%, 60%. Vemos que según la fracción de población susceptible inicial sea menor (lo que es lo mismo, según haya inicialmente más inmunes), la altura del pico principal de la epidemia disminuye de manera espectacular, a la vez que, lo que también es bueno, la duración de la fase ‘aguda’ de la epidemia se va haciendo mayor, y tarda más en llegarse a ella desde los primeros infectados. Antes vimos que para 100% de susceptibles y R0=2, el pico tenía altura del 16%. Si el porcentaje susceptible inicial fuera de 90%, la altura del pico sería solo del 10%. Con 80% de susceptibles iniciales, los valores serían pico del 6%, y con el 70% inicial de susceptibles, el pico solo alcanza el 3% (en amarillo); está claro que en cuanto al número de infectados esta última situación es, ahora sí,  mucho más cercana a un episodio de una gripe ordinaria que a una epidemia.

Y si los inmunes son ya el 60%, (gráfica en verde) entonces estamos ya en el caso de una enfermedad común, que tarda casi un año en extenderse a un 1% de la población partiendo de unos pocos infectados iniciales, y se mantiene en ese nivel unos cuantos meses.

7. La letalidad de la epidemia y la saturación del sistema hospitalario

Del total de los infectados del CoVid19, una fracción importante (no sabemos exactamente cuantos) son asintomáticos y leves (aunque al parecer son igualmente infecciosos que los sintomáticos). De la otra fracción que muestra síntomas, una buena parte supera la enfermedad sin necesidad de internamiento en centros sanitarios. Afortunadamente, solo un porcentaje menor de los infectados presentan síntomas más graves que necesitan cuidados hospitalarios y de ellos algunos acaban en muerte. Ignoramos cual puede ser la letalidad real; en el documento de Yorke se menciona un valor de 1 muerte por cada 2000 casos reales de infectados (letalidad del 0.5 por mil), pero otras varias estimaciones sugieren valores entre el 1 por mil y el 1 por cien del total de los afectados. Varios expertos parecen inclinarse hacia este valor del 1% sobre el total de afectados, que es el que aquí voy a considerar.

Al comparar con los porcentajes de letalidad ‘registrada’ que podemos obtener de los datos publicados cada día en España, por ejemplo, hay que tener muy en cuenta que con seguridad, el número real de infectados en España en cada momento es quizás un orden de magnitud mayor (o incluso más) que el de los registrados, mientras que las muertes se registrarán todas o al menos la mayor parte (pues algunas pueden haberse atribuido a otras causas). Por ello la letalidad ‘registrada’ (que hace una semana se cifraba en España en un 7%) está muy probablemente sobreestimada en quizás un orden de magnitud con respecto a la ‘real’, que es la importante.

Antes de seguir, conviene insistir en que las gráficas anteriores representan la evolución ‘espontánea’, en donde no hay intervención de ningún tipo: la versión eugenésica del ‘laissez faire, laissez passer’ económico. Los enfermos bien superan la infección o bien mueren sin atención; la gente sigue teniendo los mismos contactos interpersonales, no hay especiales medidas de higiene ni de distanciamiento/confinamiento, etc. Cabe poca duda que por ejemplo esas serían las condiciones en las que se desarrolló la Peste Negra, que a mediados del S. XIV asoló Europa, desplazándose a lo largo de varios años hasta cubrir a todo el continente, cuya población quedó al final reducida de manera sustancial (según algunas estimaciones, a entre la mitad y una tercera parte).

En presencia de medidas básicas de atención sanitaria, en las que por ejemplo los infectados quedan aislados en cuanto se detectan etc., el ritmo efectivo de contagios debiera ser más bajo que el dado por R0. En el modelo esa presencia de atención sanitaria básica se puede simular tomando un R0 un poco menor que el ‘desnudo’, lo que dará cuenta de la reducción del índice reproductivo causado por el confinamiento de los infectados detectados. Si pensamos que el R0 del CoVid19 está entre 2.2 y 2.4, como sugieren varios análisis actuales, podemos tomar en cuenta esos efectos modelando con R0=2, que es lo que vamos a hacer a continuación. Cualitativamente, y como ya hemos visto en la gráfica con R0=1.7, disminuir R0 conduce a una evolución semejante, con un pico más bajo aunque más extendida en el tiempo.

