El matemático estadounidense Michael Aschbacher ha sido galardonado con el Premio Rolf Schock de Matemáticas, que entrega la Real Academia Sueca de Ciencias, en este año 2011.
El Premio Rolf Schock se entrega cada tres años en cuatro modalidades: Lógica y Filosofía, Matemáticas, Artes visuales y Artes Musicales. Fue fundado a partir del testamento del propio Rolf Schock, quien especificó en él que la mitad de sus bienes deberían destinarse para financiar estos cuatro premios. Schock murió en 1986 y los premios comenzaron a entregarse en 1993.
¿Por qué han concedido a Aschbacher este premio?
Pues, según el jurado:
…for his fundamental contributions to one of the largest mathematical projects ever, the classification of finite simple groups, notably his contribution to the quasi-thin case.”
Es decir, por su importante contribución al proyecto de clasificación de los grupos simples finitos, uno de los mayores proyectos matemáticos de la historia. Esto…¿uno de los mayores?
Conocéis la historia del último teorema de Fermat, ¿verdad? Sí, Fermat deja escrito en un libro que tiene una demostración maravillosa para cierto resultado, pero que el margen es demasiado pequeño para contenerla…y pasan más de 300 años hasta que Andrew Wiles (con algo de ayuda en cierto momento) completa la demostración de ese resultado. Esta demostración de Wiles ocupa 108 páginas en Annals of Mathematics. Sí, 108 páginas. Vamos, comopara tener que aprendérsela.
Bueno, pues la demostración completa del teorema de clasificación de grupos finitos simples (conocido también como “enormous theorem”) ocupa la nada desdeñable cantidad de ¡¡15000 páginas!! (aproximadamente), y el número de personas que han realizado contribuciones a la misma sobrepasa las 100, desde 1955 hasta 2004, año en el que Aschbacher le dio la puntilla a la clasificación.
Vayamos un pelín más despacio. ¿Qué es un grupo? En matemáticas, se llama grupo a la pareja formada por:
- Un conjunto de elementos, y
- una operación, una forma de operar con dichos elementos, que cumple ciertas propiedades.
Como no nos hace falta saber nada sobre esas propiedades no voy a profundizar en ello.
Si el conjunto tiene un número finito de elementos, nuestro grupo es un grupo finito. Y un grupo simple es un grupo que cumple que los dos únicos subgrupos normales del mismo son el trivial y el total (tampoco nos hace mucha falta saber qué es eso de subgrupo normal).
¿Y qué dice exactamente el teorema de clasificación? Pues lo siguiente:
Teorema de clasificación de grupos finitos simples
Todo grupo finito simple es isomorfo a (es decir, tiene la misma estructura algebraica que) uno de los siguientes grupos:
- Un grupo cíclico cuyo orden es un número primo.
- Un grupo alternado de grado mayor o igual que 5.
- Un grupo de Lie simple, pudiendo ser:
- los grupos de Lie clásicos, y
- los grupos de Chevalley y los grupos de Steinberg, incluyendo los grupos Tits (por Jacques Tits, malpensados) que no son grupos de Lie.
- Uno de los 26 grupos esporádicos.
Como curiosidad, comentar que el mayor de estos 26 grupos esporádicos se denomina The Monster y tiene 808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000 elementos.
A principios de la década de 1980 se pensaba que la clasificación ya se había completado, pero en realidad no era así. Un cierto tipo de grupos, denominados quasithin groups, se resistía. Y éste fue el hueco que Michael Aschbacher, junto a Stephen Smith, se encargó de rellenar.
En 2004 Aschbacher y Smith publican dos volúmenes, The classification of quasithin groups. I Structure of Strongly Quasithin K-groups y The classification of quasithin groups. II Main theorems: the classification of simple QTKE-groups, que consiguen resolver este último problema a lo largo de sus más de 1200 páginas (aunque matemáticos como Serre mantienen cierto escepticismo sobre el tema, ya que piensan que esta clasificación podría tener algún vacío más que habría que llenar).
En este enlace tenéis una revisión del asunto hecha por Ronald Solomon para el boletín de la American Mathematical Society.
