Ondas Gravitacio… ¿qué?

“Desde que los matemáticos han invadido la teoría de la relatividad, ni yo mismo la entiendo”.

Albert Einstein (1879-1955)

La historia empieza así: “El 14 de septiembre de 2015, científicos de LIGO [por las siglas en inglés de ‘Observatorio de Interferometría Laser para ondas Gravitacionales’] detectaron por primera vez en la historia de la humanidad las arrugas en el espacio-tiempo provocadas por la fusión de dos agujeros negros, predichas hace exactamente cien años por la teoría de la Relatividad General de Albert Einstein.

El descubrimiento supone la comprobación directa de la última predicción de la teoría del gran genio, así como la primera observación de la fusión de dos agujeros negros, y la primera observación directa de un agujero negro de cualquier manera. Además, abre una nueva ventana de observación para la astronomía, que hasta ahora estaba limitada a ondas de luz…”

ondasgravitacionales

Un momento… ¿Qué? ¿Arrugas? ¿Relatividad general? ¿Espacio-ti… empo?

Mucho se puede leer ya sobre la reciente detección de las ondas gravitacionales y la increíble precisión del interferómetro LIGO. ¡Puede medir diferencias en longitudes diez mil veces más pequeñas que el tamaño de un protón! Es tan impresionante que hasta suena ridículo. Pero, ¿de qué estamos hablando? ¿De dónde viene todo esto? Si en verdad estas ondas “gravitacioblabla” se van a convertir en algo importante a partir de este descubrimiento, merece la pena retroceder un poco y olvidarse, por el momento, de LIGO, y del 14 de septiembre de 2015.

Luz, Espacio y Tiempo

Finales del siglo XIX; conforme el siglo veinte se venía abriendo paso apresuradamente, algunos experimentos comenzaron a romper la paz que científicos como James Clerk Maxwell habían creído encontrar hacía unos pocos años. (Los más famosos, por Albert Abraham Michelson y Edward Morley). Maxwell había encontrado finalmente la ansiada respuesta a la pregunta de “qué es la luz”: pues bien, la luz es una onda, como el sonido. Y lo que una onda es, por cierto, es una oscilación que transporta energía de un lado a otro. ¿Y una onda de qué? Si el sonido es una onda de presión, la luz es una onda de electricidad y de magnetismo: una onda electromagnética.

Así que, a finales del siglo XIX, los físicos creían haber alcanzado la cima. Pero los experimentos que mencioné antes arrojaban un comportamiento peculiar a la luz: su velocidad es constante, y toma siempre el mismo valor; no importa quien la emita o quien la mida. A primera vista, no suena muy peculiar, pero pensándolo bien, es bastante raro. Imagina que viajas en un tren a 100 km/h, y en un momento dado te levantas a caminar hacia la parte delantera del tren a 5 km/h. Una chica sentada en el tren mediría tu velocidad en 5 km/h. Sin embargo, un chico sentado en el andén conforme pasa el tren por su lado mediría tu velocidad en 105 km/h (la del tren más la de tu caminar). Ahora hagamos el mismo experimento mental con la luz. La velocidad de la luz es (se ha medido) 300.000 km/s. Imagina ahora que el tren en el que vas viajando se mueve a 200.000 km/s, y tú lanzas un rayo de luz hacia la parte delantera del tren (apuntas con una linterna hacia delante) a la velocidad de la luz, que ya hemos quedado que es 300.000 km/s. La chica de antes, sentada en el tren, mediría la velocidad de la luz en 300.000 km/s. Sin embargo, el chico sentado en el andén mediría 500.000 km/s (la del tren más la de la luz).

Bueno, pues en realidad no. Resulta que en todos los experimentos que se han hecho hasta el día de hoy, el chico del andén mide 300.000 km/s, exactamente lo mismo que la chica sentada en el tren. Ese “empuje” del tren parece no afectar a la luz, de manera que todo el mundo mide la misma velocidad, de 300.000 km/s, no importa cómo se mueva, esté quieto, se esté alejando o se esté acercando. Pensémoslo de otro modo: si yo trato de alcanzar un rayo de luz, aunque pueda acelerarme a velocidades cada vez más cercanas a ésta, la luz siempre se estará alejando de mí a 300.000 km/s. ¡La luz es inalcanzable!

Pero no te esfuerces aún en pensar por qué esto es así. No es una hipótesis, ni un resultado de alguna complicada teoría; es una observación, como que la Tierra da vueltas alrededor del Sol. Lo tomas o lo dejas, pero así es.