Ahora viene lo esencial. Voy a dar algunos valores estimados, de los que solo importa el orden de magnitud. Pongamos una ciudad como Madrid, con 5 millones de habitantes. Supongamos que R0 vale 2 y que no se actúa de ningún modo, de manera que al llegar a la ‘semana’ 18 en el pico de la epidemia estarían infectados 750000 habitantes. De ellos pongamos que 375000 serán asintomáticos, otros 375000 tendrán algunos síntomas (ignoramos también la proporción de asintomáticos, que algún estudio reciente sugiere que es mayor del 50% de los infectados). De todos los que tengan síntomas, pongamos que solo un porcentaje del 3 por 100 (estimación posiblemente muy optimista) requieran asistencia hospitalaria intensiva. En esa semana del pico de la epidemia esa atención la requerirán más de 11000 pacientes. ¿Hay disponible el correspondiente número de camas de UCI, respiradores, material clínico y de protección para el personal sanitario, etc. para atender esas necesidades? Necesidades que son incluso mayores, ya que según vamos sabiendo, un paciente grave puede requerir de entre dos y tres semanas de estancia en la UCI. Y esto, claro, debería ser compatible con el mantenimiento de las camas y recursos necesarios para el nivel mínimo de la actividad ‘normal’ de los hospitales atendiendo a los pacientes con otras patologías, accidentados, etc.

Está claro que lo crucial en el párrafo anterior no es que los porcentajes y los valores de los números sean los dados u otros algo o incluso bastante diferentes: lo importante es su orden de magnitud, que apunta claramente al problema real: hay un límite ‘de saturación’ que es la capacidad máxima del sistema de salud hospitalaria para atender a los infectados graves por la epidemia. Si la evolución de la epidemia conduce a que el número de infectados que requiere esa atención es sustancialmente mayor que ese límite, el sistema no podrá prestarla. Y eso tendrá como consecuencia colateral que la letalidad de la epidemia va a aumentar, pues habrá enfermos que podrían haberse recuperado si hubieran podido ser atendidos pero que no van a poder serlo.

En la gráfica siguiente, que corresponde a las evoluciones con R0=3, 2, 1.7, la línea horizontal pretende describir esa capacidad de saturación del sistema.

La línea horizontal está colocada en la fracción 3% de la población de manera completamente convencional, suponiendo que el sistema de UCI puede atender simultáneamente a una fracción, digamos del 3% de ese nivel de población; lo importante no es tanto dónde esté colocada sino su presencia, que solo pretende recordar que si el crecimiento de la epidemia supera una cierta línea, el sistema sanitario estará sobrepasado por valores inmanejablemente grandes de pacientes que necesitan atención, mientras que si la propagación es más lenta y tiene mayor duración, esta sobrecarga será menor o en el mejor de los casos simplemente no llegará a aparecer.

Insisto en que en la realidad del sistema hospitalario esta capacidad tiene un límite determinado, que es el que las necesidades anteriores del sistema (cuando no se había pensado en la posibilidad de una epidemia de este tipo) o los avatares políticos del gobierno autonómico de turno han determinado como suficiente, lo fuera realmente o no. Lo importante es que para cada ciudad, región, etc. el límite existe. Y si la fracción de infectados en una determinada semana es el 15% de la población, una eventualidad para la que el sistema hospitalario desde luego no esta preparado, no se podrá prestar la atención debida a aquella fracción de infectados que necesiten cuidados intensivos.

Esto nos lleva al leit motiv escuchado durante los últimos días: ‘aplanar la curva‘, ‘frenar la curva‘, …. Es evidente que hacerlo no solo es necesario, es de hecho imprescindible. La pregunta es: ¿Cómo?

Insisto en que a partir de aquí me limito a traducir ciegamente lo que dice el modelo dinámico, y ese es el único valor que debe atribuirse a las predicciones. No tengo ninguna competencia en  aspectos epidemiológicos que con seguridad estoy ignorando y que serán determinantes en algunos detalles. Y además, hay muchas otras cosas que al parecer nadie sabe, y otras que ahora tampoco podemos saber.

