25 de noviembre de 1915 – El artículo de Einstein

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Hoy se cumplen 100 años de la presentación por parte de Albert Einstein de las ecuaciones de la Relatividad General. Estas se hicieron públicas ante la Academia Prusiana de Ciencias en Berlín.

La historia de la construcción de la relatividad general es un episodio digno de estudio dentro del campo de la historia de la ciencia. Llegar a la forma definitiva de la teoría requirió un profundo trabajo conceptual y matemático por parte de Einstein y otros entre los que destacan Marcel Grosmann, Michelle Besso y David Hilbert.

El artículo fundacional de la relatividad general se tituló:

Die Feldgleichungen der Gravitation

Y aquí su versión traducida al inglés:

The field equations of Gravitation

Esta es la transcripción de la conferencia que dio Einstein en la Academia Prusiana de Ciencias que hemos comentado anteriormente.

Dado que estamos celebrando el centenario de la teoría creo que es una buena idea tener una traducción al castellano. A eso vamos…

Las ecuaciones de campo de la Gravitación

Albert Einstein

En dos artículos recientes he mostrado como se puede llegar a las ecuaciones de campo de la gravitación que están en acuerdo con el postulado de la relatividad general, es decir, que en su forma general son covariantes respecto a un cambio arbitrario de variables espaciotemporales.

Históricamente, estas ecuaciones de desarrollaron según la siguiente secuencia. Primero, encontré ecuaciones que contenían a la teoría Newtoniana como una aproximación y que eran también covariantes bajo cambios de coordenadas arbitrarios de determinante 1. Posteriormente encontré que esas ecuaciones eran equivalentes a unas covariantes en general si el escalar del tensor de energía de la “materia” se anula. El sistema de coordenadas podría ser entonces seleccionado por la regla simple de que \sqrt{-g} tenía que ser forzosamente igual a 1, lo que da lugar a una inmensa simplificación de las ecuaciones de la teoría. Sin embargo, tiene que ser mencionado que esto requiere de la introducción de la hipótesis de que el escalar del tensor de energía de la materia se anula.

Recientemente he encontrado que uno puede deshacerse de esta hipótesis sobre el tensor de energía de la materia simplemente insertándolo en las ecuaciones de campo de un modo ligeramente diferente. Las ecuaciones de campo para el vacío, sobre las que basé la explicación del perihelio de Mercurio, permanecen inalteradas por esta modificación. Para no forzar al lector a consultar constantemente las publicaciones previas, repetiré aquí las consideraciones en su completitud.

Podemos derivar del bien conocido covariante Riemann de rango cuatro el siguiente covariante de rango dos:

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Las diez ecuaciones con covariancia general del campo gravitatorio en el caso de que la “materia” está ausente se obtienen para la situación

Screenshot 2015-11-22 at 19.05.53

Estas ecuaciones pueden ser simplificadas eligiendo el sistema de referencia en el que \sqrt{-g}=1. Entonces S_{im} se anula debido a (1b), por lo tanto uno obtiene en lugar de (2)

Screenshot 2015-11-22 at 19.08.10

Aquí hemos empleado

Screenshot 2015-11-22 at 19.08.53

cuyas componentes las llamaremos las “componentes” del campo gravitacional.

Si existe “materia” en el espacio considerado, entonces su tensor de energía aparece en la parte derecha de (2) y (3) respectivamente. Escribiendo

Screenshot 2015-11-22 at 19.10.35

donde hemos empleado

Screenshot 2015-11-22 at 19.11.33

T es el escalar del tensor de energía de la “materia” y el lado derecho de (2a) es un tensor. Si elegimos de nuevo el sistema de coordenadas de la manera familiar obtendríamos en lugar de (2a) las siguientes ecuaciones equivalentes

Screenshot 2015-11-22 at 19.13.34

Asumimos, como es usual, que la divergencia del tensor de energía de la materia se anula al considerarlo en el sentido del cálculo diferencial generalizado (teorema energía-momento). Al especializar la elección de coordenadas de acuerdo con (3a), esto significa básicamente que el T_{im} ha de satisfacer las condiciones

Screenshot 2015-11-22 at 19.19.21

o

Screenshot 2015-11-22 at 19.19.59

Cuando uno multiplica (6) por \dfrac{\partial g^{im}}{x_\sigma} y suma sobre i y m, uno obtiene a causa de (7) Screenshot 2015-11-22 at 19.22.38

que se sigue de (3a), la ley de conservación para la materia y el campo gravitatorio combinados en la forma:Screenshot 2015-11-22 at 19.23.53

donde t^\lambda_\sigma (el “tensor energía” del campo gravitacional) viene dado por:

Screenshot 2015-11-22 at 19.25.38

Las razones que me motivaron para introducir el segundo término del lado derecho de (2a) y (6) solo se harán transparentes en lo que sigue, pero son completamente análogas a aquellas que acabamos de citar (p. 785).