Y dado que la velocidad de la luz en el vacío es constante, se le ha asignado, como a todas las buenas constantes de la física, una letra. En este caso, la letra c. A partir de ahora, no te tengo que decir que la velocidad de la luz es 300.000 km/s. Te diré que la velocidad de la luz es c, y con eso bastará. Pero entiende que c es un número fijo y siempre es el mismo.

Einstein se dio cuenta de que cuando uno trata con la luz, no puede sumar velocidades como está acostumbrado (como en el caso del tren), y en el año 1905 publicó una nueva teoría de velocidades, tiempos y demás, a partir de este hecho de que la velocidad de la luz es constante, no importa quien la emita, o quien la mida. A esta teoría se le llama Relatividad Especial, y sus consecuencias son tremendas: las longitudes y los tiempos no son absolutos; un metro o un segundo no miden lo mismo para alguien que está quieto o para alguien que se está moviendo; los metros se contraen, y los segundos se dilatan. Lástima que estos efectos sólo son apreciables cuando las velocidades son cercanas a la velocidad de la luz. Pero me estoy desviando…

En 1907, a un matemático llamado Hermann Minkowski se le ocurrió una cosa curiosa. Dado que velocidad es igual a espacio dividido entre tiempo, podemos expresar la velocidad de la luz como c = e/t, donde e es el espacio que recorre la luz en un tiempo t. De aquí podemos despejar el tiempo, t = e/c, o el espacio, e = c·t. Y dado que c es una constante universal, que siempre vale lo mismo, sin lugar a dudas, podemos decir que el tiempo y el espacio son proporcionales, y se relacionan con esta constante de proporcionalidad, que es c. Esto quiere decir que podemos expresar el tiempo transcurrido en cualquier evento (por ejemplo, el tiempo que tardo en comerme un elote) como una longitud e dividido entre esa constante. Puedo decir que he tardado 10 minutos en comerme mi elote; o puedo decir que he tardado 180 millones de kilómetros en comerme mi elote (es decir, 10 minutos, que son 600 segundos, multiplicado por la velocidad de la luz). A efectos prácticos, estoy diciendo que en el tiempo en que me comí el elote, un rayo de luz en el vacío recorrió 180 millones de kilómetros. Es una manera de expresar un tiempo, tan válida como cualquier otra. Tan sólo que resulta absurdo hacerlo: para tiempos tan pequeños como lo que tardo en comerme un elote, los minutos son mucho más apropiados.

Pero Minkowski no se quedó en una mera cuestión de proporcionalidad. Su interpretación, mucho más profunda, fue que el espacio y el tiempo están íntimamente relacionados entre sí, de manera que uno no tiene sentido sin el otro. Para Minkowski, espacio y tiempo forman parte de una única entidad de cuatro dimensiones que él denominó espacio-tiempo. Así que el espacio-tiempo tiene cuatro coordenadas, una temporal y tres espaciales, y el tiempo y el espacio se relacionan mediante la constante c. Como ejemplo, trata de dibujar un movimiento sencillo en un gráfico espacio-tiempo simplificado. Imagina que estás de pie, y de repente saltas con todas tus fuerzas hacia arriba y vuelves a caer. ¿Cómo se dibujaría esto en el espacio-tiempo de Minkowski? Pon la coordenada que representa la altura que alcanzas con tu salto en el eje vertical, y el tiempo transcurrido en el eje horizontal. En el momento del salto subes muy rápido, y poco a poco te vas frenando para detenerte en el aire justo antes de volver a caer, acelerándote de nuevo hacia el suelo. Dibujado en el espacio-tiempo, esto es una parábola: una línea curva que sube, se tuerce y da media vuelta para volver a caer.

De buenas y a primeras, a Einstein, como seguramente te esté pasando a ti, todo esto del espacio-tiempo le pareció totalmente superfluo y sin ninguna utilidad real. Sin embargo, y como preparación para lo que se avecina, date cuenta de una cosa: en el espacio-tiempo, un movimiento acelerado (como el salto vertical de antes) siempre se representa con una línea curva.

