25 de noviembre de 1915 – El artículo de Einstein

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Hoy se cumplen 100 años de la presentación por parte de Albert Einstein de las ecuaciones de la Relatividad General. Estas se hicieron públicas ante la Academia Prusiana de Ciencias en Berlín.

La historia de la construcción de la relatividad general es un episodio digno de estudio dentro del campo de la historia de la ciencia. Llegar a la forma definitiva de la teoría requirió un profundo trabajo conceptual y matemático por parte de Einstein y otros entre los que destacan Marcel Grosmann, Michelle Besso  y David Hilbert.

El artículo fundacional de la relatividad general se tituló:

Die Feldgleichungen der Gravitation

Y aquí su versión traducida al inglés:

The field equations of Gravitation

Esta es la transcripción de la conferencia que dio Einstein en la Academia Prusiana de Ciencias que hemos comentado anteriormente.

Dado que estamos celebrando el centenario de la teoría creo que es una buena idea tener una traducción al castellano.  A eso vamos…

Las ecuaciones de campo de la Gravitación

Albert Einstein 

En dos artículos recientes he mostrado como se puede llegar a las ecuaciones de campo de la gravitación que están en acuerdo con el postulado de la relatividad general, es decir, que en su forma general son covariantes respecto a un cambio arbitrario de variables espaciotemporales.

Históricamente, estas ecuaciones de desarrollaron según la siguiente secuencia. Primero, encontré ecuaciones que contenían a la teoría Newtoniana como una aproximación y que eran también covariantes bajo cambios de coordenadas arbitrarios de determinante 1.  Posteriormente encontré que esas ecuaciones eran equivalentes a unas covariantes en general si el escalar del tensor de energía de la “materia” se anula. El sistema de coordenadas podría ser entonces seleccionado por la regla simple de que \sqrt{-g} tenía que ser forzosamente igual a 1, lo que da lugar a una inmensa simplificación de las ecuaciones de la teoría. Sin embargo, tiene que ser mencionado que esto requiere de la introducción de la hipótesis de que el escalar del tensor de energía de la materia se anula.

Recientemente he encontrado que uno puede deshacerse de esta hipótesis sobre el tensor de energía de la materia simplemente insertándolo en las ecuaciones de campo de un modo ligeramente diferente. Las ecuaciones de campo para el vacío, sobre las que basé la explicación del perihelio de Mercurio, permanecen inalteradas por esta modificación.  Para no forzar al lector a consultar constantemente las publicaciones previas, repetiré aquí las consideraciones en su completitud.

Podemos derivar del bien conocido covariante Riemann de rango cuatro el siguiente covariante de rango dos:

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Las diez ecuaciones con covariancia general del campo gravitatorio en el caso de que la “materia” está ausente se obtienen para la situación

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Estas ecuaciones pueden ser simplificadas eligiendo el sistema de referencia en el que \sqrt{-g}=1.  Entonces S_{im} se anula debido a (1b), por lo tanto uno obtiene en  lugar de (2)

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Aquí hemos empleado

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cuyas componentes las llamaremos las “componentes” del campo gravitacional.

Si existe “materia” en el espacio considerado, entonces su tensor de energía aparece en la parte derecha de (2) y (3) respectivamente.  Escribiendo

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donde hemos empleado

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T es el escalar del tensor de energía de la “materia” y el lado derecho de (2a) es un tensor. Si elegimos de nuevo el sistema de coordenadas de la manera familiar obtendríamos en lugar de (2a) las siguientes ecuaciones equivalentes

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Asumimos, como es usual, que la divergencia del tensor de energía de la materia se anula al considerarlo en el sentido del cálculo diferencial generalizado (teorema energía-momento). Al especializar la elección de coordenadas de acuerdo con (3a), esto significa básicamente que el  T_{im} ha de satisfacer las condiciones

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o

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Cuando uno multiplica (6) por \dfrac{\partial g^{im}}{x_\sigma} y suma sobre i y m, uno obtiene a causa de  (7) Screenshot 2015-11-22 at 19.22.38

que se sigue de (3a), la ley de conservación para la materia y el campo gravitatorio combinados en la forma:Screenshot 2015-11-22 at 19.23.53

donde t^\lambda_\sigma (el “tensor energía” del campo gravitacional) viene dado por:

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Las razones que me motivaron para introducir el segundo término del lado derecho de (2a) y (6) solo se harán transparentes en lo que sigue, pero son completamente análogas a aquellas que acabamos de citar (p. 785).

Cuando multiplicamos (6) por g^{im} y sumamos sobre i y m, obtenemos tras un cálculo simple

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donde, al igual que en (5), hemos usado la abreviación

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Se ha de notar que nuestro término adicional es tal que el tensor de energía del campo gravitacional ocurre en (9) en pie de igualdad con el de la materia, que no era el caso para la ecuación (21) l.c.