Cuando multiplicamos (6) por g^{im} y sumamos sobre i y m, obtenemos tras un cálculo simple

Captura de pantalla de 2015-11-23 18:58:39

donde, al igual que en (5), hemos usado la abreviación

Captura de pantalla de 2015-11-23 19:00:43

Se ha de notar que nuestro término adicional es tal que el tensor de energía del campo gravitacional ocurre en (9) en pie de igualdad con el de la materia, que no era el caso para la ecuación (21) l.c.

Además, uno deriva en lugar de la ecuación (22) l.c. y del mismo modo que allí, con la ayuda de la ecuación de energía, las relacionesCaptura de pantalla de 2015-11-23 19:04:12

Nuestro término adicional asegura que esas ecuaciones no añaden condiciones adicionales cuando lo comparamos con (9); entonces no necesitamos hacer otras hipótesis acerca del tensor de energía de la materia más allá de que es consistente con el teorema de energía-momento.

Con esto, HEMOS COMPLETADO FINALMENTE LA TEORÍA GENERAL DE LA RELATIVIDAD COMO UNA ESTRUCTURA LÓGICA. El postulado de la relatividad en su forma más general (la cual hace a las coordenadas espaciotemporales meros parámetros sin significado físico) nos conduce necesariamente a una teoría de la gravitación muy específica que también explica el movimiento del perihelio de Mercurio. Sin embargo, el postulado de la relatividad general no nos puede revelar nada nuevo ni diferente acerca de la esencia de los variados procesos en la naturaleza respecto a lo que la teoría especial de la relatividad ya nos ha enseñado. Las opiniones que he emitido aquí en ese sentido eran erróneas. Cada teoría física que es consistente con la teoría especial de la relatividad puede, por medios del calculo diferencial absoluto, ser integrada en el esquema de la teoría de la relatividad general – sin que esta nos proporcione ningún criterio acerca de la admisibilidad de tal teoría física.

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Guía de lectura

Ciertamente, el artículo es difícil de leer. No solo para los legos en la materia sino también para los profesionales. El lenguaje y la expresión ha evolucionado y ahora resulta arduo enfrentarte a este tipo de textos históricos.

En esta sección procuraremos explicar el contenido del artículo. Evidentemente, no entraremos en los vericuetos técnicos y nos centraremos en las ideas que contiene.

Newton no se lleva bien con Einstein especialmente

Para Newton la gravedad podía ser definida por una fuerza atractiva que dependía del producto de masas de los cuerpos que interactúan gravitatoriamente y dividida por el cuadrado de la distancia que separa dichos cuerpos.

Por otro lado, en 1905, Einstein propone la forma definitiva de la relatividad especial. En esta teoría se puede deducir que ningún efecto físico usual se puede propagar a mayor velocidad que la de la luz en el vacío.

Esto supone un problema para la gravedad de Newton vista desde la óptica de la relatividad especial. El experimento mental típico para poner de manifiesto el problema es es siguiente:

Si el Sol desapareciera, ¿cuánto tardaría la Tierra en sentirlo?

Aquí hay dos respuestas contradictorias:

Newton — La Tierra lo sentiría instantáneamente. Al desaparecer el Sol desaparecería la fuerza que mantiene a la Tierra en su órbita y saldría disparada instantáneamente.

Einstein — La gravedad se ha de transmitir a lo sumo a la velocidad de la luz en el vacío, 300000 km/s. Por lo tanto, dado que la luz tarda 8 minutos en llegar desde el Sol a la Tierra, la Tierra sentiría la desaparición del Sol 8 minutos después de haber desaparecido.

soltierra

Ambas respuestas no pueden ser correctas simultáneamente.