La teoría de la Relatividad General

La idea más feliz de la vida de Einstein (tal y como él mismo lo dijo) le vino dos años después de la publicación de la teoría de la Relatividad Especial, cuando pensaba sobre qué sucedería con los sistemas acelerados. (Algo que había pasado por alto en su teoría). Imagina que estás subiendo en un elevador, y de repente, se rompen los cables que lo sostienen y el elevador cae libremente hacia el suelo. Durante la breve caída, antes del horripilante final, tú, dentro del elevador, estás experimentando lo que supone estar en gravedad cero. Si sueltas una moneda, no verás cómo ésta cae al suelo del elevador, sino que se quedará a tu lado “flotando”; porque todo, tú, el elevador y la moneda, están cayendo con la misma aceleración. Ahora imagina que estás en una cabina en el espacio, realmente en gravedad cero, e imagina que la cabina comienza a propulsarse desde “abajo” y comienza a acelerar al mismo valor que acelera la gravedad terrestre. El avance acelerado de la cabina te irá dejando atrás, de manera que sentirás un empuje hacia el suelo exactamente igual que si estuvieras en el campo gravitatorio terrestre. En el primer caso, estás simulando gravedad cero en la Tierra; en el segundo, estás simulando la gravedad terrestre en el espacio. Einstein se dio cuenta de que gravedad y aceleración son equivalentes, en el sentido de que lo que ocurre en presencia de una debería suceder también en presencia de la otra.

Este efecto de que, si estás en una cabina acelerada, el movimiento de la cabina te va dejando atrás, es fácil de comprobar. La próxima vez que subas a un avión, cuando el avión esté acelerando para despegar, siente como tu espalda se pega al respaldo de tu asiento, o lanza una pelota hacia el techo y verás cómo la pelota se va hacia atrás. Si esto lo haces cuando el avión ya está volando a velocidad de crucero, no sentirás nada y la pelota no se irá hacia atrás. Cuando el avión se mueve con velocidad constante es como si el avión estuviese quieto. Esto sólo funciona con movimientos acelerados.

Pero seguro que entiendes que no hay ninguna fuerza oculta en la parte de atrás del avión que atraiga a la pelota mientras el avión está acelerando; el movimiento que observo en la pelota no es real: más bien es el avión el que se mueve, pero como yo estoy amarrado al asiento, para mí parece que es la pelota la que se está moviendo. Pues bueno, este efecto también incluye a la luz; no tendría por qué no hacerlo. Si yo lanzo un rayo de luz hacia arriba o hacia un lado, conforme el avión se está acelerando, el rayo de luz se irá quedando atrás. (Claro, el efecto es pequeñísimo, porque la luz se mueve muy deprisa; para poder apreciarlo, el avión tendría que tener una aceleración grandísima).

Y aquí es donde entra la mente brillante de Einstein, y su equivalencia entre aceleración y gravedad: si un rayo de luz pareciera torcerse en presencia de una aceleración, entonces, el rayo de luz debería parecer torcerse de la misma manera en presencia de un campo gravitatorio. (La palabra “parecer” es importante aquí y quiero que la recuerdes; ten en cuenta que en el caso del avión, la pelota, o la luz, no se tuercen realmente, sino que es el avión, al acelerar, el que provoca esa ilusión). Aun así, ¿cómo va a parecer torcerse la luz en presencia de la gravedad, si (como sabemos desde hace mucho tiempo, y está demostrado por activa y por pasiva) la luz sigue siempre la trayectoria más corta entre dos puntos? Y la trayectoria más corta entre dos puntos es siempre la línea recta. ¿O no lo es?

Retrocedamos algunos siglos. Estamos, quizás, en el siglo XV, y dos imponentes carabelas surcan los mares del pacífico con sus grandes velas izadas. Imagina que los dos navíos se encuentran distanciados, pero sobre la misma línea del ecuador, y piensa que en esta época se creía que la Tierra era plana. Si los dos barcos comenzaran a navegar al mismo tiempo en trayectorias perpendiculares al ecuador, hacia arriba de su mapa por ejemplo, irían avanzando por el océano en trayectorias paralelas… ¡hasta encontrarse en el polo norte! ¿Pero cómo es posible? Si avanzaban en líneas paralelas, ¡que nunca se cortan! Lo que nuestros navegantes no saben es que la superficie por donde navegan –la de la Tierra– no es un plano, ¡sino una esfera! Y al no saber esto, podrían pensar que existe una fuerza misteriosa que está atrayendo a los barcos el uno hacia el otro, porque ellos navegaban en líneas paralelas… ¡Pero esta fuerza es una ilusión! Una ilusión debida al hecho de que se mueven en la superficie de una esfera, y no en un plano, como ellos creen. Después de todo, lo que están experimentando no es una fuerza, sino una curvatura del espacio en el que navegan.

Y aunque pareciera que las trayectorias de los dos barcos se están torciendo la una hacia la otra, no es verdad. Lo que está torcido no son las trayectorias de los barcos, ¡sino el espacio en que se mueven! Visto de otra manera, nuestras carabelas no hacen más que seguir la distancia más corta entre el ecuador y el polo, que en la superficie de una esfera no es una línea recta, sino una línea curva.