Por ejemplo, si a corto plazo el virus pierde virulencia, las predicciones se verán como alarmistas y pasarán a formar parte del arsenal de demagogos varios (como de hecho ocurrió en su momento cuando se compraron millones de vacunas para la gripe A de 2008, que no se llegaron a utilizar porque el virus se atenuó).

Si la fracción de población que ya ha pasado la enfermedad y es ya inmune es mayor que la que predice el modelo, la evolución posterior será mucho menos intensa y bastante más suave. Insisto, no considero aquí ninguno de estos escenarios, y en general, el presentado es el menos optimista de todos, excepto por una improbable mutación del virus con aumento importante de la letalidad.

8. ‘Aplanar’ la curva

Si pudiéramos cambiar el R0 ‘desnudo’ a nuestra voluntad, la cosa sería muy fácil. Pero el R0 ‘desnudo’ tiene el valor que tiene. Rastrear y aislar rígidamente a los pacientes iniciales es una muy buena estrategia inicial o cuando la epidemia no está aun muy extendida pero más tarde no es suficientemente eficiente (o requiere una organización que nosotros no tenemos), y a partir de un momento de crecimiento del número de infectados, ni siquiera resulta ser posible (esa es nuestra situación ahora). Quizás en una segunda ola, que posiblemente llegará, sea la estrategia óptima si se implementa desde el principio y disponemos entonces de los recursos (tests rápidos, etc). Ahora hay que buscar otros métodos.

Partimos pues de una situación, la que exist(ía) en el momento de decidir tomar alguna medida de intervención, que esta(ba) dada y que no se puede modificar. Suponemos que en esa situación en la que arrancan las medidas no se ha llegado aún al límite que llevaría a la saturación del sistema sanitario. El reto es diseñar una intervención que permita, partiendo de esa situación, mantener la evolución futura lo más baja posible y, óptimamente, mantenerla por debajo del límite de saturación.

La estrategia de control que Yorke proponía y cuyos resultados analizaba en su charla mediante simulaciones consiste en una intervención de aislamiento o distanciamiento social, durante 4 o más semanas, que redujera el ritmo de contactos interpersonales al 50% de su valor anterior. Los resultados descritos en las transparencias de su charla me parecieron llamativos, sobre todo porque los comportamientos de la evolución de la epidemia no son precisamente intuitivos hasta que se ha entendido quien es el protagonista principal que dicta los grandes rasgos de esa evolución.

Esos resultados dependen mucho de cuando se haga temporalmente la intervención: una intervención temprana apenas tiene efecto sobre la intensidad del pico de la epidemia ni sobre su duración, pero lo retrasa temporalmente, mientras que efectuada la intervención de la misma duración más tarde lo que se consigue es que el pico subsiguiente disminuya sustancialmente la altura que podría haber tenido y se extienda temporalmente, o que se consiga una desaceleración importante o incluso una disminución a corto plazo del número de infectados. Pero una estrategia de ese tipo también puede conducir a que aparentemente se consiga reducir la epidemia casi a cero, sólo para asistir un cierto tiempo después a un rebrote importante.

Antes de pasar a describir estos efectos, conviene preguntarse ¿cual es el beneficio de este tipo de intervenciones? Hay dos importantes. El más directo, es que se puede disminuir la sobrecarga en el sistema de salud al reducir el número de infectados cada semana (en general, al precio de que la duración temporal de la fase en la que la epidemia sea intensa se incremente). Otro no menos importante es que se puede conseguir tiempo, algo muy necesario. Ya que nuestro nivel colectivo de preparación ante un enemigo que deberíamos haber previsto ha sido manifiestamente mejorable (pues avisos, aunque no hayamos hecho caso, los ha habido; ver por ejemplo este artículo de 2018 que cualquiera diría que fue escrito tras apearse del DeLorean). O más entre nosotros, éste artículo, escrito el 8 de Marzo.

Las gráficas que siguen deben verse sobre todo cualitativamente, y el objetivo es explorar las consecuencias previsibles de diferentes estrategias de control mediante medidas de distanciamiento social, que se modelan como una reducción del valor efectivo de R0 en los periodos y con las intensidades en que se aplican.

