Abstracción I: las curvas gordas y las curvas flacas

Por Alfonso Araujo, el 12 agosto, 2021. Categoría(s): Matemáticas
Fuente: nzmaths

Ya saben que esta serie se llama #LasMatematicasSonTusAmigas, y que siempre hablo de ellas como un lenguaje del cual podemos aprender su vocabulario y gramática, igual que con los idiomas naturales.

Esta serie la comencé para alentar a una amiga a perder el miedo. Ella, como mucha gente, le tiene pavor a las matemáticas: ese rechazo que se consolida a partir de la secundaria y que puede durar toda la vida.

A lo largo de estos episodios me ha dicho, junto con otros lectores, que en efecto ha perdido un poco el miedo, y que muchos de los problemas que aquí vemos paso a paso, le son my entendibles. ¡Así que uno de los objetivos ha sido alcanzado! El entender y hasta admirar ese hermoso concepto de las matemáticas, que pueden “traducir” el mundo a ecuaciones y relaciones.

Sin embargo, los problemas que comparto son muy elementales y están presentados más para entender la estructura de un concepto, que para desarrollar pericia. De modo que ella y otras personas, en el momento en que se ponen a buscar más problemas de matemáticas recreativas un poco más avanzadas, o bien a intentar leer algún artículo, se topan de nuevo con esa pared de abstracciones inentendibles.

Pues bien, es que tenemos un problemilla.

 

EL PROBLEMILLA

Los lenguajes naturales son, pues, naturales. Como dije antes, no son sino las estilizaciones que hemos hecho con el tiempo, de nuestros gruñidos cavernícolas para denotar una piedra o unas bayas o un mamut enojado. Esto es, nuestras palabras tienen correspondencia “uno a uno” con el mundo sensible. Incluso cosas que no son sólidas, como la lealtad, la nostalgia o el amor, siguen siendo cosas que experimentamos.

Ahora bien, nuestra escritura tiene sólo un nivel de alejamiento, o abstracción, de esas cosas del mundo. Ya sea que lo hagamos con un pictograma como en el chino, o con una serie de símbolos que representan nuestro gruñido, tanto “狗” (gou) como “perro” son representaciones muy inmediatas de algo que vemos ahí enfrente y que nos ladra y agita la cola al vernos.

Las matemáticas, por otro lado, tienen dos asegunes:

– no están hechas para representar perros, ni colas agitándose, ni amor

– las cosas que representan son abstracciones: ideas, las relaciones entre ellas y los patrones que forman.

Esto es para decir que el lenguaje de las matemáticas primero que nada están hechas para representar cosas no inmediatas. Y además están alejadas de esas cosas, por más de un nivel de abstracción: por eso “no las sentimos naturales.”

 

UN EJEMPLO

Digamos que tenemos estas dos curvas:

En lenguaje natural les podemos llamar “curva flaca” y “curva gorda.” Los nombres técnicos son “parábola” (izq) y “catenaria” (der), pero estas palabras no son realmente matemáticas: lo que queremos en lenguaje matemático es una descripción exacta de todos los puntos que forman esas curvas. O sea, una cosa que nos diga cómo los puntos de la curva se relacionan entre sí.

Una parábola se parece a una catenaria, pero sus descripciones son distintas, porque se forman a partir de patrones diferentes de puntos. Éstas son realmente, en matemáticas, las descripciones de ambas curvas:

Los nombres de parábola y catenaria no son importantes, igual se podrían llamar aracle y abrisco. Lo esencial, la descripción verdaderamente uno a uno de esas curvas, está definido en esas ecuaciones, una de las cuales usa una potencia (x2) y la otra, una cosa que se llama “coseno hiperbólico” (cosh).

 

LA RELACIÓN VERDADERA

De modo que podemos verlo: las matemáticas describen verdaderamente las cosas de las que hablan: las describen a un nivel más fundamental, pero más alejado conceptualmente de la cosa en sí.

De hecho, las palabras “parábola” y “catenaria” son lenguaje natural. Son las palabras con las que describimos inmediatamente a la curva flaca y la curva gorda, y las podemos estudiar con etimología. “Parábola” viene del griego y quiere decir “comparación”; más literalmente “arrojar algo al lado” y describe clásicamente el vuelo de una piedra al ser arrojada. Mientras que “catenaria” viene del latín catena y sí, es la descripción de la curva que hace una cadena suspendida de dos puntos.

Muy bonito e interesante, pero esas palabras cambian del español al alemán al chino: aunque partieron de ciertas observaciones en el mundo sensible, fueron abstraídas en el reino de las matemáticas para representar todas las curvas posibles que pueden ser creadas a partir de las mismas relaciones de puntos: al pasar a las matemáticas, se convirtieron en conceptos ideales.

Las palabras parábola y catenaria, pues, no son fundamentales, mientras que las dos ecuaciones sí describen las curvas de manera esencial y completa: están relacionadas con ellas a nivel íntimo, no meramente linguístico.

 

Siguiente capítulo: el otro problema

¿Quién lo diría? Hablar de cervezas es más fácil que de numeritos

 



Por Alfonso Araujo, publicado el 12 agosto, 2021
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