Además, uno deriva en lugar de la ecuación (22) l.c. y del mismo modo que allí, con la ayuda de la ecuación de energía, las relacionesCaptura de pantalla de 2015-11-23 19:04:12

Nuestro término adicional asegura que esas ecuaciones no añaden condiciones adicionales cuando lo comparamos con (9); entonces no necesitamos hacer otras hipótesis acerca del tensor de energía de la materia más allá de que es consistente con el teorema de energía-momento.

Con esto, HEMOS COMPLETADO FINALMENTE LA TEORÍA GENERAL DE LA RELATIVIDAD COMO UNA ESTRUCTURA LÓGICA. El postulado de la relatividad en su forma más general (la cual hace a las coordenadas espaciotemporales meros parámetros sin significado físico) nos conduce necesariamente a una teoría de la gravitación muy específica que también explica el movimiento del perihelio de Mercurio.  Sin embargo, el postulado de la relatividad general no nos puede revelar nada nuevo ni diferente acerca de la esencia de los variados procesos en la naturaleza respecto a lo que la teoría especial de la relatividad ya nos ha enseñado.  Las opiniones que he emitido aquí en ese sentido eran erróneas.  Cada teoría física que es consistente con la teoría especial de la relatividad puede, por medios del calculo diferencial absoluto, ser integrada en el esquema de la teoría de la relatividad general – sin que esta nos proporcione ningún criterio acerca de la admisibilidad de tal teoría física.

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Guía de lectura

Ciertamente, el artículo es difícil de leer. No solo para los legos en la materia sino también para los profesionales.  El lenguaje y la expresión ha evolucionado y ahora resulta arduo enfrentarte a este tipo de textos históricos.

En esta sección procuraremos explicar el contenido del artículo. Evidentemente, no entraremos en los vericuetos técnicos y nos centraremos en las ideas que contiene.

Newton no se lleva bien con Einstein especialmente

Para Newton la gravedad podía ser definida por una fuerza atractiva que dependía del producto de masas de los cuerpos que interactúan gravitatoriamente y dividida por el cuadrado de la distancia que separa dichos cuerpos.

Por otro lado, en 1905, Einstein propone la forma definitiva de la relatividad especial.  En esta teoría se puede deducir que ningún efecto físico usual se puede propagar a mayor velocidad que la de la luz en el vacío.

Esto supone un problema para la gravedad de Newton vista desde la óptica de la relatividad especial.  El experimento mental típico para poner de manifiesto el problema es es siguiente:

Si el Sol desapareciera, ¿cuánto tardaría la Tierra en sentirlo?

Aquí hay dos respuestas contradictorias:

Newton — La Tierra lo sentiría instantáneamente.  Al desaparecer el Sol desaparecería la fuerza que mantiene a la Tierra en su órbita y saldría disparada instantáneamente.

Einstein — La gravedad se ha de transmitir a lo sumo a la velocidad de la luz en el vacío, 300000 km/s.  Por lo tanto, dado que la luz tarda 8 minutos en llegar desde el Sol a la Tierra, la Tierra sentiría la desaparición del Sol 8 minutos después de haber desaparecido.

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Ambas respuestas no pueden ser correctas simultáneamente.

Einstein apostó por su teoría de la relatividad especial y se propuso diseñar una teoría gravitatoria consistente con su esquema relativista.  En eso trabajó, junto a muchos otros, desde 1907 a 1915.

La idea principal – El principio de equivalencia y variaciones

Ya Galileo se dio cuenta de que todos los cuerpos independientemente de su masa y composición caían con la misma aceleración en el seno de un campo gravitatorio.eq1

Esto llevó a Einstein a pensar que un campo gravitatorio sería indistinguible de un sistema acelerado.  Es decir, si un cuerpo cae con una aceleración g debida a la gravedad, lo mismo pasaría si estuviera en un sistema, un ascensor, que asciende con una aceleración g.

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Pero esta idea se puede invertir.  Supongamos que tenemos una observadora, Mileva, en un ascensor que cae libremente en un campo gravitatorio. Nosotros, desde fuera, sabemos que cae porque está siendo atraída por la gravedad.  Sin embargo, Mileva, no notará su peso, no notará la gravedad y todos los cuerpos a su alrededor flotan con ella.  Dado que todos caen con la misma aceleración entre ellos no hay aceleración relativa.

