Un idilio geométrico

Un idilio geométrico, por Alfonso Araujo
Un idilio geométrico, por Alfonso Araujo

Henri Poincaré (1854-1912) fue un matemático, físico teórico y filósofo de la ciencia que no se menciona tanto como otros rock-stars al estilo de Einstein, Bohr ó Heisenberg, pero sus contribuciones a la ciencia moderna son igual de fundamentales. En matemáticas, se le considera como uno de los padres de la topología y de la moderna teoría del caos. Y en física teórica, sus contribuciones en el estudio de lo que llamó “movimiento relativo” (1900-1904) sentaron las bases para la posterior formulación de la relatividad especial. Su amor era la matemática pura, y en sus escritos aseveró que “El matemático no goza de su tema porque sea útil, sino porque es hermoso”.

Una de las preguntas más relevantes y apasionantes de la moderna Filosofía de la Ciencia es: ¿las Matemáticas son parte del Universo, o son sólo una construcción humana? Quienes las hacen y las aman, les dicen “El lenguaje del universo”, y no podemos dar dos pasos entre sus teoremas y fórmulas sin encontrarnos con construcciones y relaciones asombrosas e inesperadas, como los patrones que aparecen en el Triángulo de Pascal, o las elegantes relaciones entre los números trascendentes.

Pero sin ir a fórmulas complejas o que requieran de nada más que lo visual, la geometría es también fuente inagotable de sorpresas, como ya lo decían los pitagóricos que tenían en gran estima al triángulo y sus secretos. Veamos uno de ellos, que es de hecho un romance con otra figura igual de apreciada.

Tomemos un triángulo ABC cualquiera.

Si tomamos los puntos medios entre sus lados AB, BC y AC, y trazamos perpendiculares a cada uno, indefectiblemente coincidirán en un solo punto O, llamado Circuncentro; y este punto es el centro del Circuncírculo: el círculo que toca los tres puntos del triángulo, o más correctamente, el círculo que tiene a dicho triángulo circunscrito:

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Eso parece ser una coincidencia interesante, pero apenas vamos empezando. Si ahora trazamos las bisectrices de los tres ángulos CAB, ABC y BCA, vemos que también coinciden en un solo punto. Este punto I es también centro exacto de otro círculo: el que toca todos los lados del triángulo, y son llamados Incentro e Incírculo, respectivamente:

06 Idilio 03Wow, otra relación más. ¿Habrá otras? ¿Qué otras líneas podemos trazar? Tomemos ahora las “medianas”, que son las líneas que van desde un ángulo hasta el punto medio del lado opuesto. ¡Otra vez se intersectan en un solo punto!

06 Idilio 04Este es el Centroide, o Baricentro; y es el punto de equilibrio físico del triángulo. Aquí no sale ninguna círculo, seguramente porque no quiere aparecer en algo que involucre preguntarle su peso. Pero si seguimos uniendo líneas exóticas, pasamos a las Altitudes, que aparecen si trazamos líneas desde cada ángulo, hasta el punto medio de los lados opuestos de un triángulo más grande RST, formado por las paralelas a las líneas del triángulo original. Para estas alturas ya no nos sorprende que las tres líneas se vuelven a intersectar, en un punto H, llamado Ortocentro:

06 Idilio 05Leonhard Euler (1707-1783), uno de los más grandes genios matemáticos de la historia, probó que tres de los puntos que hemos visto: O, G y H —circuncentro, centroide y ortocentro— siempre son colineales, o sea que forman una línea recta, llamada en su honor la Recta de Euler.

Pero hablábamos del idilio entre triángulo y círculo. ¿Cómo sigue la historia? Para ver el siguiente capítulo nos pasamos a 1822 para ver otro secreto de esta relación, descubierto por Karl Wilhelm Feuerbach, un poco conocido profesor de enseñanza media.

Un día se puso a contar los siguientes puntos:

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– D, E, F: los puntos medios de los tres lados

– J, K, L: los puntos bases de las tres altitudes

– M, N, P: los puntos medios de las líneas que van desde el ortocentro H hacia los ángulos

Y descubrió que para todo triángulo, estos nueve puntos aparentemente aleatorios, ¡siempre están dentro de la circunferencia de un mismo círculo!:

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¡Eso sí es amor! Pero un momento, que el Círculo de Feuerbach revela más esplendores de esta pareja: si vemos la imagen principal de este artículo, vemos que este círculo es tangente a los tres círculos tangentes a los tres lados del triángulo, así como al incírculo.