Regresemos con Einstein: en donde decíamos “carabelas” ahora diremos “luz”, y en donde decíamos “superficie de la Tierra” ahora diremos “espacio tridimensional”. Ahora quizás podamos contestar a la pregunta de ¿cómo va a parecer torcerse la luz en presencia de la gravedad, si ésta sigue siempre la trayectoria más corta? Existe una manera: esto podría ocurrir si la gravedad no fuese una fuerza realmente, sino el efecto de una curvatura del espacio tridimensional en que vivimos. De ser así, la luz se torcería con el espacio siguiendo la trayectoria más corta, que no siempre sería la línea recta.

Einstein pensó que, quizás, la presencia de una masa enorme como el Sol no ejerce ninguna fuerza misteriosa sobre los planetas, esa que se ha llamado gravedad. Por el contrario, la presencia de una masa enorme como la del Sol lo que hace es que curva el espacio a su alrededor, estirándolo de tal manera que los planetas, cometas, etcétera, no tienen más remedio que seguir una trayectoria curva a su alrededor, en forma de órbita. La manera más fácil de visualizarlo (y la más estándar) es imaginar una sábana bien estirada sobre la que se coloca una pelota en el centro: la masa de la pelota deforma la sábana de tal manera que si lanzamos una canica a su lado, el camino de ésta se torcerá siguiendo la curvatura de la sábana. Como la sábana ejerce una fricción sobre la canica, ésta puede acabar cayendo hacia la pelota; pero si no hubiera fricción, la canica se podría quedar girando alrededor de la pelota en una órbita estable, como lo hacen los planetas. Es una analogía muy buena, muy visual y muy recurrida, pero tiene un problema bastante gordo que nadie nunca menciona.

Este problema se remonta al principio de toda esta locura: la equivalencia entre aceleración y gravedad de la que partió Einstein. Piensa que todo parte de este principio, y si de repente violáramos el principio, se iría todo a la basura. Entonces, si un movimiento se ve torcido en el espacio en presencia de la gravedad, un movimiento acelerado debería también verse torcido en el espacio. Pero aquí hay algo que no cuadra: y es que un movimiento acelerado no está torcido en el espacio (por ejemplo, el salto vertical del ejemplo de antes es puramente un salto en línea recta). Para que un movimiento acelerado se vea torcido, y pueda así haber una relación entre aceleración y gravedad, se necesita la coordenada temporal. Un movimiento acelerado no aparece torcido en el espacio, pero sí en el espacio-tiempo. Para mantener la cordura, la curvatura producida por una masa enorme como el Sol no puede ser una curvatura del espacio y ya. Es totalmente necesario que esta curvatura incluya al espacio y también al tiempo. Si no, se acaba la equivalencia entre gravedad y aceleración, volvemos al principio de la historia, y no podemos seguir. Sin espacio-tiempo, es un callejón sin salida. (Volveremos con esto cuatro párrafos más adelante).

Así que cuando Einstein comenzó a tratar de describir matemáticamente esta relación entre la presencia de una masa y la curvatura que ésta produciría en el espacio para dar lugar a lo que llamamos gravedad, encontró que la única manera de hacerlo era incluyendo también al tiempo, recuperando aquella idea de Minkowski que él mismo había despreciado.

Y la tarea no fue fácil. La curvatura producida por una masa tenía que ser completamente independiente de quien la midiera (aunque el observador se estuviese moviendo y/o acelerando). Einstein tuvo que aprender a abstraerse en las matemáticas de superficies curvas en cuatro dimensiones y en el uso de tensores (dicho mal y rápido, un tensor es una matriz muy complicada que cumple con ese requisito de que es independiente del observador) con la ayuda de su amigo y antiguo compañero de clase, el matemático Marcel Grossmann. Imaginen por un momento que Einstein tenía una profunda idea sobre lo que debía ser la gravedad, un sentimiento que provenía de los mismos experimentos mentales que hemos discutido en los párrafos anteriores; pero que debía ser formalizado de alguna manera. Irónicamente, Einstein no era precisamente amante las matemáticas, y su mayor logro le acabó costando ni más ni menos que ocho años de esfuerzo, frustración, compromiso y dudas. Finalmente, en el año 1915, Albert Einstein lo consiguió. Ninguna teoría de comparable magnitud ha sido nunca gracias a la labor casi exclusiva de un único científico.

Su triunfo consiste en una complicada ecuación que describe de forma precisa cómo la presencia de una masa deforma el espacio-tiempo, y cómo esta deformación del espacio-tiempo define la trayectoria de los cuerpos que se mueven libres en su cercanía. Es la ilusión de la gravedad.

