“Es opinión mía que la aparición de ‘fantasmas’ resultará ser una característica general de la renormalización de las constantes de acoplamiento” [1].

Esto le escribía el físico austríaco, Premio Nobel de Física de 1945, Wolfgang Pauli, a su amigo, el físico chino-norteamericano Tsung Dao Lee (quien recibiría también el Premio Nobel de Física dos años después de esta misiva). Pauli redactaba la carta desde su casa en Suiza, en una tranquila y fría mañana del martes 14 de diciembre de 1954. El final de la Segunda Guerra Mundial había ocurrido nueve años atrás y Pauli había regresado a vivir a Suiza después del conflicto bélico. Tres años después de esta carta, moriría a causa de un cáncer de páncreas en la habitación 137 del Hospital de la Cruz Roja de la ciudad de Zúrich [2].

Unos días antes de escribirle a Lee, el 6 de diciembre, Pauli le había escrito sobre la misma idea a su amigo (y quien había sido su alumno de doctorado), el físico suizo Markus Eduard Fierz [1]. Pauli le enviaba una carta juguetona en ocasión del viaje que Fierz realizaba a los Estados Unidos: “Todavía tengo algunos consejos, información en lugar de consejos, debo mantenerte mentalmente preparado”; la había redactado a modo de guion, formando un diálogo entre dos personajes que a mitad de la carta tienen la siguiente conversación: 

Q: ¿Cómo se llegó a pensar en que [la teoría] sea del tipo fantasma?

P: A través del modelo de Lee.

Q: ¿Qué se puede demostrar con este modelo?

P: Que es del tipo fantasma.

De esta manera, de la pluma de Pauli, en diciembre de 1954, nacería en tres cartas el concepto de “fantasma” en la física teórica. Concepto que permanece al día de hoy y que derivó en una clasificación de espectros entre fantasmas buenos y malos, pero, para entender mejor a lo que Pauli se refiere con el término de ‘fantasma’ y dónde es que estos se aparecen, es necesario hablar primero de un concepto crucial en esta historia: la renormalización.

El problema de la renormalización

El historiador de la ciencia Jagdish Mehra cuenta que en 1965 el físico Richard Feynman estaba dando una plática en el CERN (a las pocas semanas de haber recibido el Nobel de Física de ese año) y, al terminar, fue rodeado de admiradores  (entre los que se cuenta el propio Mehra) cuando, de repente, dijo en voz alta mirando a la distancia a un hombre que abandonaba el auditorio en compañía de su perro: “Él hizo el trabajo y camina solo rumbo al atardecer; y aquí estoy yo, ¡cubierto de la gloria que debería ser suya por derecho!” [3]. Aquel hombre con perro que salía de la sala era el ahora reconocido físico Ernst Carl Gerlach Stueckelberg von Breidenbach. Feynman se refería con su comentario al proceso de renormalización de la teoría cuántica de campos por el que le dieron el Nobel a él, la cual fue, aparentemente, desarrollada primero por Stueckelberg. Ernst Stueckelberg ha sido un personaje curioso para la historia de la ciencia porque se le adjudican al menos tres resultados que recibieron, cada uno, un Premio Nobel de Física, pero ninguno de ellos le fue otorgado a él. Uno de ellos es por la famosa renormalización.

La renormalización consiste en añadir términos matemáticos a la perturbación de sistemas cuánticos para que, cantidades que valdrían infinito, concluyan su periplo matemático con un valor finito en lugar del terrible infinito.

En física es común tener que perturbar un sistema y estudiar las consecuencias de esa perturbación. Perturbar un sistema físico es igual a lo que se entiende en la vida diaria. Es tocar con el dedo la superficie lisa del agua para generar ondas que se propagan por la superficie; es darle un pequeño golpe a una campana de metal para que suene débilmente; es empujar sutilmente un objeto para ver si se cae o se recupera y regresa. Perturbar en la mecánica cuántica es meter en la herramienta matemática de la teoría la información para modificar sutilmente al sistema, perturbativamente, se dice. Dos cosas pueden pasar al hacer esto: que la perturbación matemática evolucione y crezca, como si un pequeño movimiento en las copas apiladas de champán en una boda provoque que éstas caigan y se rompan (se llama divergencia) o que la perturbación modifique el entorno cercano al punto donde se inició la perturbación, pero al final no destruya la torre de copas (se llama convergente).

En las décadas de 1930 y 1940, era común encontrar que, al perturbar un sistema, resultara en la evolución de perturbaciones divergentes. El valor de las cantidades físicas se iban a un valor infinito, significando así que se rompía el sistema, sin embargo, se sabía que no se tenía que romper, al contrario, debía permanecer como si nada malo ocurriera. La divergencia parecía deberse al método matemático, no al sistema físico. La renormalización es ese procedimiento matemático que se utiliza para evitar que las cantidades físicas se vayan a infinito cuando se les calcula.

