La optimización y la pandemia

Por Alfonso Araujo, el 2 marzo, 2021. Categoría(s): Actualidad • Curiosidades • Matemáticas
Fuente: Wolfram

Decíamos que las matemáticas son un lenguaje con el cual frecuentemente “traducimos el mundo” a números y sus relaciones, para que se nos haga más fácil resolverlo, de esta forma simplificada.

Pues bien, hay una rama de las matemáticas que se llama Optimización, o bien “programación lineal”, que es relativamente moderna (1939-1947) y que se dedica a hacer este tipo de traducciones y a encontrar formas de resolverlas de la manera más eficiente.

En su origen fue una manera de resolver problemas logísticos de abastecimiento, pero su estudio se ha expandido a muchas áreas en donde tenemos problemas en los que intervienen muchas variables.

 

LAS PARTES DEL PROBLEMA

Un problema de optimización tiene tres partes: “función objetivo”, variables y restricciones. La función objetivo es en esencia qué quieres hacer. Normamente es maximizar o minimizar algo: por ejemplo en un sistema de distribución y venta de productos, el objetivo puede ser maximizar utilidades o minimizar distancias recorridas.

Ahora bien, las variables son todos los factores a considerar dentro de ese sistema: por ejemplo, tu capacidad de producción, las distancias de la fábrica a la tienda, el costo del combustible, el precio de venta, etc.

Finalmente, las restricciones son cosas que no puedes infringir: por ejemplo, puedes modificar el precio de venta, pero no puede ser nunca menor a X.  O bien, no puedes dejar que ningún punto de venta tenga menos que Y inventario.

Veamos un ejemplo para entender de qué va.

 

EL PROBLEMA CLÁSICO

El problema por excelencia es el de distribución, y lo podemos poner en su forma clásica así:

Una empresa tiene X número de fábricas en las que manufactura un solo producto. Desde esas fábricas, envía los productos a Y número de tiendas, donde los vende.

Conocemos 3 variables: las capacidades de producción de cada fábrica, la demanda de cada tienda, y los costos de transporte entre cada par fábrica-tienda.

Las restricciones son que (1) no podemos exceder las capacidades de producción, y (2) debemos satisfacer la demanda de todas las tiendas.

La función objetivo es: minimizar los gastos de transporte.

Con todos esos datos, hacemos un sistema de ecuaciones que podemos resolver con una interesante variedad de métodos, que incluyen matrices, geometría y más.

La respuesta al problema anterior sería algo como:

“la fábrica 1 produce A, la fábrica 2 produce B, la fábrica 3 produce C, y el costo total de transporte es N, que es el mínimo posible.”

 

PROBLEMAS COMPLEJOS

El problema clásico es relativamente sencillo, pero el mundo real tiene muchas más variables y restricciones. Por ejemplo: podemos encontrar el costo mínimo de transporte, pero tenemos una restricción de producciones mínimas en cada fábrica, que nos hace recalcular. O bien puede ser que la producción sea más o menos contaminante en cada fábrica, y que no podamos excedernos de cierta cantidad global de contaminantes. Todas estas restricciones van haciendo más complejo el problema y alejándonos de la solución óptima más simple.

Ahora bien: hay variables y restricciones que debemos tomar en cuenta pero que no podemos cuantificar de la misma forma que el volumen de almacenamiento de una bodega.

Un problema clásico de este tipo de situación es el de “El Jeque y sus esposas”:

Un jeque debe viajar a otro país, donde se hará una fiesta en su honor. El jeque tiene 10 esposas y un avión privado con espacio limitado, y debe decidir quién lo acompaña.

Las variables que conocemos son: el mínimo equipaje que ocupa cada persona, cuánto aprecia a cada esposa, y qué tanto se enojará cada esposa si no es elegida.

Las restricciones son que: no se puede exceder la capacidad del avión, y debe viajar por lo menos él y su esposa principal.

La función objetivo es: minimizar el estrés del jeque.

Este curioso problema incluye variables objetivamente cuantificables (la capacidad de carga del avión y el equipaje requerido por cada persona) así como variables que deben ser ponderadas de manera subjetiva y que necesariamente requieren del conocimiento de un experto para asignarles dicho valor: en este caso, el jeque.

Resolver matemáticamente el problema es sencillo; lo complejo es modelarlo de modo que refleje de la manera más aproximada la situación real.

 

EPIDEMIOLOGÍA Y POLÍTICA

La epidemiología y, en nuestros días, el control de una pandemia, es un ejemplo de un problema altamente complejo que involucra muchísimas variables, tanto cuantificables como subjetivas, y con restricciones que pueden ser muy delicadas de modelar.

Por un lado están las variables más fáciles de cuantificar, que son los recursos con los que contamos: cuántos hospitales tenemos, con cuántas camas disponibles y con qué cantidad de personal médico. También podemos contar el dinero disponible para hacer frente a la crisis.

Luego están las variables propias del agente infeccioso y de la enfermedad que causa, y que son más difíciles porque vamos obteniendo datos a medida que avanza la crisis: qué tan rápido se transmite, qué tantas personas desarrollan síntomas graves, cuál es su tiempo de incubación, etc.

Pero además tenemos otros muchos factores extraordinariemente difíciles de medir y que al principio sólo podemos estimar y asignarles ponderaciones: cuál sería el impacto económico de cerrar actividades, cuál sería el nivel de descontento social, cuál el costo político en caso de fallar, y un largo etcétera.

Este problema, si bien es modelable como un caso de optimización, no puede ser resuelto por un matemático: las decisiones finales las toman líderes políticos.

 

¿QUÉ HACER?

Un problema como el de distribución de productos es sencillo de modelar, pero dará diferentes resultados dependiendo de nuestra función objetivo. En el caso mencionado el objetivo era minimizar el costo de transporte, pero otras metas igualmente válidas pueden ser maximizar utilidades, nunca quedarse sin reservas, o minimizar la contaminación generada.

Una pandemia es, junto con una guerra, uno de los mayores retos que puede afrontar un líder. La cantidad de variables y restricciones, cuantificables y no, es simplemente formidable.

Pero la función objetivo tiene que ser necesiarianente minimizar el número de muertes.

A un año de empezada la crisis de Covid-19, es claro que esa no fue la definición tomada en muchos lugares.