Pero, ¡mucho ojo! Si dejamos de lado el tiempo, y nos quedamos únicamente con el espacio susceptible a ser deformado, ¡la gravedad tal y como la explica Einstein no tendría ningún sentido! Imagina que suelto una pelota desde lo alto de mi balcón: la pelota está quieta entre mis manos, de repente abro los brazos y la pelota cae. Newton diría que la Tierra está ejerciendo una fuerza de atracción sobre la pelota. Einstein diría que la Tierra está curvando el espacio a su alrededor, de forma que la pelota sigue la trayectoria que queda libre de cualquier otra fuerza en un espacio curvo hasta la superficie de la Tierra. ¿Pero qué tontería es esta? ¿Qué trayectoria? ¡Si la pelota estaba quieta! Aunque fuera verdad que la Tierra curva el espacio a su alrededor, ¿por qué tendría mi pelota que ir hacia ningún lado si yo la dejé quietecita entre mis manos? Volviendo a la analogía de la sábana estirada sobre la cual se coloca una pelota y se lanza una canica, aquí tenemos el tremendísimo defecto de esta analogía: ¿por qué cae la canica hacia la pelota? ¿Porque la sábana está curvada? ¡Por supuesto que no! La canica cae hacia la pelota porque la pelota se hunde hacia abajo en la sábana; la canica cae hacia la pelota por la gravedad de la Tierra; y cuando entra en juego la gravedad de la Tierra en una analogía para comprender el efecto mismo de la gravedad, perdón, pero nuestra analogía ya no sirve. Es como tratar de definir un cactus usando la palabra “cactus”.

¿Por qué tendría mi pelota que “caer” si yo la dejé quietecita entre mis manos? La gravedad como deformación del espacio sencillamente no funciona, y no tiene sentido. Sin embargo, la gravedad como deformación del espacio-tiempo funciona a la perfección. En el espacio-tiempo nada está quieto, pues al tiempo no hay quien lo pare. Ya no se trata de otorgar una trayectoria a algo que está quieto, sino de modificar la trayectoria existente, porque la pelota “quieta” entre mis manos posee ya una trayectoria en el espacio-tiempo (se mueve en el tiempo, aunque no se mueva en el espacio). Cuando yo abro mis brazos y dejo la pelota libre, en el espacio-tiempo curvo (por la presencia de la masa de la Tierra) la pelota seguirá la trayectoria marcada por dicha curvatura, que hace que mi pelota caiga al suelo. Piénsalo bien, ayúdate si así es más fácil con un gráfico espacio-tiempo con una coordenada espacial y una temporal, como el de antes, y verás que tiene todo el sentido del mundo.

Por último, aunque se necesita un cuerpo con masa para curvar el espacio-tiempo, la curvatura es una propiedad intrínseca de este espacio-tiempo, así que la gravedad afecta a todos los cuerpos por igual, independientemente de la masa. Y lo que es más, ni si quiera se necesita un cuerpo con masa para sentir la curvatura del espacio-tiempo: según la teoría de Einstein, la luz también siente la gravedad (lo cual no es así con la teoría de Newton). De hecho, la luz lo hace de tal manera que, como mencioné antes, siempre sigue el camino más corto entre dos puntos en el espacio-tiempo; sólo que si el espacio-tiempo es curvo, este camino más corto no es la línea recta.

El siguiente paso para Einstein era decisivo. Su teoría era el resultado directo (aún a través de unas endemoniadas matemáticas) del principio de equivalencia entre aceleración y gravedad, pero eso no le otorgaba ninguna validez; se necesitaban pruebas. El mismo año que la finalizó, Einstein aplicó su teoría de la gravedad a un antiguo problema sin resolver con la órbita de Mercurio. La teoría de Newton fallaba levemente al predecir el avance de dicha órbita; una desconexión entre la teoría y las observaciones que nadie nunca había podido explicar. Pero cuando Einstein aplicó su teoría, según la cual la órbita de Mercurio estaría definida por la curvatura del espacio-tiempo causada por la masa del Sol, las observaciones se explicaban a la perfección. Esto fue un factor decisivo para la aceptación de la teoría de Einstein, y para que los astrónomos comenzaran a buscar más pruebas que la validaran.