Einstein apostó por su teoría de la relatividad especial y se propuso diseñar una teoría gravitatoria consistente con su esquema relativista. En eso trabajó, junto a muchos otros, desde 1907 a 1915.

La idea principal – El principio de equivalencia y variaciones

Ya Galileo se dio cuenta de que todos los cuerpos independientemente de su masa y composición caían con la misma aceleración en el seno de un campo gravitatorio.eq1

Esto llevó a Einstein a pensar que un campo gravitatorio sería indistinguible de un sistema acelerado. Es decir, si un cuerpo cae con una aceleración g debida a la gravedad, lo mismo pasaría si estuviera en un sistema, un ascensor, que asciende con una aceleración g.

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Pero esta idea se puede invertir. Supongamos que tenemos una observadora, Mileva, en un ascensor que cae libremente en un campo gravitatorio. Nosotros, desde fuera, sabemos que cae porque está siendo atraída por la gravedad. Sin embargo, Mileva, no notará su peso, no notará la gravedad y todos los cuerpos a su alrededor flotan con ella. Dado que todos caen con la misma aceleración entre ellos no hay aceleración relativa.

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Pero esto no es correcto en todas las situaciones. Este hecho solo es cierto si Mileva solo puede explorar un entorno muy pequeño a su alrededor. Si Mileva está en un ascensor más amplio cayendo en el campo gravitatorio de la Tierra verá que los objetos a su alrededor no caen de forma paralela. Unos aceleran hacia otros:

eq5

Así que las trayectorias seguidas por cuerpos en caída libre no son líneas rectas sino que se curvan en su camino sobre el espaciotiempo:

geod

Para ampliar, podemos pensar en una esfera hecha de partículas muy pequeñas. Si estas están moviéndose a través del espacio sin sufrir ninguna interación la forma esférica se mantendrá invariable.

esferaSi la esfera está cayendo libremente en la gravedad de la Tierra veremos algunos efectos insoslayables. Para empezar, la parte más cercana a la Tierra acelera más hacia la misma que la parte superior, porque la gravedad es más intensa cuanto menor es la distancia entre los cuerpos. Por otro lado, todas las partículas se sienten atraídas hacia el centro de la Tierra, que es donde apunta la gravedad, por lo que la esfera se deformará y veremos que unas partículas aceleran hacia las otras. Al final acabaremos con algo así:

marea

Si esta esfera está en el espacio libre de interacciones englobará un determinado volumen. Pero si dicha esfera está alrededor de la Tierra su volumen se contraerá ya que todas las partículas serán atraídas hacia la Tierra:

ricciEsta contracción del volumen se puede demostrar que es proporcional a la masa que engloba la esfera.

Todas estas ideas llevaron a Einstein a considerar que la gravedad es efecto de la geometría del espaciotiempo más que una fuerza en el sentido Newtoniano. Más detalles aquí: ¿Por qué dicen que la gravedad está relacionada con la geometría?

Covariantes

En el texto se habla mucho de covariancia y covariantes. Eso se puede traducir en lo siguiente:

Las leyes de la física han de ser las mismas para cualquier observador. Independientemente de su estado de movimiento.

Lo que persigue Einstein es encontrar una teoría que acomode la gravedad y la relatividad especial. La relatividad especial establece que las leyes de la física han de ser iguales para todos los observadores que se mueven en línea recta y a velocidad constante. Es decir, ningún experimento físico nos puede ayudar a decidir si alguien se está moviendo en línea recta a velocidad constante o está en reposo. Esos son conceptos relativos.

Dado que la gravedad tiene como efecto curvar las trayectorias que se mueven libremente en el espaciotiempo, lo anterior se ha de generalizar a cualquier tipo de observador. Eso fuerza a que nuestras leyes de la física se escriban de una forma muy precisa que en términos técnicos se denomina covariante.

¿Dónde queda Newton?

Una de las características más fuertes que se exige a la relatividad general es que cuando consideremos campos gravitatorios débiles y partículas que se mueven a muy baja velocidad (comparada con la de la luz en el vacío) es que se recupere la ley de Newton.

Es decir, la teoría de la relatividad general no dice que la teoría Newtoniana sea errónea. Lo que hace es generalizarla y contextualizarla, nos explica que dicha teoría Newtoniana funciona muy bien en determinados regímenes físicos.