9. ¿Como modelar esa estrategia de control?

Donde sí se puede actuar es sobre el número de contactos interpersonales que potencialmente podrían ser infectantes. Esto requiere una intervención exterior que lleve a la población a la convicción de que ese esfuerzo es necesario, complementándola con medidas sobre los irresponsables que la ignoren, sintiéndose en ‘su derecho’ de hacerlo al verla como una imposición injustificada (‘quien es Vd. para decirme a mí lo que tengo que hacer‘).

¿Cómo modelar que durante cierto tiempo se consiga reducir el número de contactos interpersonales de una manera importante? Pues como una reducción en el índice R0 durante un cierto intervalo temporal. Esta idea tiene bastante de ‘huevo de Colón‘. Lo que no es tan evidente es hasta qué punto y en que circunstancias esa medida será más o menos efectiva y cuales serán sus efectos precisos. Esto es lo que estudia en su charla Jim Yorke, y es lo que quiero explorar a partir de ahora.

Supongamos, que durante cierto tiempo (dos, tres, cuatro, … ‘semanas’) conseguimos reducir el R0 efectivo a una cierta fracción (el 0.75 = 75%, la mitad, ….) del valor ‘desnudo’. Iremos explorando los resultados que producen las diferentes variantes de esta estrategia, probando con intervenciones más o menos largas, hechas en diferentes fases de la evolución de la epidemia, y suponiendo que se consigan diferentes reducciones del valor ‘desnudo’. Disponer de un modelo matemático implementado en un sistema de cálculo simbólico y gráfico nos permite ver los resultados en cada caso sin más que cambiar los datos iniciales y dejar al ordenador completar su tarea y construir la gráfica para nosotros. Que, insisto, solo hay que tomar cualitativamente y a muy gran escala.

De lo que se trata con ese ejercicio es de formarse una intuición correcta sobre las características, a veces un poco anti-intuitivas, de la evolución que se esconde en un sistema dinámico incluso tan sencillo como el modelo que aquí estoy describiendo, que permita ‘entenderlo’ y por tanto actuar sobre él de una manera eficiente.

Como siempre, el diablo está en los detalles: no sabemos cual es el valor del R0 ‘desnudo’, tampoco sabemos realmente en qué lugar de la curva estamos realmente pues no sabemos en que ‘semana’ estamos, ni tampoco tenemos la información completa sobre el número actual de infectados (que sin ninguna duda será sustancialmente mayor que el de los registrados, incluso hasta un orden de magnitud mayor).

Y tampoco sabemos si el virus va a mutar a menor virulencia. O a mayor.

Lo único que podemos hacer es probar diferentes estrategias que consigan reducir los valores de los picos de la fracción de infectados y aprender distinguir los efectos causados, las actuaciones más y menos eficientes o las que por uno u otro motivo puedan ser aconsejables o convenientes.

El problema de intentar implementar socialmente esas medidas, o de elegir, en plan alternativa del diablo, el compromiso necesario entre el daño en enfermedad/muerte versus los daños de otros tipos (sociales y económico entre ellos) causados por el confinamiento es mucho más difícil, y desde luego yo tengo claro que, como el autor del post enlazado, no quisiera tener que estar en el papel de los responsables de adoptar tales decisiones.

10. Intervenir muy pronto o menos pronto

Todas las simulaciones que siguen están hechas con R0=2.

La primera simulación se refiere a los efectos de hacer una intervención, con la misma ‘intensidad’ (reducción de contactos sociales a la mitad) y la misma duración (4 ‘semanas’) , pero comenzándola en diferentes etapas, desde la ‘semana 10’ en la que la fracción de infectados comenzaba su ‘despegue’, hasta la ‘semana’ 14, cuando la extensión de la epidemia habrá sobrepasado la capacidad de respuesta hospitalaria.

Los efectos de estas intervenciones comienzan a verse una ‘semana’ después de su aplicación; que sea una ‘semana’ es simplemente consecuencia de la simplicidad del modelo, y refleja que realmente debemos esperar un cierto retraso entre el inicio de las medidas y los primeros resultados.