Los fantasmas de Pauli

De enero a abril de 1954 Pauli se encontraba como profesor visitante en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, hogar académico de Albert Einstein desde 1933. Poco antes de que Pauli regresara a Suiza, Lee dio una conferencia sobre una nueva teoría. El físico suizo Gunnar Källén, amigo de Pauli y quien también se encontraba presente, se enfrascó en una discusión con Lee durante la conferencia. A Källén no le parecían correctas ciertas partes del modelo de Lee, pero a Pauli le pareció que la discusión entre Källén y Lee revelaba algo más profundo que necesitaba estudiar y entender. Afortunadamente, el trabajo de Lee no tardó mucho tiempo en salir publicado [4] y, en septiembre de ese año, Pauli pudo conseguir una copia para analizar con detalle el modelo de Lee.  Pauli quedó fascinado con algunos aspectos; era un trabajo de renormalización en una teoría cuántica de campos diferente. Finalmente, Pauli le escribe a Källén el 9 de diciembre (cinco días antes de escribirle a Lee la carta del inicio de este escrito): “quiero escribirle una carta a Lee este fin de semana. En ella quiero, medio en broma, medio en serio, describir un estado con probabilidad negativa […] como ‘fantasma’ […] pronto se encontrará en todos los artículos matemáticos donde los físicos teóricos ‘renormalicen’ […] También envío una copia de mi carta para Lee a Dyson con la firma: La sociedad de cazadores de fantasmas. El presidente (ese soy yo)” [1].

Un ‘estado’ en teoría cuántica de campos es la descripción de un objeto físico en un momento dado. Es la descripción de las propiedades y características del objeto (su velocidad o su posición o los valores cuánticos que lo distinguen). Pauli le menciona a Källén que quiere describir “un estado con probabilidad negativa”. Esta es la característica fundamental que definirá a un fantasma cuántico, bueno, un fantasma cuántico en la versión pauliana, pero la probabilidad de que suceda un evento puede ser nula, cero, es decir, no pasa, o puede ser distinta de cero y tener cierta posibilidad de que suceda, nunca negativa, en principio. Sin embargo, cuando uno calcula la probabilidad de ciertos objetos matemáticos o físicos, es posible que el resultado sea negativo, y hay ocasiones en que no es un error de cálculo y damos una interpretación para justificar ese valor negativo que calculamos de la probabilidad, aunque nuestra intuición sólo nos permita pensar en valores positivos para ella. Es como la longitud de un objeto. Puede ser cero, puede ser mayor a cero, pero nunca puede ser negativa. Pues, por contradictorio que nos parezca, esto es lo que pasa con los fantasmas de Pauli: tienen probabilidad negativa, y esto es justamente lo que define a los fantasmas de Pauli: son aquellos que se visten con la sábana blanca de la probabilidad negativa.

“Los fantasmas no tienen ninguna realidad física, son la reacción formal de la matemática a los trucos empleados por ella en el método de renormalización” [1]. Pauli le aclaraba lo anterior en la carta a Lee. Para Pauli sería necesario en una teoría renormalizable (sin infinitos al perturbarla) hacer uso de estados con probabilidad negativa que se deben añadir a la perturbación para evitar que explote, se vaya a infinito y diverja. Fantasmas, hay que introducir fantasmas.

La sociedad de fantasmas

Después de la introducción del concepto de fantasma empezaron a surgir en otros lados otro tipo de espectros. Algunos lograban hacer consistente y coherente a la teoría en donde se utilizaban sin provocar ninguna anomalía extra, se les llaman “fantasmas buenos”. Estos fantasmas son partículas virtuales sin realidad física y, aunque su probabilidad pudiera ser positiva, su naturaleza no física los convierte en fantasmas. También se les llama “fantasmas de Faddeev-Popov”. Algunos otros, en cambio, tienen probabilidad negativa y su física no corresponde con la que observamos y pueden estropear otros aspectos de la teoría, así que tampoco son reales, pero al tener otras propiedades son fantasmas distintos a los buenos, se les llaman “fantasmas malos” (los fantasmas Pauli-Villars, son un ejemplo).

El término ‘fantasma’ en la física teórica ha evolucionado y ha invadido otras áreas. Además de los fantasmas de Faddeev-Popov y Pauli-Villars, tenemos también los de Landau y los fantasmas de Ostrogradsky, los campos fantasmas y la línea fantasma del campo de la cosmología. Todos ellos, orgullosos miembros de la sociedad de cazadores de fantasmas de la que Pauli es presidente y los físicos teóricos, su ejército.

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Este artículo nos lo envía Gustavo Alfredo Arciniega Durán, físico teórico, formado académicamente desde la licenciatura hasta el doctorado en la Universidad Nacional Autónoma de México. He realizado estancias de investigación posdoctoral en la UNAM, el International Centre for Theoretical Physics (ICTP) en Italia y la Universidade de Santiago de Compostela. Mis investigaciones son mayoritariamente en física matemática aplicada a distintos sistemas físicos. Actualmente trabajo en la Revista Ciencias». Podéis encontrarlo en twitter: @cuarkiano

Referencias científicas y más información:

[1] Pauli, W. (1998). Wissenschaftlicher Briefwechsel mit Bohr, Einstein, Heisenberg u.a. / Scientific correspondence with Bohr, Einstein, Heisenberg a.o.: Band IV, Teil II: 1953–1954 / Volume IV, Part II: 1953–1954. Springer.

[2] Enz, C. P. (2002). No time to be brief: A Scientific Biography of Wolfgang Pauli.

[3] Mehra, J. (1994). The beat of a different drum: The Life and Science of Richard Feynman. Oxford University Press, USA.

[4] Lee, T. D. (1954). Some special examples in renormalizable field theory. Physical Review, 95(5), 1329-1334. https://doi.org/10.1103/physrev.95.1329