La pieza clave

En la teoría de Newton, la gravedad está generada y es sentida por la masa de los cuerpos. En la teoría de la relatividad especial de Einstein la masa no es más que una forma de energía. Por lo tanto, Einstein determinó que cualquier forma de energía generaría y sentiría la gravedad. Si en una región del espaciotiempo tengo una energía distribuida en ella y hay flujos de la misma eso influirá en la geometría del propio espaciotiempo. Energías y flujos de energías se engloban en el objeto T_{im}. Actualmente llamamos a dicho objeto tensor de energía-momento. Einstein lo llamaba tensor de energía de la “materia”. En su contexto, “materia” indica todo aquello que no es gravedad. Todavía se usa esa nomenclatura en astrofísica y cosmología. Por materia hemos de entender cualquier forma de energía.

El punto clave es que la energía ha de conservarse en relatividad general respecto a cualquier observador. Ese fue uno de los puntos más caliente en el trabajo de Einstein. Esta cuestión derivó en idas y venidas alrededor de la formulación correcta de la teoría. La que presentó un 15 de noviembre de 1915.

Feliz centenario

Si os preguntáis dónde están las ecuaciones de Einstein de la Relatividad General en el artículo traducido. Son las (2a):

Screenshot 2015-11-22 at 19.10.35

Esa forma es totalmente análoga la más actual:

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Por si queréis ampliar en algún sentido aquí os dejo algunas entradas que he ido escribiendo como homenaje a la relatividad general:

Relatividad General — 100 años

Nos seguimos leyendo…


15 Comentarios

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FernandoFernando

Algunos dicen que Einstein plagió su teoría a Lorentz, Poincaré y Hilbert. ¿Qué hay de cierto en ello?

Incluso si ello no fuese del todo cierto, se dice que en su artículo Einstein debería haber puesto referencias y mencionar a los tres científicos antes dichos. Que no deberían haber admitido su artículo de 1905 sobre relatividad especial para publicarlo en una revista. Que al menos debería haber puesto más referencias.

César Tomé López

Completamente falso.

Para empezar las relaciones de los trabajos de Einstein con los de Lorentz y Poincaré tienen que ver con la relatividad especial, no la general. En el prmer caso usó las conocidas transformaciones de Lorentz, conocidas así por todos, y Lorentz ni se acercó a formular la teoría especial de la relatividad. En el caso de Poincaré si coincidió en el tiempo la publicación por parte de éste de un trabajo que podía parecérsele, pero no se atrevió a llegar a los extremos a los que llegó Einstein, por lo que de plagio nada de nada.

En lo que se refiere a la teoría general, Einstein tenía conocimiento de las ideas de Poincaré sobre geometrías no euclidianas, pero ni por asomo había intentado Poincaré hacer algo parecido a lo que estaba intentando Einstein desde 1911; Poincaré murió en 1912. Lorentz fue, como siempre, un defensor de las ideas de Einstein.

Respecto a Hilbert, nada de nada. Me autocito: http://www.experientiadocet.com/2009...ilbert.html

Respecto al segundo párrafo es un ejemplo de presentismo: juzgar el pasado por los criterios de hoy. Hasta después de la Segunda Guerra Mundial no se comienza a establecer lo que hoy entendemos por “peer review” para las publicaciones en Journals. Existía una cosa parecida para las presentaciones a Academias, que no es el caso.

AlejandroAlejandro

Excelente aclaración.
Hace ya algún tiempo un Catedrático de Física en su sección de ciencia del periódico El Mundo, escribió una entrada donde explicaba el escaso mérito del trabajo de Einstein y el supuesto plagio que cometió ,en la línea de lo expuesto por Fernando. Semejantes disparates y necedades me pusieron de muy mal humor y decidí nunca jamás hacer clic en esa sección del mencionado periódico. Promesa que puedo decir que he cumplido estrictamente.
Desde entonces cuando leo “Catedrático en Física” pues me fio poco, que se le va a hacer.

Arturo Quirantes Sierra

Probablemente sea de la misma rama de cuñaos científicos que desprecian al joven Einstein que apenas si sacaba cincos pelaos en los exámenes… y que ignoran que en aquella época la nota máxima era de seis.

JorgeJorge

La mayoría de las ideas que conforman la relatividad especial fueron publicadas por Henri Poincaré antes que Einstein, entre el año 1895 y el mes de junio de 1905. En esa época, la teoría era normalmente conocida como “la relatividad de Poincaré y Lorentz”.