La predicción del modelo es curiosa, y probablemente inesperada. Si la intervención se hace muy al principio (curva roja), se contiene el crecimiento durante cuatro semanas, pero luego rebrota casi tanto como lo habría hecho sin intervención, alcanzando un pico de altura comparable, pero, eso sí, retrasado cuatro semanas.

Si, en vez de iniciar la intervención la semana 10 lo hacemos las semanas sucesivas, la gráfica muestra que el efecto es una reducción inicial durante las cuatro semanas que siguen, y luego un rebrote importante, pero algo menos intenso, retrasado temporalmente con respecto al que habría habido sin intervención.

¿Ha servido tal intervención de algo? Está claro que sí: al posponer el crecimiento permite disponer de más tiempo de preparación, con el crecimiento ‘congelado’. Pero tampoco hay que engañarse: es verdad que en la ‘semana’ siguiente al inicio de la intervención  se ha llegado a un pequeño pico tras el cual hay un cierto descenso. Pero también es verdad que la epidemia no se ha controlado y volverá a crecer una vez pasadas las cuatro semanas.

Aquí el mensaje es: una intervención de distanciamiento social

  • aplicada demasiado pronto esencialmente solo (lo que no es poco) sirve para diferir el pico principal, que llegará más tarde y casi con la misma intensidad.
  • hecha demasiado tarde, el pico subsiguiente será menos intenso, pero seguramente antes de la intervención se habría llegado ya a la saturación del sistema de salud, representada de manera esquemática en los gráficos por la linea horizontal punteada, lo que a su vez habría disparado la letalidad muy por encima de su valor de referencia.

11. Intervenir con poca intensidad o con mucha

La segunda simulación presenta la evolución tras una intervención de distanciamiento social que comience en la ‘semana’ 12 y se mantenga durante cuatro semanas. Para facilitar la lectura, presento los resultados en dos gráficas.

En la primera se toma una intensidad moderada de las medidas de distanciamiento, desde relativamente relajada hasta medianamente estricta: esto corresponde en el modelo a suponer que el ritmo de contactos sociales se reducen en un 20%, 30%, 40%, 45% y 50% (dicho en términos equivalentes, subsisten inalterados el 80%, 70%, 60%, 55% y 50% de esos contactos).

De nuevo la predicción del modelo es curiosa y probablemente no es la que nuestro ‘sentido común’ nos dicta (como ocurre en casi todos los asuntos no lineales, nuestro sentido común tiende a ser muy pobre en tales asuntos). En todos los casos, sigue habiendo un pico principal, un poco más bajo que el que habría ocurrido de no hacer nada, con una altura (en torno al 12%)  que es prácticamente independiente de la intensidad del distanciamiento pero que ocurre diferido en el tiempo por un intervalo que, este sí, va siendo mayor conforme la intensidad del distanciamiento ha sido mayor.

Esto se ve mucho mejor en la segunda gráfica, que corresponde a una intensidad fuerte de tales medidas, desde medianamente estricta hasta casi total: esto corresponde en el modelo a suponer que el ritmo de contactos sociales se reducen en un 50%, 60%, 70%, 80% y 90% (dicho en términos equivalentes, subsisten inalterados el 50%, 40%, 30%, 20% y 10% de esos contactos). De nuevo, en todos los casos sigue habiendo un pico principal, algo más bajo que el que habría ocurrido de no hacer nada, con una altura (entre el 12% y el 13%) que es prácticamente independiente de la intensidad del distanciamiento pero que ocurre diferido en el tiempo por un intervalo temporal que aumenta muy rápidamente según la intensidad del distanciamiento se va acercando a ser total.

En concreto, el caso de que los contactos se redujeran al 10% de su valor ordinario, (en verde en la gráfica), la epidemia prácticamente se ha extinguido en la semana 16, y se mantiene, aparentemente extinguida, hasta la semana 23. Pero realmente no estaba extinguida; los muy pocos infectados que subsistieron al final de la fase de distanciamiento alimentaron un crecimiento subterráneo, que en la semana 24 ‘despega’ de nuevo en lo que es otra oleada de la epidemia, con intensidad y patrón de evolución parecido al que habría tenido inicialmente. Y este repunte ocurre en todos los casos con medidas de distanciamiento de intensidad fuerte, retrasado, eso sí, tanto más cuanto más intensa ha sido el distanciamiento.

