Ya he dicho antes que las matemáticas son un lenguaje que usamos para traducir el mundo. Esto es, que las usamos para expresar de forma simple y sin ambiguedades un problema, y una vez así expresado lo podemos resolver porque seguimos las reglas (la “gramática”) de forma precisa.

Cuando tenemos una situación como:

Vemos que en ese relato hay un montón de información pero, para efectos de la pregunta, prácticamente todos esos datos de colores de ropa, horas, áreas de jardines y volumen de su delantal son completamente inútiles. Lo que nos interesa es sólo cuántas manzanas tomó y con cuántas llegó, para poder hacer nuestra expresión algebraica:

5 – x  = 2

Una vez puesta en lenguaje matemático, seguimos las reglas de este lenguaje para resolver la expresión, que en este caso es un despeje sencillo de la incógnita x.

 

La importancia de seguir los pasos

Claro que para un problema tan simple a nadie se le ocurriría de hecho seguir los pasos formales, pues a simple vista se puede ver que la respuesta es 3. Pero esto no es lo importante cuando estudiamos matemáticas: lo importante es saber la gramática, de la misma forma que al hablar en lenguaje natural sabemos cómo se conjuga correctamente un verbo.

Hace unos días compartí en Twitter un problema también sencillo:

Mucha gente lo resolvió, de nuevo, sin formalizar el problema en lenguaje algebraico, que es así:

8x + 5y = 14

  y = 4x

 

Algunas personas simplemente hicieron las sustituciones y operaciones de forma mental. Esto no está mal, pero el punto es que estos problemas son una forma de enseñarnos a estructurar las cosas. Lo que nos lleva a…

 

La importancia de traducir

Hay veces que tenemos que poner mucha atención para poder hacer correctamente la traducción. Enoch Castañeda me compartió en ese mismo hilo, un bello y divertido problema clásico:

Wow.

La verdad es que así a la primera, es todo un galimatías. Hay que leerlo bien un par de veces para entender exactamente las relaciones, y ser cuidadoso al traducirlo al lenguaje matemático.

Hay varias formas de hacer esta traducción: le voy a poner aquí la más detallada, aunque si usted quiere ir directo a resolver el problema por su parte, con toda confianza. La respuesta al final del artículo.

 

Pasito a pasito: visualizar y entender

La traducción que usaremos tiene dos incógnitas:

• X – la edad de la persona mayor (la que hace la pregunta)
• Y – la edad de la persona menor

Además, vamos a definir el término (X-Y) como la diferencia de edades entre ambos, porque esa diferencia se usa tanto hacia el pasado como hacia el futuro.

OK, ya tenemos definidas nuestras incógnitas. Ahora vamos a expresar las relaciones que hay entre ellas. Pero primero vamos a agrupar las palabras para que no se nos revuelvan:

Muy bien, ya un poco mejor. Las expresiones que están entre corchetes representan un solo número: vamos a traducirlas a expresiones algebraicas, y hagámoslo con cuidado:

Primero vamos a asignar números para que lo podamos visualizar mejor y tengamos claras las relaciones:

• Supongamos que X tiene 40 años y que Y tiene 30.
• La diferencia de edades es de 10 años: (X-Y)

Cuando X dice que tiene el doble de “la edad que tú tenías cuando yo tenía la que tú tienes” está diciendo que cuando X tenía 30, tenía el doble de la de Y.

Y cuando dice “cuando tú tengas la que yo tengo”, es cuando Y tenga 40.

Esto es, está hablando de 10 años en el pasado, y 10 años en el futuro. Esos 10 años es la diferencia de edades entre ambos.

Si hacemos una tabla de Presente, Pasado y Futuro:

Vemos que por casualidad, sí se cumple la primera sentencia: X que hoy tiene 40, es el doble de 20, la edad de Y hace 10 años. Pero no se cumple la segunda: dentro de 10 años tendrán 50 y 40, que sumados no dan 63.

 

Ahora sí: ¡hacer ecuaciones!

Todo lo anterior puede parecer excesivo, pero dada la curiosa redacción del problema, nos ha servido para visualizar y entender perfectamente lo que se nos pide. Podemos empezar a olvidarnos de “la edad que tú tenías cuando yo tenía la que tú tenías” y pasar ya a hacer representaciones con las tres cosas que tenemos: X, Y y la diferencia (X-Y). Si tiene alguna duda, simplemente sustituya los números de la tabla para que compruebe que en efecto las ecuaciones con ciertas:

Ecuación I

[la que tú tenías cuando yo tenía la que tú tienes] es esto:

Y – (X – Y)

O sea, la edad de Y hace 10 años. Y para hacerlo más claro, eliminamos el paréntesis y lo escribimos mejor como:

2Y – X

Y si X dice que hoy mismo su edad es el doble de eso, quiere decir que:

X = 2 (2Y – X)

Si desarrollamos la expresión, obtenemos que:

X = 4Y – 2X

  4Y – 3X = 0

¡Bien! Esta expresión es la primera parte del problema, la del pasado. Ahora pasemos a la segunda parte, la que indica lo que pasará en el futuro:

 

Ecuación 2

Lo que dice X es que dentro de 10 años, o sea sumando (X – Y)  a las edades actuales de ambos, la suma de las edades será 63. Lo voy a poner con todo el detalle y luego a simplificar:

 

[ X + (X – Y) ]  + [ Y + (X – Y) ] = 63

[ 2X – Y) ]  + [ X  ] = 63

3X – Y = 63

¡Ta-táaan! ¡Éxito! Tenemos nuestro problema, completamente traducido a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas :

4Y – 3X = 0

3X – Y = 63

y no sólo eso, en una tenemos un (-3X) y en la otra un (3X), lo que nos permite sumar ambas ecuaciones y hacer una eliminación directa, para obtener:

3Y = 63

Resolviendo y sustituyendo, tenemos que las edades son 28 y 21 años.

 

Aquí hay otra forma de resolverlo, pero agregando una tercera incógnita Z, en lugar de nuestro término (X – Y).