¿Qué aplicaciones puede tener este resultado? Pues en la actualidad posiblemente ninguna directa, aunque no se puede saber qué importancia podrá tener esta clasificación en un futuro. En palabras de Mark Ronan:
I’d be willing to bet a million dollars that it has an application, but there’s no point in making the bet because I’ll be dead before I can collect.
Esto es, algo así como lo siguiente:
Estaría dispuesto a apostar un millón de dólares a que tiene alguna aplicación, pero no tendría sentido hacerlo ya que estaré muerto antes de que pueda ganarla.
Actualmente se está trabajando en simplificar la demostración completa. Es evidente que 15000 páginas de demostración es una barbaridad, pero también lo es la enorme dificultad de algunas de sus partes. El proyecto más significativo en este sentido prevé que publicará una simplificación de la demostración en unas 3000-4000 páginas repartidas en 12 volúmenes. Algo es algo.
Y para terminar os dejo algunos enlaces más sobre el tema:
- Prize awarded for largest mathematical proof en NewScientist.
- An enormous theorem: the classification of finite simple groups, en Plus Magazine.
- Classification of finite simple groups en la Wikipedia inglesa.
- List of finite simple groups en la Wikipedia inglesa.
La imagen de Rolf Schock la he tomado de aquí y la de Michael Aschbacher de aquí.
Con esta entrada contribuyo desde Amazings.es con la Edición 2.6 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza La Vaca Esférica.
Tal vez soy mu simple, pero personalmente pienso que estas demostraciones matemáticas tan inmensas y complejas solo tienen una aplicación práctica: demostrar lo inteligente que es quien la ha hecho.
A mí que me cuenten qué utilidad práctica puede tener en el presente o en cualquier futuro, el haber demostrado que el tal The Monster tiene 808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000 elementos.
Si yo lo que quiero es poder llegar a fin de mes.
Nadie ha demostrado que The Monster tenga todo ese porrón de elementos. The Monster tiene ese porrón de elementos por construcción y se demuestra que es grupo y que es un grupo simple. Luego se demuestra que no existen más que esos 26 grupos simples, y comparando los tamaños se sabe que The Monster es el mayor de todos.
Igual te cuesta entender para que valen estas cosas, y jamás sabrás para que sirven a no ser que trabajes en cosas muy complejas de ingeniería. En esos campos, son herramientas comunes que sirven para saber si algo se está haciendo bien, si es posible encontrar la solución a ese problema, saber qué aspecto (propiedades) tiene que tener ese solución, etc. En definitiva, sirve para resolver problemas muy complejos. Lo que pasa es que el 99% del trabajo consiste en instanciar esas soluciones, y a la gran mayoría se les pasa todo lo que hay detrás.
Por ejemplo, ¿sabes que en reconocimiento facial se utilizan con profusión espacios vectoriales de dimensión infinita y de base desconocida? Uno podría pensar: “¿Para qué trabajar en las propiedades de un tipo de espacios cuya base no solo es desconocida, sino que además tiene infinitos elementos? ¿Para qué va a querer nadie utilizar algo así? ¿Cómo se va a utilizar algo así?”. Luego resulta que este tipo de estructuras algebraicas surgen en los problemas del día a día, e identificarlas y clasificarlas es el primer paso que tiene que hacer para poder trabajar con ellas.
Durante siglos, mas bien milenios, los matemáticos han estado jugando con los numeros primos. ¿Para que servian, aparte de generar pesadillas en los estudiantes con la dichosa factorización?. Pues más bien poco. Eran una herramientas para facilitar el realizar calculos y simplificaciones y poco más. (bueno no tan poco que estan detras de otros muchos elementos matemáticos)…hasta que llegó el cifrado asimetrico. Los números primos están detras de esa “s” que se añade a la url del banco cada vez que hacemos una consulta.
¡Quien le iba a decir a Eratóstenes que cuando dibujaba su criba, tardarian milenios en encontrar utilidad a ese pasatiempo!!
No conozco mucho de este campo. Pero según he leido, el Monster Group tiene muchas aplicaciones en el campo de la Física Teórica. Algo sobre el “no-ghost theorem”… pero no entiendo nada de todo eso. Es chino para mi….