Sería en un escenario como ese, y en el intervalo en que la epidemia parece extinguida,  en el que habría que aplicar medidas selectivas pero extensivas de contención para cortar los nuevos brotes en sus inicios.

12. ¿Qué nos dice este modelo simple sobre la evolución previsible tras 2 + 2 semanas de distanciamiento?

He querido insistir en que no deben entenderse ninguna de las gráficas que presento como predicciones: hay demasiadas incertidumbres para siquiera tratar de ajustar los datos de que disponemos (que además posiblemente no nos permiten tener una imagen cercana a la real). Solo he pretendido ilustrar las tendencias. En esta misma línea, y con considerable trepidación, incluyo una modelización, que a lo sumo debe tomarse como cualitativa, del efecto que pueden estar teniendo las actuales medidas, que han consistido en un confinamiento inicial de dos semanas, ya transcurrido, y otro algo más intenso, de otras dos y que acabará el próximo día 11 [y actualmente prorrogado por otras dos semanas].

Tomando valores orientativos de los factores de reducción en el R0 que esas dos fases pueden lograr, resulta el patrón de evolución que vemos en la gráfica (recuérdese que la unidad de tiempo en esta gráfica, la ‘semana’ solo es una semana real en cuanto a su orden de magnitud)

Hay bastantes caveats sobre este gráfico.

En primer lugar, el uso de variantes un poco más complicadas (y presumiblemente mejores) del modelo SIR, como el SEIR, que solo es ligeramente más complicado, tiende a dar previsiones algo más optimistas que el modelo SIR (ver por ejemplo aquí).

Por otro lado, hay varias estimaciones recientes, que parecen sólidas, —usan diferentes razonamientos pero en gran medida convergen en los resultados—, de que en la actualidad el número de infectados que han superado la enfermedad es al menos un orden de magnitud, quizás más, de las estimaciones oficiales. Naturalmente esto es otra noticia en la buena dirección: el efecto de que la población susceptible sea ahora mismo menor de la que predicen los modelos significa una evolución posterior con crecimiento más lento.

Pero pese a esas expectativas optimistas, es difícil sustraerse a la conclusión de que, aunque hayamos pasado o estemos cerca de hacerlo, por un pico (local) en la evolución, en una fase que se podría calificar de ‘meseta’ y que se ve claramente en la gráfica, el pico principal sigue amenazante en el futuro. Quizás sean necesarias medidas adicionales, después de todo.

13. Medidas adicionales, ¿de qué tipo?

El modelo permite diseñar una posibilidad que consigue evitar por completo el temible ‘pico principal’ futuro pero tiene un alto precio en medidas de distanciamiento: consiste en cuatro intervenciones de confinamientos de diferentes intensidades y de 2, 4, 3 y 2 semanas de duración, separadas las dos últimas por 1 semana de ‘descanso’. Esa intervención, quizás complicada de llevar a la práctica, conseguiría al final de esas etapas reducir por debajo del 50% la fracción de población susceptible, y en consecuencia a partir de entonces la epidemia a gran escala se extinguiría de manera espontánea. Todo eso en cosa de medio año, durante el cual se mantendría un nivel de infectados que, idealmente sería compatible con evitar la saturación del sistema.


En la gráfica de la evolución de la fracción de susceptibles se ve que se llega al 50% en la ‘semana’ 30, que es el valor que garantiza la extinción progresiva de la epidemia.

Nótese que de momento, el confinamiento en España ha sido de dos semanas y de otras cuatro más estrictas; el indudable efecto positivo de esta actuación queda claro (cualitativamente) en la gráfica, y coincide con lo que, de momento, vamos viendo en la evolución real.

14. Conclusiones

No es buena idea que nos hagamos trampas en este juego, juzgando solamente por la evolución favorable a corto plazo de algunas variables. El contexto que manda es, aquí, la fracción de la población que sigue siendo susceptible de ser infectada. Salvo cambios en la virulencia del CoVid19, imprevisibles y sobre los que no tenemos desde luego ningún control, esa es la cantidad más relevante que determina la evolución posterior de la epidemia. Y estaría bien que supiéramos de manera más fiable cual es su valor.