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Pero esto no es correcto  en todas las situaciones.  Este hecho solo es cierto si Mileva solo puede explorar un entorno muy pequeño a su alrededor.  Si Mileva está en un ascensor más amplio cayendo en el campo gravitatorio de la Tierra verá que los objetos a su alrededor no caen de forma paralela.  Unos aceleran hacia otros:

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Así que las trayectorias seguidas por cuerpos en caída libre no son líneas rectas sino que se curvan en su camino sobre el espaciotiempo:

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Para ampliar, podemos pensar en una esfera hecha de partículas muy pequeñas.  Si estas están moviéndose a través del espacio sin sufrir ninguna interación la forma esférica se mantendrá invariable.

esferaSi la esfera está cayendo libremente en la gravedad de la Tierra veremos algunos efectos insoslayables.  Para empezar, la parte más cercana a la Tierra acelera más hacia la misma que la parte superior, porque la gravedad es más intensa cuanto menor es la distancia entre los cuerpos. Por otro lado, todas las partículas se sienten atraídas hacia el centro de la Tierra, que es donde apunta la gravedad, por lo que la esfera se deformará y veremos que unas partículas aceleran hacia las otras.  Al final acabaremos con algo así:

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Si esta esfera está en el espacio libre de interacciones englobará un determinado volumen.  Pero si dicha esfera está alrededor de la Tierra su volumen se contraerá ya que todas las partículas serán atraídas hacia la Tierra:

ricciEsta contracción del volumen se puede demostrar que es proporcional a la masa que engloba la esfera.

Todas estas ideas llevaron a Einstein a considerar que la gravedad es efecto de la geometría del espaciotiempo más que una fuerza en el sentido Newtoniano.  Más detalles aquí:  ¿Por qué dicen que la gravedad está relacionada con la geometría?

Covariantes

En el texto se habla mucho de covariancia y covariantes. Eso se puede traducir en lo siguiente:

Las leyes de la física han de ser las mismas para cualquier observador. Independientemente de su estado de movimiento.

Lo que persigue Einstein es encontrar una teoría que acomode la gravedad y la relatividad especial.  La relatividad especial establece que las leyes de la física han de ser iguales para todos los observadores que se mueven en línea recta y a velocidad constante.  Es decir, ningún experimento físico nos puede ayudar a decidir si alguien se está moviendo en línea recta a velocidad constante o está en reposo.  Esos son conceptos relativos.

Dado que la gravedad tiene como efecto curvar las trayectorias que se mueven libremente en el espaciotiempo, lo anterior se ha de generalizar a cualquier tipo de observador.  Eso fuerza a que nuestras leyes de la física se escriban de una forma muy precisa que en términos técnicos se denomina covariante.

¿Dónde queda Newton?

Una de las características más fuertes que se exige a la relatividad general es que cuando consideremos campos gravitatorios débiles y partículas que se mueven a muy baja velocidad (comparada con la de la luz en el vacío) es que se recupere la ley de Newton.

Es decir, la teoría de la relatividad general no dice que la teoría Newtoniana sea errónea.  Lo que hace es generalizarla y contextualizarla, nos explica que dicha teoría Newtoniana funciona muy bien en determinados regímenes físicos.

La pieza clave

En la teoría de Newton, la gravedad está generada y es sentida por la masa de los cuerpos.  En la teoría de la relatividad especial de Einstein la masa no es más que una forma de energía.  Por lo tanto, Einstein determinó que cualquier forma de energía generaría y sentiría la gravedad.  Si en una región del espaciotiempo tengo una energía distribuida en ella y hay flujos de la misma eso influirá en la geometría del propio espaciotiempo.  Energías y flujos de energías se engloban en el objeto T_{im}.  Actualmente llamamos a dicho objeto tensor de energía-momento.  Einstein lo llamaba tensor de energía de la “materia”.  En su contexto, “materia” indica todo aquello que no es gravedad.  Todavía se usa esa nomenclatura en astrofísica y cosmología.  Por materia hemos de entender cualquier forma de energía.

El punto clave es que la energía ha de conservarse en relatividad general respecto a cualquier observador.  Ese fue uno de los puntos más caliente en el trabajo de Einstein.  Esta cuestión derivó en idas y venidas alrededor de la formulación correcta de la teoría. La que presentó un 15 de noviembre de 1915.

Feliz centenario

Si os preguntáis dónde están las ecuaciones de Einstein de la Relatividad General en el artículo traducido.  Son las (2a):

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Esa forma es totalmente análoga la más actual:

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Por si queréis ampliar en algún sentido aquí os dejo algunas entradas que he ido escribiendo como homenaje a la relatividad general:

Relatividad General — 100 años

Nos seguimos leyendo…

Intento escribir sobre física. A veces lo he conseguido.
Me parece importante remarcar que creo en cosas que no he visto, por ejemplo, en los electrones. También tengo varios diplomas, del que más orgulloso me siento es el de participante en la Olimpiada Infantil de 1992; nos dieron un bocata de salchichón y una camiseta.



Por Cuentos Cuánticos
Publicado el ⌚ 25 noviembre, 2015
Categoría(s): ✓ Ciencia • Divulgación • Física