Traduciendo trabalenguas, parte 2

Por Alfonso Araujo, el 8 noviembre, 2021. Categoría(s): Matemáticas

 

Veamos un problema que suena muy rebuscado en lenguaje natural, pero que en realidad es muy sencillo de resolver si lo traducimos a matemáticas:

Hace 10 años Ana pudo haber tenido el doble de la edad que tenía Luis, si ella hubiera nacido un año antes.

Desde entonces la edad de Luis se ha multiplicado por 3, pero la de ella no se multiplicará por ese mismo número sino hasta dentro de un número de años que es el doble de la actual diferencia de edades.

¿Qué edad tendrá Luis cuando transcurra un número de años equivalente a la edad actual de Ana?

Claro que el problema está redactado de forma deliberadamente confusa, y hay una buena razón para esto: muchos de los problemas que afrontamos son así. Y lo que queremos hacer con este tipo de ejercicios es entrenarnos para decir con calma “OK, a ver, vamos por partes…”

Esto es, lo que queremos es crear una actitud matemática ante cualquier problema. Como ya he dicho antes, no promociono las matemáticas con el ánimo de que todo mundo pueda resolver problemas de topología, sino de crear esta actitud sistemática para acerarse a cualquier tipo de problema.

En muchas ocasiones, la simple traducción de un problema a lenguaje matemático nos da la claridad que no nos da su redacción, y éste es un caso. Vamos a verlo despacio:

Primero que nada, debemos definir qué es lo que buscamos. La pregunta nos pide la edad de Luis en un momento en el futuro, pero en realidad las incógnitas que tenemos son dos: las edades de Ana y Luis. Como ya hemos visto antes, lo primero es asignar letras a nuestras incógnitas, y después vamos encontrando las relaciones entre ellas. Así que tenemos primero:

A – edad actual de Ana

L – edad actual de Luis

Muy bien, esos son los números que no sabemos, y ahora pasemos a las relaciones que sí sabemos, que son relaciones de sumas, restas y multiplicaciones entre A y L. Veamos:

Hace 10 años Ana pudo haber tenido el doble de la edad que tenía Luis, si ella hubiera nacido un año antes.

Tenemos una relación entre A y L, pero no hoy sino hace diez años: así que empecemos por representar ambas edades en ese momento:

(A – 10): la edad de Ana hace 10 años, y

(L – 10): la edad de Luis hace 10 años.

La relación es que (A-10) es casi el doble de (L-10). Ahora bien, si fuera exactamente el doble, diríamos que:

(A-10) = 2 (L-10)

Pero el problema nos dice, que eso sería sólo si Ana hubiera nacido un año antes, o sea si fuera un año mayor. Entonces a la ecuación hay que agregarle ese 1 extra a la edad de Ana, y nos queda:

(A-10) + 1 = 2 (L-10)

Esta ecuación se puede simplificar si quitamos los paréntesis, sumando en el caso de la parte izquierda, y multiplicando en la parte derecha:

A-10 +1 = 2L – 20

A – 9 = 2L – 20

A = 2L – 11

¡Listo! Nuestra primera ecuación es una relación muy simple entre ambas edades: la edad actual de Ana es dos veces la edad actual de Luis, menos 11. Pasemos a lo siguiente:

Desde entonces la edad de Luis se ha multiplicado por 3.

Muy bien, esto es una relación simple entre la edad actual de Luis, que es L, y su edad hace 10 años, que es L – 10:

3 (L -10) = L

¡Qué tenemos aquí, una ecuación con una incógnita, la cosa más fácil que hay! Eso se resuelve en dos patadas:

3L – 30 = L

2L = 30

L = 15

La edad actual de Luis es 15, y si esto lo sustituimos en nuestra primera ecuación, podemos hallar la edad de Ana:

A = 2(15) – 11

A = 30 – 11

A = 19

Esto lo podemos comprobar con lo que sabemos de hace diez años: Ana tenía 9 y Luis 5, y si Ana hubiera nacido un año antes (si tuviera 10) tendría el doble de edad que Luis.

¡Exacto!

Ahora pasamos a la pregunta:

¿Qué edad tendrá Luis cuando transcurra un número de años equivalente a la edad actual de Ana?

Esto es, ¿qué edad tendrá Luis dentro de 19 años? Pues nada más fácil: Luis tendrá 15 + 19, o sea 34 años.

¡Listo!

 

Pero un momento. El problema tenía más información. De hecho, información puesta de una forma muy rebuscada. Esta frase:

la de ella no se multiplicará por ese mismo número sino hasta dentro de un número de años que es el doble de la actual diferencia de edades.

¡Y no la hemos tomado en cuenta!

Pues bien, así pasa en los problemas con los que seguido nos topamos: tenemos un montón de información, alguna de ella muy compleja y más difícil de interpretar, pero no es esencial para resolver los problemas. A veces nos quebramos la cabeza de forma innecesaria, cuando tenemos por otro lado toda la información suficiente para encontrar la solución de forma más directa y sencilla.

Esto no quiere decir que esa información no sea valiosa: lo es para estar extra seguros de que hemos hallado la solución correcta; pero la podemos dejar para el final. Hagamos la certificación de nuestra respuesta entonces:

Esa frase rara dice que la edad de Ana hace 10 años. O sea (A – 10), aún no se multiplica por 3, como ya lo hizo la edad de Luis: lo hará dentro de un número de años. ¿Cuántos años? Pues la diferencia de edades actual, multiplicado por dos. Como ya sabemos las edades de ambos, podemos comprobarlo directamente:

La diferencia actual es 19 – 15 = 4.

Si multiplicamos esa diferencia por 2, nos da 8.

Dentro de 8 años, Ana tendrá 19 + 8 = 27.

En efecto, 27 es la edad de Ana hace diez años (9), multiplicada por 3.

 

Y como somos unos entusiastas irredentos de traducir todo a ecuaciones, lo ponemos así también, faltaba más:

3(A – 10) = A + 2(A – L)

3(19 – 10) = 19 + 2(19 – 15)

3(9) = 19 + 2(4)

27 = 19 + 8

 

¡QED!