Las matemáticas son como tu amiga la nazi de la gramática

Por Alfonso Araujo, el 14 agosto, 2020. Categoría(s): Matemáticas

Para Elissa, Doña L y Óscar

Aprender a escribir un idioma, es aprender cómo funciona.

— Marcus Kracht

 

“Dos y dos son cuatro.”

Esta frase la podemos decir en lenguaje natural —en este caso, español— y entenderla sin mayores problemas. Sin embargo, los lenguajes naturales tienen una característica que para la poesía o para el humor es maravilla, pero para las matemáticas es pesadilla: son extraordinariamente polivalentes.

En términos técnicos, un lenguaje natural es contextual, lo que lo hace muy difícil de traducir a un lenguaje artificial creado expresamente para que no existan ambigüedades. En la frase “dos y dos son cuatro” entendemos que la partícula “y” es sumar; pero eso no quiere decir que siempre sea así. Por ejemplo, si decimos:

A José y María les gusta el queso.

El conector “y” no toma a José y a María y da un resultado nuevo, como sí lo hace en la frase anterior. Así, la primera se expresa matemáticamente como

2 + 2 = 4

pero la segunda de ninguna manera es “José + María” en el mismo sentido.

Las matemáticas son un lenguaje simbólico y sin ambigüedades, y están hechas como dijo Gottlob Frege, “para expresar de forma inequívoca el pensamiento.” Claro, acotando que sólo ciertos tipos de pensamientos son considerados.

En general, las matemáticas son como tu amiga la grammar nazi que te corrige las cosas que escribes porque es una obsesiva y quiere que todo esté perfecto. Pero en este caso, tu amiga tiene razón, porque el lenguaje natural tiene un montón de cosas que asumimos y tenemos como generalmente aceptadas, pero que en realidad son ambigüedades formales.

Veamos otro ejemplo. Tenemos estas tres afirmaciones en lenguaje natural:

5 es la raíz cuadrada de 25

5 es menor que 7

5 es un número primo

y las tres son perfectamente entendibles. Pero el problema ahí es lo que sigue después de la palabra “es”, que puede ser una equivalencia, un calificativo o una variedad de cosas más. Si queremos traducir esas tres frases al lenguaje simbólico de las matemáticas, obtenemos tres cosas muy distintas entre sí:

5 = √25

5 < 7

5 ∈ P

De esta forma podemos ver muy claramente cómo el lenguaje simbólico traduce y pone sin ambigüedades las cosas que decimos en lenguaje natural. Veamos un ejemplo más, pero esta vez en el lenguaje de la lógica, que está íntimamente relacionado con las matemáticas. Esta “inferencia lógica” es un chiste bien conocido:

(1) Nada es mejor que la felicidad.

(2) Un pedazo de pan duro es mejor que nada.

(3) Por lo tanto, un pedazo de pan duro es mejor que la felicidad.

Aquí la jocosa conclusión parte de un juego de palabras, que las matemáticas y la lógica aborrecen: la palabra “nada” está siendo usada de dos formas distintas en la premisa (1) y en la premisa (2), lo que nos lleva a una barrabasada.

En lenguaje lógico, la premisa (1) se expresa así:

Para todo elemento x, la felicidad es por lo menos tan bueno como x.

Mientras que la premisa (2) es:

El conjunto {un pedazo de pan duro} es mejor que el conjunto vacío { }.

Son dos premisas que no tienen nada que ver una con la otra y por lo tanto no se puede sacar una conclusión a partir de ellas.

El ejemplo final es también de la lógica y nos demuestra cómo muchas veces el lenguaje natural y la falta de rigor nos puede llevar a cometer errores lógicos. En lógica, trabajamos con “declaraciones”, a las que normalmente les ponemos las letras P y Q, así como en álgebra usamos la x y la y para denotar variables.

Así, podemos decir que la declaración P puede ser cierta o falsa; o que la declaración Q es cierta sólo si P es cierta, y cosas así. Veamos un concepto muy sencillo, que es la negación. La negación se representa con el signo ¬ , que se pronuncia “no”. Así que ¬P (“no P”) es la negación de la declaración P.

Ahora bien, digamos que la declaración P es la siguiente:

“Todos los números del conjunto A, son pares.”

Y ahora nos preguntamos, ¿qué es ¬P? O sea, ¿cómo expresamos la negación de P? Al ver esta pregunta, mucha gente contesta sin reflexionar, que la negación de P es “Todos los números del conjunto A, son impares.”

Pero esto es porque en lenguaje natural, a veces asociamos “negación” con “opuesto”, lo que no es el caso en lógica matemática. Si observamos un poco, lo que tiene que pasar para que P sea falsa, no es que todos sus elementos sean impares: con que sólo uno lo sea, se convierte en falsa. De modo que, en este caso, ¬P o sea la negación de P, se dice:

“Existe por lo menos un elemento en el conjunto A, que es impar.”

Todas estas reglas estrictas se codifican en símbolos: por ejemplo la imagen principal de este artículo son las reglas de la “lógica booleana” de conjuntos, que explican cómo hacer para combinar cosas con lo que en lenguaje natural son conjunciones, disyunciones y negaciones (y, o, no) y un par de cosas más. La lógica proposicional, como por ejemplo esto que acabamos de ver con declaraciones, tiene reglas parecidas, que se simbolizan así:

Claro que un artículo de matemáticas o de lógica matemática no está escrito con pura simbología, sería un martirio infame. De hecho, hay mucho más lenguaje natural, porque quienes lo leen están acostumbrados a alternar entre “niveles de formalismo”, siempre y cuando tengan bien claro el marco de referencia de lo que se está hablando.

De lo que se trata todo esto, más que de poner todas las oraciones posibles en símbolos inequívocos, es de conformar una forma de pensar clara y estructurada. Teniendo todas las herramientas, ya podemos escoger la combinación de ellas para expresar una idea de la mejor manera.

 

Referencias:

Gowers, Timothy. “The Language and Grammar of Mathematics”, en The Princeton Companion to Mathematics. T. Gowers, J. Burrow-Green, I. Leader, (ed.). Princeton University Press, 2008; pp. 8-30.

Kracht, Marcus. The Mathematics of Language. UCLA Department of Linguistics, 2003; pp. 38, 296, 306.

 



Por Alfonso Araujo, publicado el 14 agosto, 2020
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