El 29 de mayo de 1919 se daría el escenario perfecto para probar la teoría de manera definitiva: ese día iba a ocurrir un eclipse total de Sol, y el cúmulo de estrellas de las Hyades, en la constelación de Tauro, iba a pasar por detrás del Sol justo en el momento del eclipse. Esta conjunción permitiría poder observar las estrellas aun estando de día y cuando éstas se estuvieran realmente cerca del Sol; si la teoría de Einstein era correcta, la luz proveniente de las estrellas se curvaría al pasar por las proximidades del Sol, y la posición observada de las estrellas se desplazaría un poquito en consecuencia. La mañana del 7 de noviembre del mismo año, Albert Einstein se hizo mundialmente famoso. Su nombre era portada en los mayores periódicos de todo el mundo: el día anterior se habían publicado los resultados de las medidas del eclipse del 29 de Mayo liderados por Arthur Eddington. Aquel día, los astrónomos observaron la curvatura de la trayectoria de la luz, debida a la curvatura del espacio-tiempo producida por la masa de nuestra estrella, y coincidía a la perfección con las predicciones de la teoría de Einstein.

Lo mejor es que a día de hoy, a 100 años de la teoría de la Relatividad General, la curvatura en la trayectoria de la luz proveniente de estrellas y galaxias no es sólo una bonita observación que concuerda con la teoría de Einstein, sino que es una útil herramienta que sirve a los astrónomos para amplificar la luz de las galaxias más lejanas, para inferir la masa de galaxias y cúmulos de galaxias, y hasta para encontrar planetas orbitando estrellas fuera de nuestro sistema solar.

Y no sólo eso; las aplicaciones de la teoría no sirven únicamente a los astrónomos: el Sistema de Posicionamiento Global (GPS) usa señales de radio de una red de satélites que orbitan a veinte mil kilómetros de altitud para localizar con exactitud la posición de un receptor GPS en la Tierra. Según la Relatividad Especial de Einstein, la velocidad a la que se mueven lo satélites hace que su tiempo se atrase 7 microsegundos por día en comparación con el paso del tiempo para nosotros, en reposo sobre la superficie del planeta; pero según la Relatividad General, la curvatura del espacio-tiempo provocada por la masa de la Tierra causa que el tiempo aquí en la superficie se atrase 45 microsegundos por día con respecto al paso del tiempo en los satélites. En total, un reloj en cada uno de estos satélites se adelanta 38 microsegundos por día. Parece poco, pero sin la corrección adecuada, esto supondría un error acumulado en la localización GPS de unos 10 km por día. ¡A ver quién iba a atreverse a tomar periférico con el coche en estas condiciones!

Finalmente, existe una última consecuencia de la teoría de la Relatividad General de Einstein, que él mismo describió un año después de terminar su teoría, pero que tuvo que esperar todo un siglo para ser observada por los astrónomos.

Ondas Gravitacionales

En el contexto de un espacio-tiempo elástico en donde la presencia de una enorme masa curva y estira el espacio y el tiempo a su alrededor, la existencia de las dichosas ondas gravitacionales al fin se convierte en algo perfectamente intuitivo: cualquier evento repentino que involucre la presencia de grandes masas causará una sacudida en el tejido del espacio-tiempo que se propagará a través del mismo; como si lanzo una piedra a un estanque, o si doy un golpe seco en el medio de una cuerda o de una sábana bien estirada. Es a estas ondas del espacio-tiempo a las que se les denomina ondas gravitacionales: son perturbaciones en el espacio-tiempo, causadas por algún evento astronómico, que se propagan a través de éste. Imagina la analogía con las ondas en la superficie de un estanque: si yo tiro una “piedrota” al medio del estanque se generarán una serie de olas concéntricas que se propagarán en todas las direcciones; si en algún punto del estanque hay un nenúfar con una rana croando encima, al llegar la onda al nenúfar, la rana sentirá el subir y bajar de la olas. De la misma manera, si a nosotros, croando en la Tierra, nos llegara una de estas ondas gravitacionales, “sentiríamos” el “subir y bajar”, que en este caso correspondería a una serie de ensanchamientos y encogimientos del espacio-tiempo. Por si fuera poco, Einstein calculó la velocidad a la que se debían propagar estas ondas de gravedad, y resultó exactamente la velocidad de la luz en el vacío, c.

El mayor problema que encontró Einstein con las ondas gravitacionales es que los fenómenos astrofísicos que podían producir grandes sacudidas en el espacio-tiempo suceden a millones de años luz de nosotros, y, tal y como sucede si tiro una piedra en el medio de un estanque, cuando la onda llega al otro extremo del estanque ya se ha esparcido tanto que ha desaparecido, y la rana no se entera. Einstein temía que sus ondas gravitacionales nunca serían observadas, porque para cuando llegaran a la Tierra, ya habrían prácticamente desaparecido.

