¿Por qué los huracanes tienden a formar una espiral logarítmica?

Esta imagen de la tormenta tropical Sandy sugiere que su forma es una espiral áurea o de Fibonacci; en esta espiral los rectángulos tienen una proporción entre sus lados igual a la divina proporción o número de oro, como le llamaba Leonardo da Vinci (1452-1519). Las espirales de los huracanes y de las tormentas tropicales se parecen bastante a una espiral logarítmica, aunque no lo son, y el ángulo a veces coincide con el de la espiral áurea, pero no siempre.

Para entender bajo qué condiciones el huracán adopta la forma de una espiral logarítmica no hay que entender todos los detalles de su modelado físico y matemático [1,2]. La clave está en que la velocidad del aire forma un ángulo aproximadamente constante con el campo de las isobaras (curvas de presión constante alrededor del ojo del huracán). En una tormenta tropical completamente desarrollada, que mantiene su forma y se mueve lentamente, el campo de presión adopta una forma radial casi simétrica, es decir, las isobaras son casi circulares, como muestra esta figura de Sandy obtenida por la NOAA/NWS. Además, tampoco se comete mucho error si se supone que el movimiento del aire es plano (despreciando el movimiento en vertical del aire, pequeño comparado con el horizontal) y se asume que la dirección del viento es casi constante con la altura.

Para deducir la fórmula de la espiral logarítmica para el huracán utilizaremos esta figura [3], que muestra en coordenadas polares (r,φ) respecto al centro del huracán (O) el movimiento de un pequeño volumen de aire (S) que se mueve con una velocidad V. La isobara circular que pasa por S se ha dibujado en azul (2) y la trayectoria de la masa de aire en rojo (1). La velocidad se puede descomponer en V=(u,v), donde u es la componente tangencial a la isobara y v es la componente radial dirigida al centro del huracán (O). El ángulo α entre la velocidad y la isobara se llama ángulo de cruce y se define como tan α=v/u, donde tan es la función tangente. El ángulo μ se llama ángulo de influjo (α+μ=π/2).

La trayectoria en espiral logarítmica aparece cuando el ángulo de cruce α es constante. La geometría del problema implica que se cumple que r ⋅ dφ/dr = u/v (si no entiendes esta ecuación no te preocupes). La solución de esta ecuación es una espiral logarítmica r=R ⋅ exp(−φ ⋅ tan α), cuando el ángulo de cruce α es constante, donde R es el radio del huracán (o tormenta tropical) y se ha tomado r=R para φ=0 (condición inicial). Esta espiral se llama logarítmica porque φ= −cotan α ln (r/R), siendo ln el logaritmo neperiano o natural.

La espiral áurea o de Fibonacci se da cuando exp(tan α) = Φ, el número áureo, que es igual a Φ=(1+sqrt(5))/2=1,618, donde sqrt es la raíz cuadrada. Resolviendo esta ecuación se obtiene α=0,297 radianes, es decir, unos 17 grados. Para los huracanes y tormentas tropicales cuyo ángulo de cruce se encuentre entre 15 y 20 grados, más o menos, la espiral observada se parecerá mucho a una espiral áurea y una superposición de imágenes como la que abre esta entrada será muy sugerente.

¿Cómo es la función del ángulo de cruce α con la distancia? La teoría y las observaciones experimentales indican que es una función monótona decreciente con el radio del huracán, α(r), con un valor máximo en la parte más exterior y un valor cero en el borde del ojo del huracán (donde las masas de aire se mueven a lo largo de isobaras). El valor máximo del ángulo de cruce depende de la intensidad del huracán. Para los de mayor categoría según la escala de Saffir-Simpson se pueden alcanzar valores de 40º, mientras que en las tormentas tropicales rara vez superan los 20º. Por ello es más fácil ver una espiral áurea en tormentas tropicales que en huracanes.

¿Bajo qué condiciones el ángulo de cruce α es aproximadamente constante? Obviamente, v(r)/u(r) es constante cuando las dos componentes de la velocidad dependen de la distancia radial de la misma forma. La teoría y las observaciones experimentales indican que la velocidad azimutal u(r) crece linealmente desde las partes exteriores del huracán hasta cerca del ojo (debido a la conservación del momento angular). Sin embargo, la velocidad radial v(r) crece linealmente en las partes exteriores para luego decrecer rápidamente en las cercanías del ojo del huracán.

Por tanto, la función del ángulo de cruce α con la distancia es decreciente con dos partes bien diferenciadas. En gran parte del área cubierta por el huracán es una función lineal que cae lentamente, manteniéndose casi constante. Pero cerca del ojo del huracán cae más bruscamente, también de forma casi lineal, hasta cero. Para un huracán con un radio de unos 800 km cuyo ojo tenga un radio de unos 20 km, el ángulo de cruce es casi constante entre 150 y 800 km, cayendo rápidamente a cero entre 150 y 20 km [1].

La explicación física del comportamiento del ángulo de cruce nos llevaría demasiado lejos (máxime cuando yo no soy experto en estas lides). Resumiendo mucho, esta función es resultado del equilibrio entre la fuerza de Coriolis y la fricción de las masas de aire [3]. Introduciendo un buen número de hipótesis simplificadoras, basta considerar la ecuación de conservación de la vorticidad para obtener la relación de dispersión para las ondas de tipo vórtice de Rossby (los interesados en los detalles técnicos disfrutarán del artículo [4]). La expresión matemática resultante es similar a la que describe la gran mancha roja de Júpiter, que no tiene brazos espirales, pero el número de onda radial no es constante, sino que decrece linealmente con el tiempo, lo que implica la aparición de los brazos espirales.

En resumen, la mayoría de los huracanes y tormentas tropicales tienen brazos espirales que se parecen bastante a una espiral logarítmica, que se parece bastante a una espiral áurea en los huracanes de menor magnitud y en las tormentas tropicales.

Referencias

[1] J. S. Malkus, H. Riehl, “On the dynamics and energy transformations in steady-state hurricanes,” Tellus 12: 1-20, 1960 [copia pdf gratis].

[2] H. E. Willoughby, “A possible mechanism for the formation of hurricane rainbands,” Journal of Atmospheric Sciences 35: 838-848, 1978.

[3] B. S. Yurchak, “Formula for spiral cloud-rain bands of a tropical cyclone,” 28th Conference on Hurricanes and Tropical Meteorology, 1 May 2008 [copia pdf gratis].

[4] M. T. Montgomery, R. J. Kallenbach, “A theory for vortex Rossby-waves and its application to spiral bands and intensity changes in hurricanes,” Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society 123: 435-465, 1997 [copia pdf gratis].

9 Comentarios

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jsjs

“del equilibrio entre la fuerza de Coriolis y la fricción de las masas de aire” y el gradiente de presión 😉

Por lo demás, me bajo los pDFs, porque nunca me había parado a pensar esto, y tiene interés. Gracias por la info.

OtOt

La espiral que esá superpuesta, ¿está hecha de arcos de círculo? Pareciera… Si es así, sería bueno usar una auténtica espiral logarítmica.

Alvaro PerezAlvaro Perez

Reamente interesante, soy estudiante de tercer año de licenciatura en meteorologia y esta información me ha sido muy util para un trabajo de curso, gracias a Francis por este articulo.

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