La formalización y la intuición

Por Alfonso Araujo, el 10 enero, 2022. Categoría(s): Matemáticas
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Como ya hemos visto antes, hay muchas maneras de resolver un problema, así como hay muchas formas de escribir una carta y en esencia decir lo mismo: todo depende de qué tan amplio sea nuestro vocabulario y de cómo sea nuestro estilo. Vamos a ilustrar esto, y en específico la diferencia entre una solución por lo que podríamos llamar “lógica deductiva” y otra por formalización matemática.

 

El problema es un acertijo clásico de lógica matemática, referido por M.S. Collins en 75 Fantásticos Acertijos de Lógica, y la propuesta es así:

Tenemos tres montoncitos diferentes. En ellos hay en total 48 cerillas. Observen lo siguiente: si del primer montón paso al segundo tantas cerillas como hay en éste; luego del segundo paso al tercero tantas cerillas como hay en el tercero, y por último del tercero paso al primero tantas cerillas como existen ahora en ese primero, resulta que habrá el mismo número de cerillas en cada montón.

¿Cuántas cerillas había en cada montón al principio?

El acertijo es muy interesante porque es un tanto difícil de entender a la primera leída, y ya hemos visto antes, muchas veces, que lo más esencial que debemos hacer es comprender el problema y “traducirlo” adecuadamente, ya sea a un algoritmo o a una representación formal. Vamos a ver ambas aquí.

 

FORMALIZACIÓN

La primera manera de resolverlo será la formal: esto es, traducir el problema a una representación puramente matemática. Para esto primero hay que entender lo que está pasando, y lo haremos partiendo el acertijo en los pasos que describe:

– Tenemos tres montoncitos diferentes. En ellos hay en total 48 cerillas.

– del primer montón paso al segundo tantas cerillas como hay en éste;

– del segundo paso al tercero tantas cerillas como hay en el tercero,

– del tercero paso al primero tantas cerillas como existen ahora en ese primero

– habrá el mismo número de cerillas en cada montón.

 

Perfecto. Pues tenemos una definición original (3 montones, 48 cerillas en total), luego 3 cosas que suceden y al final tenemos tres montones iguales, cada uno de 48/3 = 16.

Pues definamos y traduzcamos: vamos a decir que las cantidades originales de los 3 montones serán nuestras típicas x, y, z. Tenemos primero que:

x + y + z = 48

Ahora vamos a representar qué va pasando en cada montón, en cada paso. Primero, del montón 1 se pasa al montón 2, el número de cerillas que hay originalmente en el 2: a la cantidad  x le restamos la cantidad  y, y a la cantidad y le agregamos un tanto igual (o sea, la multiplicamos por 2). Así que los montones quedan con las siguientes cantidades, tras el primer movimiento:

x-y   / 2y   / z

En el segundo movimiento, de ahí arriba se quita del montón 2 la cantidad que existe en el montón 3 (o sea, le restamos z al montón de enmedio), y se le suma al montón 3, que es ahora el que se multiplica por 2. Esto nos da la siguiente configuración:

x-y   /  2y-z  /  2z

¡OK! Nos falta un movimiento más. Al montón 3 (que ahora mismo tiene 2z) le quitamos la cantidad que ahora existe en el montón 1, que es (x-y), y se lo agregamos a éste, o sea que ahora es el montón 1 el que es multiplicado por 2. Al final nos queda:

2(x-y)  /    2y-z  /   2z-(x-y)

Cada una de esas cantidades es igual a 16. Si las simplificamos para quitar los paréntesis, y completamos ese valor que conocemos, tenemos:

2x – 2y  = 16

2y –  z = 16

2z – x + y =16

 

Voilá! Es un sistema de tres variables, ¡con cuatro ecuaciones! Porque incluimos la original:

x + y + z = 48

así que estamos más que sobrados para poder resolverlo. Con un poco de manipulación algebraica básica y sustitución de variables, obtenemos el resultado de las cantidades en los tres montones originales:

x = 22

y = 14

z = 12

Esta es la manera, digamos “segura y ordenada” de resolver el problema: definición de variables, traducción, y resolución formal. Pero cuando somos un poco más duchos —o sea que estamos más acostumbrados a lidiar con problemas— con frecuencia podemos usar la segunda manera:

 

 

INTUICIÓN

Nuestra familiarización con el lenguaje natural nos permite encontrar, de manera espontánea, “la palabra justa” o la forma correcta de expresarnos en cada ocasión. Asimismo nos permite reconocer sutilezas como el sarcasmo, la ironía y el humor. Pues justo así, al ejercitar nuestra mente con problemas lógicos y matemáticos, desarrollamos una intuición equivalente, y es usando dicha intuición como el libro explica la respuesta:

 

El problema hay que resolverlo empezando por el final. Vamos a partir de que, tras todas las mudanzas, los montoncitos tienen un número igual de cerillas. Ya que en esos cambios el número total de cerillas no ha cambiado (sigue siendo 48), al terminar todas las mudanzas resultó haber en cada montón 16 cerillas.

Así, pues, al terminar tenemos así los tres montones (I — II — III):

161616

Inmediatamente antes de esto, se habían añadido al primer montón de cerillas tantas cerillas como había en él; en otras palabras, el número de cerillas de este montón se había duplicado. Esto quiere decir que antes de hacer el último cambio, en el primer montón no había 16 cerillas, sino 8. Y en el tercero, del cual quitamos esas 8 cerillas había, antes de hacer esta operación:

16+8 = 24 cerillas

Entonces, las cerillas estaban distribuidas así en el paso anterior al final:

8 — 1624

Sabemos que antes de esto fueron pasadas desde el segundo montón al tercero tantas cerillas como había en éste: es decir, que el número 24 es el doble de las cerillas existentes en el montón tercero antes de este cambio. De ahí deducimos la distribución de las cerillas en el paso anterior:

8 — 16+12=2812

Con la misma lógica, es fácil darse cuenta de que antes de hacer el primer cambio (es decir, antes  de pasar del primer montón al segundo tantas cerillas como había en éste), la distribución de las cerillas era la siguiente:

(8 + 14) — (28 – 14) — 12

Este era el número de cerillas que había al principio en cada uno de los montones:

22 — 14 — 12

 

CREATIVIDAD

La creatividad es resultado de nuestro constante y natural ejercicio imaginativo, mezclado con la disciplina del lenguaje (natural ó matemático). En la imagen de la portada de este artículo, @Smartickmetodo propone un problema clásico en el que hay que mover cerillas para hacer que la ecuación sea verdadera. La respuesta “típica” es quitar la cerilla vertical del signo de “+” y ponérselo al 5, para que quede:

6 – 4 = 2

 

Pero hay dos formas más de hacer un solo movimiento y obtener expresiones verdaderas:

5 – 4 ≠ 2

5 + 4 > 2

 

😀