Entre 1905 y el año de su muerte (1912), Poincaré también estudió el problema de la gravitación en el marco de su teoría de la relatividad. Por ello dio unas cuantas “primicias” de lo que posteriormente sería la relatividad general (desarrollada por Einstein, Minkowski, Grossmann, Hilbert, Schwarzschild, etc.). Esas primicias incluían una explicación del perihelio de Mercurio (aunque sin llegar a obtener el valor exacto), el principio de equivalencia, la geometría no-euclídea, el espacio-tiempo de 4 dimensiones, y las ondas gravitacionales que debían propagarse a la velocidad de la luz (llamadas “ondes gravifiques” y “ondes d’accéleration” en los artículos de Poincaré).

Para informarse mejor, véanse los enlaces:
http://www.brera.unimi.it/sisfa/atti...annetto.pdf
http://www.ihes.fr/~vanhove/Slides/d...bre2012.pdf
http://arxiv.org/pdf/physics/0504179v1.pdf

Es evidente que César Tomé López no conoce bien TODO el trabajo de Jules-Henri Poincaré, ni las tempranas fechas en que publicó sus ideas y sus fórmulas. Si ya hubiese “peer-review” en aquella época, le habrían exigido a Einstein que citase todos los trabajos anteriores de Poincaré (cosa que casi nunca hizo), antes de permitirle publicar sus famosos artículos en la revista “Annalen der Physik”.

Un saludo.

AlejandroAlejandro

Me gustaría destacar la siguiente frase de la conferencia: “El postulado de la relatividad en su forma más general (la cual hace a las coordenadas espaciotemporales meros parámetros sin significado físico) …..”
Esta frase dice algo muy importante y que lleva a muchos equívocos en mi opinión. Se merece una entrada de algún divulgador de estos buenos que andan en Naukas o afines para que nos iluminen al respecto.

ShevekShevek

Lo que me parece alucinante es que un artículo de ese calado e importancia tenga tan sólo 2 referencias a trabajos de otros.

No sé si es por el formato de “resumen de conferencia”, pero es llamativo.

pancraciopancracio

Entonces si desaparece el sol lo notaríamos instantáneamente porque la gravedad non es más que el producto de la deformación del entramado espacio-tiempo??

WartWart

No, tardaría 8 minutos (más o menos). Lo de que sería instantáneo sería en la gravedad newtoniana, pero en relatividad general la velocidad a la que se propaga la gravedad (las deformaciones del espaciotiempo) es a la velocidad de la luz, con lo que se tarda un tiempo en notarse los cambios.

Altayre

Tremendamente emocionante poder leer este documento de manos del mismo Einstein, y se agradecen esas sencillas pero clarísimas explicaciones realizadas para poder comprenderlo en toda su extensión.
Apoyo la solicitud de Alejandro para despejar las dudas e inquietudes sobre esa frase del documento, bien merece su propia entrada.

ManuelManuel

Lo haces sencillo. Te he escuchado el podcast de la Buhardilla sobre este mismo tema y además lo haces divertido.
La labor divulgativa es magnífica. Muchísimas gracias.

NicasioNicasio

En alguna parte he leído que, Mileva, la primera esposa de Einstein, tuvo algo que ver en la gestación de la teoría, por lo menos en su parte germinal, de primeras ideas. ¿Es eso cierto?

César Tomé López

No. Es un mito recurrente.

La pareja no se llevaba nada bien. Einstein se casó con ella por su sentido del deber, pero en los años de gestación de la teoría general y, a pesar del nacimiento de su tercer hijo Edward (tuvieron tres aunque la primera, Lieserl, fue ilegítima y probablemente dada en adopción) en 1910, vivían separados de facto.

Más detalles, aquí: http://www.experientiadocet.com/2009...nstein.html

nickeninonickenino

Buen artículo. Gracias.
Una cuestión: ¿por qué no se les aplica a otras interacciones de la naturaleza que provocan aceleraciones el mismo patrón que a la gravedad? Por ejemplo a la fuerza electromagnética. Si eres acelerado por una fuerza electromagnética no notarías la diferencia de una caída libre u otra fuerza similar, igual que con la gravedad.
Algo se hizo con la teoría de la relatividad general +
1 dimensión, o algo así, pero nunca se explicó en serio.

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