Supuesta controlada la epidemia a cierto corto plazo, ¿debemos preocuparnos por la posible existencia de rebrotes de la epidemia? Los patrones de las gráficas mostradas indican que probablemente sí.

De hecho, en un modelo a tan gran escala como el presentado ésto no se ve, pero hay que decir que la dinámica a pequeña escala es muy diferente: cada infectado que infecta a otros no lo hace precisamente a R0 sanos (ver esa dinámica muy bien explicada aquí) y tras ese análisis se comprende porqué la detección precoz y aislamiento selectivo mientras no se ha extendido la epidemia tiene una eficacia mucho mayor que la del confinamiento colectivo e indiscriminado. Pero los modelos dicen claramente que esa estrategia, que ha tenido éxito en Corea del Sur y en Singapur por ejemplo, no previene sin embargo de un rebrote, pues la fracción de susceptibles aun sigue siendo allí demasiado alta; al parecer en Hong-Kong y en Singapur ya se está dando ese rebrote.

Lo que implica que tendrá que haber cambios (deberá haberlos!), que deberán integrar el aprendizaje anterior, el previsible mejor equipamiento de que entonces se pueda disponer y a las mejores capacidades de detección temprana de casos mediante tests. Por no hablar de algo más abstracto pero tan esencial como lo anterior: datos. Es necesario, imprescindible, que todos los datos disponibles sean públicos, de buena calidad, desagregados, etc., pues solo ellos nos pueden orientar debidamente hacia las mejores estrategias en cada momento, en una situación tan cambiante.

Todos estos cambios previsiblemente contribuirán a que la evolución futura sea algo o con suerte bastante mejor que la que predicen los modelos que he descrito. Que aunque no proceda tomarlos demasiado literalmente quizás de momento sí que deberíamos prestarles la debida atención.

Como nos dice claramente Adolfo García Sastre, virólogo español que trabaja en Nueva York,

«Yo creo que habrá dos olas, puede que tres, pero en un año a partir de ahora, aunque no haya vacuna, se habrá infectado un 40% o 50% de la población mundial, lo que ya dará lugar a que el virus frene su propagación. […] Estará solucionada dentro de un año, más o menos, incluso sin vacuna. […] Cuando empiece a bajar el número de contagios es importante no cantar victoria […]. Habrá que volver a la vida normal poco a poco y estar preparados para aislar a la gente de nuevo si es necesario.»

Las medidas actuales van claramente en la buena (y de hecho, casi única) dirección, con las dificultades que, no hay que olvidar, son comunes al resto del mundo. Pero no hay que olvidar que si el ritmo de contagios se ralentiza, o si el crecimiento del número de infectados cambia de signo ahora, esto  no asegura, ni mucho menos, que eso vaya a ser así en el futuro, ni en el inmediato ni en el próximo.

Cosas de la dinámica no lineal, que por lo que vemos debiera formar parte de la cultura básica de la población, y parte imprescindible en la de nuestros políticos o de sus asesores.

Pero, pensando en el futuro, quizás debiéramos preguntarnos si no sería mejor que nuestros políticos y nuestra población tuvieran cierta formación básica necesaria en tales asuntos. En su libro sobre Teoría de Catástrofes, Vladimir I. Arnol’d, uno de los matemáticos más destacados del S. XX, dice

Control without feedback always leads to catastrophes: it is important that persons
and organizations making responsible decisions should personally and materially
depend on the consequences of these decisions.

¿No deberíamos procurar que eso sea así cuando este episodio haya pasado, en vez de aceptar la situación anómala que consiste en que el mero paso del tiempo difumina cualquier responsabilidad?  Me gustaría pensar que eso va a ser así y que seamos capaces colectivamente de aprovechar esta oportunidad para cambiar algunas cosas que pueden y deben cambiarse.

Aunque no sé si eso es ser demasiado . . ingenuo. Pero, por mí que no quede.



Por Colaborador Invitado, publicado el 6 abril, 2020
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