Sin embargo, el pasado 14 de septiembre de 2015, después de cien años, dos instrumentos mellizos concebidos únicamente para medir las deformaciones en el espacio-tiempo provocadas por las ondas gravitacionales de Einstein, lo hicieron: LIGO detectó ondas gravitacionales. Ese día, el instrumento observó por duplicado la inconfundible señal producida por el paso de una serie de “pulsos en el espacio-tiempo” que alargaron y achataron el espacio y el tiempo exactamente tal y como, según la teoría de Einstein, habrían sido generados mediante la fusión de dos objetos súper masivos situados a unos mil trescientos millones de años luz.

Ajustando los modelos que explicaban la señal de una serie de pulsos de una manera muy particular, los científicos pudieron inferir que se trataba de la fusión de dos agujeros negros de 36 y 29 veces la masa de nuestro Sol, que en el momento de fusionarse dieron un latigazo al espacio-tiempo en el que perdieron ni más ni menos que tres masas solares, convertidas en pura energía (E=mc2, de nuevo, gracias al genio). Toda esta energía se propagó hasta nuestros días en forma de una de estas ondas gravitacionales. La magnitud del evento, hace mil trescientos millones de años, fue sencillamente brutal: liberó en menos de medio segundo más cantidad de energía que la que estaba siendo radiada por TODAS las estrellas del universo observable juntas. Mil trescientos millones de años después, a mil trescientos millones de años luz de distancia, la deformación que llegó a la Tierra fue de una millonésima de millonésima de millonésima de metro, mil veces más pequeño que el tamaño de un protón. Esto es lo que yo llamo una rana MUY sensible.

La observación directa de ondas gravitacionales es la última prueba de la genialidad de un único hombre. Y para no ser menos, es la primera vez en la historia que se registra una señal proveniente directamente de un agujero negro (hasta hoy, éstos sólo se habían observado indirectamente, pues los agujeros negros ¡no emiten luz!). E, igual que sucedió con la curvatura de la trayectoria de la luz, la observación de LIGO marca un nuevo comienzo para la astronomía. Mejores observatorios de ondas gravitacionales ya están siendo construidos, y la “astronomía gravitacional”, basada no en la detección de la luz, sino de las deformaciones en el tejido del espacio-tiempo, abre una nueva y extraña ventana para explorar los confines más alejados de nuestro universo. Cuanto menos, es para emocionarse.

Este artículo nos lo envía Jorge Fuentes Fernández (Murcia, 1983) estudió Astrofísica en la Universidad de La Laguna (Tenerife) e hizo su doctorado en Teoría Magnética Solar en la Universidad de St Andrews (Escocia), donde además realizó una estancia postdoctoral. En los años que siguieron dio un vuelco a su carrera para dedicarse a la Instrumentación Astronómica, realizando en una segunda estancia postdoctoral en el Departamento de Instrumentación del Instituto de Astronomía de la Universidad Nacional Autónoma de México, donde, desde 2015, trabaja como diseñador óptico. Ya en México salió a la luz (¡al fin!) su faceta como divulgador. Es miembro de la Sociedad Astronómica de México, donde ha impartido varias charlas y cursos. Y cuando el tiempo y las ganas se lo permiten, disfruta escribiendo divulgación sobre física y astronomía.

44 Comentarios

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DanielDaniel

Muy buen artículo que clarifica la metáfora de la sábana con un peso encima como imagen de la Relatividad General.
Pregunta: ¿Una masa en movimiento no debería generar ondas gravitacionales del mismo modo que un electrón en movimiento genera Ondas Electromagnéticas? Es decir, si muevo la masa, la deformación espacio-temporal también se mueve, ¿no?
Saludos,

Jorge Fuentes FernándezJorge Fuentes Fernández

Si muevo una masa, la deformación espacio-temporal también se mueve. Sí. Pero creo que estás mezclando peras con manzanas… En principio estamos hablando de cosas diferentes, y aunque la comparación entre ellas es muy útil para poner ejemplos, hay que llevar cuidado. Digamos que existen tres tipos de ondas: [1] las “ondas mecánicas”, que necesitan un medio para propagarse (como cuando lanzo una piedra a un estanque, o como el sonido); [2] las “ondas electromagnéticas”, que se pueden propagar en un medio y también en el vacío (¡las ondas electromagnéticas son los fotones! se agrupan en rayos gamma, rayos X, ultravioleta, luz visible, infrarrojo, microondas y ondas de radio); [3] y finalmente, las “ondas gravitacionales”, que son perturbaciones en el tejido del espacio-tiempo. Aunque todas son ondas (todas llevan energía consigo), se trata de fenómenos físicos diferentes, y los mecanismos que las generan también lo son.