Ahora bien, el centro del Círculo de Feuerbach, también cae dentro en la Recta de Euler.

Y si abrimos la correspondencia más romántica entre ambas figuras, hacemos otro descubrimiento: podemos construir tres triángulos dentro de ABC, tomando cada vértice y los lados adyacentes de las altitudes. Cada uno de estos triángulos menores tiene su propia Recta de Euler, y las tres rectas se intersectan ¡en un nuevo punto P, que también está en el Círculo de Feuerbach!

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¿Matemáticas que se inventan o que se descubren? Las discusiones filosóficas están muy lejos de llegar a una conclusión, pero mientras, el círculo y el triángulo nos guiñan un ojo.

Este artículo nos lo envía Alfonso Araujo, ingeniero y actualmente profesor de economía contemporánea en la Universidad de Hangzhou en China. Puedes visitar su blog “El mundo es extraño

Kaplan, Robert y Kaplan, Ellen. “Euclid Alone”, en The Art of the Infinite. Oxford University Press, 2003. pp. 106-124, 278.

6 Comentarios

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Kim PérezKim Pérez

Muchas gracias! Lo más significativo es que las Matemáticas son hermosas! Y que los matemáticos las descubren como jugando con ellas.

Una vez leí que algunos grandes matemáticos ven las funciones como formas en movimiento, incluso con distintos colores.

Yo, que soy muy poco matemática, una vez me quedé absorto/a cuando entendí las funciones trigonométricas como el movimiento de una aguja de reloj, y sus sombras inversas a sus alturas…

Cuando después se observa que sus formas aproximadas inspiran a las de la naturaleza (esferoides, hexagonoides, número de oro, serie de Fibonacci…) se deduce que ellas, algo pensable, organizan tendencialmente la materia, y que por tanto estamos más cerca del espiritualismo/ idealismo de Pitágoras y de Platón que del materialismo de Marx.

Por eso es tan importante la pregunta sobre si las Matemáticas se inventan… o se descubren.

xareuxareu

La definición que yo conocía de ortocentro es distinta, es la intersección de las alturas. ¿Está también en la recta de Euler? Por otro lado, se dice ” si trazamos líneas desde cada ángulo, hasta el punto medio de los lados opuestos de un triángulo más grande RST”, y en realidad en la figura lo que parece que se hace es que se traza una normal desde cada vértice del triángulo nuevo al lado correspondiente del triángulo original.

AitorAitor

Si, noté lo mismo. Pero el triángulo original se supone que es el RST ¿no? En este caso en la figura los vértices del triángulo original ABC coinciden con los puntos medios de los lados del triángulo más grande RST y el ortocentro sería la intersección de las perpendiculares a los lados en de RST que pasan por estos puntos medios (ABC). Es lo que deduzco de la figura.

xareuxareu

Sí tienes razón, el original es el RST, me confundí al redactarlo.

Edita Olaizola

¡Genial! Me encanta la relación entre matemática y creatividad. Y también las personas que disfrutan con su trabajo, enhorabuena

busgosubusgosu

“¿Matemáticas que se inventan o que se descubren? Las discusiones filosóficas están muy lejos de llegar a una conclusión, pero mientras, el círculo y el triángulo nos guiñan un ojo.”

La geometría pertenece a una espacio geométrico, fuera de ese espacio geométrico la geometría desaparece, y las relaciones entre las distintas figuras geométricas no son posibles.

Las relaciones entre las distintas figuras no se inventan, son una consecuencia de que todas las figuras tienen una relación geométrica entre ellas y con el espacio geométrico al que pertenecen.
Luego si todas figuras geométricas tienen una relación con el espacio geométrico y a su vez las relaciones que se establecen entre las distintas figuras es una relación geométrica entre ellas, entonces la norma geomtrica de esa relación entre las distintas figuras es extensible a tener vínculos con otras figuras que pertenezcan al espacio geométrico.

De hecho se puede de llenar el espacio geométrico de triángulos y que todos estén relacionados entre ellos y a la vez con un llenado de círculos.

Un patrón que pertenezca a una manera de ver el mundo encontrar siempre vínculos en ese modelo del mundo.

La geometría y las matemáticas son una manera de ver la realidad, y todas la visiones de la realidad habidas y por haber, no son la realidad, sino que todas pertenecen a la realidad, porque la realidad del universo crea a los humanos y todas las ideas que tienen de la realidad.

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