Solo quería decirte que estas sentado escribiendo frente a una maquina que hubiera sido imposible de construir sin la ayuda de matemáticos que lo único que querían era demostrar lo inteligentes que son solucionando “estúpidos” problemas matemáticos.
Y es que a ellos llegar a fin de mes les importaba un huevo.
Aquí hay algo de info -> http://www.daviddarling.info/encyclo...ecture.html
Si alguien sabe que es la “string theory”, nos podría dar un cable para saber en que puede ser útil el Monster Group.
Jaja, nada más y nada menos que la teoría de cuerdas.
http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3..._de_cuerdas
XD
Eso me pasa por no leer los artículos de amazing sobre eso. Esa teoría no me llama la atención.
Disiento con el artículo: esta no es la demostración más larga de la historia de las matemáticas; lo que, por otro lado, no le quita el mérito de ser la segunda y la primera siendo escrita enteramente por las manos del hombre, hay una que la supera con creces: la demostración del teorema de los cuatro colores, que jamás podría ser leída por un solo hombre a lo largo de toda su vida. Yo me veo capaz de leer las 15000 páginas. Por cierto, ¿dónde puedo obtener la demostración completa del teorema de clasificación de grupos finitos simples, es decir, las 15000 páginas en un sólo PDF? Me gustaría leerla para comprobar lo de los huecos posibles que están por llenar, seguramente me llevará unos años; pero la quiera entera para no tener que leerla e irla buscando a cachos.
Una pregunta ahora que he hablado de la demostración del teorema de los cuatro colores, ¿se confirmaron finalmente aquellas dos sorprendentes “demostraciones” de 12 y 60?.
Los Grupos son inmensamente útiles.!!!
Por ejemplo lo que menciona TheTourist, además el model standard de la física de partículas está escrito en términos de grupos, El teorema de Noether, La teoría musical (del tipo cánones de Bach) tiene grupos y mucho mas que ello lo que hay que valorar es que la Matemática es un arte (nunca falta quien diga que un matemático es un parásito entonces también lo serían los poetas y músicos) ,Gracias a las Matemáticas podemos escribir en una computadora (se programa en aritmética modular módulo dos)
y lo mas importante La física, la biología, la economía es importante en un mundo transitorio la matemática es importante en la eternidad
Sobre la posible inutilidad de este tipo de demostraciones matemáticas: en el siglo XIX alguien (no recuerdo quien, pero supongo que Google lo dirá) se puso a buscar la rama más inútil de las ciencias, es decir aquel conocimiento que era casi imposible que alguna vez tuviera alguna aplicación práctica. Finalmente, concluyó que la ciencia más inútil era la Teoría de los Números, es decir la rama de las matemáticas que se ocupa de los números y sus propiedades.
Pues bien, años más tarde alguien aprovechó la teoría de los números para desarrollar la base teórica… ¡de los ordenadores! Miren a donde nos ha conducido esa rama inútil de la ciencia…
¿Conclusión? Como dijo Faraday cuando le preguntaron para qué servía la electricidad: “no lo sé pero tal vez sus nietos cobren impuestos por ella”.
No conozco de la materia, peor me parece increíble que se este trabajando en algo tan complejo, espero que sus aplicaciones sean igual de sorprendentes.
Las demostraciones en matemáticas eran mi pesadilla, no me puedo imaginar haciendo una milésima parte de esa demostración
Para Carlos, la milésima parte de la demostración tiene 15 páginas,
De teoria de grupos, simetrias y aplicaciones en Física trata el último artículo de mi blog, os invito a visitarlo: http://matfisfil.blogspot.com/2011/0...fisica.html . He intentado que sea de nivel divulgativo pero con el suficiente detalle para entender un poco de que va todo el tema; es un objetivo difícil de conseguir: si te pasas de nivel, sólo lo entiendes los especialistas, y si bajas mucho el nivel, tampoco se entiende bien.
No veo la necesidad del por que querer resumir un teorema ya demostrado dicen que supuestamente es para *entenderlo mejor*, yo pienso que al contrario deberia crecer mas, bueno alguien se preguntara que como acerla crecer mas, pues me explico se deberia rrellenar los posibles huecos que exista en esa monstruosa demostracion para que tenga mayor credibilidad y aceptacion y punto. Teorema bien demostrado es teorema aceptado.