DanielDaniel

Pero -insisto- si la deformación espacio-temporal se “mueve”, ¿eso no implica una onda?
Tenemos una masa que se mueve, genera una perturbación (¿frente de onda?) que se desplaza a la velocidad de la luz. ¿No es eso una onda?

KhinecapaKhinecapa

Esa masa es la que produce atracción en planetas y entre nosotros y el planeta donde estamos situados

damk3rdamk3r

Sinceramente una de las mejores explicaciones sobre la Relatividad General que he leído/visto.

MiguelMiguel

Es la mejor explicación que he leído nunca sobre la teoría de la relatividad de Einstein. Con diferencia. Y he leído bastantes. El mundo necesita más divulgadores así. Felicidades al autor! Le animo a que siga escribiendo de una forma tan clara de todo corazón.

José Ramón

Magnífico artículo, bien escrito, ameno, me ha encantado. Tengo una duda de ignorante. Cuando dices que la astronomía estaba limitada a la observación de la luz ¿no es contradictorio con el uso de, por ejemplo, radioastronomía? ¿o es radiación electromagnética?

Jorge Fuentes FernándezJorge Fuentes Fernández

¡Mis pobres radioastrónomos! Tienes toda la razón, aunque para evitar palabras raras en la medida de lo posible, a menudo se usa (incorrectamente) la palabra “luz” para designar a los fotones en general; es decir, a las ondas electromagnéticas en todo su espectro.

astrolfoastrolfo

Puesto que es una cuestión de definiciones, y no algo fundamental yo no diría que es incorrecto llamar luz a las ondas de radio. Depende de cómo definas la palabra. Porque está claro que ondas de radio y luz visible comparten el mismo fundamento físico. Muy buena la entrada, por cierto.

Juan CarlosJuan Carlos

¡Qué delicia de entrada! Estoy deseando que se me olvide la trama para volver a leerla de nuevo ^_^ ¡Felicidades!

Juan Carlos—
@ApuntesCiencia

JulianJulian

Muy buena explicación, pero hay algo que no entiendo:
la analogía de la sábana, como bien comentas, es una demostración de la auténtica naturaleza de la gravedad, pero que requiere de la propia fuerza de la gravedad para realizarse. Es decir, ese experimento realizado en el espacio no funcionaria como tal, si no estoy equivocado; pues si extendemos una sábana en el espacio exterior presionamos la superficie con una pelota produciendo un surco, y colocamos la canica en un punto intermedio dentro de éste sin que llegue a tocar la pelota, la canica no se deslizaría hasta esta, si no que permanecería en esa posición, aunque fuese un punto inestable, para las condiciones de la Tierra. Tal vez es una enorme idiotez, ¿Pero por qué la simple curvatura del espacio produce movimiento sin no hay ninguna fuerza mecánica que medie?.
Otra pregunta: teniendo en cuenta que el espacio que rodea la Tierra esta distorsionado, un observador que se hallase en la luna, ¿apreciaría esta deformación de un objeto imaginario kilométrico que se extendiese desde la superficie terrestre hasta la ionosfera?
Gracias y Saludos.

Jorge Fuentes FernándezJorge Fuentes Fernández

A la primera pregunta: aquí es donde entra el tiempo, y sin él nada tiene sentido. Y es por esto que la analogía de la sábana no sirve bien su propósito. Todo esto de la curvatura no funciona en el espacio, pero en el espacio-tiempo sí. La simple curvatura del espacio-tiempo no produce un movimiento de la nada (este es justamente el ejemplo que pongo en el texto de la pelota entre mis manos que dejo caer). La clave es que en el espacio-tiempo todo se está moviendo, puesto que nada está quieto en el tiempo. La presencia de una masa lo que hace es deformar ese espacio-tiempo y entremezclarlo, de manera que algo que antes sólo se movía en el tiempo, ahora modifica su trayectoria para moverse en el tiempo y en el espacio; la curvatura no produce movimiento, sino que modifica el movimiento preexistente, en el espacio-tiempo. (Si quieres visualizar esto necesitas aceptar al tiempo como una coordenada más).
A la segunda pregunta: ¡la curvatura del espacio-tiempo alrededor de la Tierra se ha medido! Esto lo hizo en 2011 un satélite de la NASA llamado Gravity Probe B. Básicamente pusieron a rotar una esfera alrededor de un eje fijo, y midieron cómo ese eje de giro se modificaba según lo marca la deformación del espacio-tiempo de Eisntein. Todo esto con muchísima precisión, por supuesto. Ahora, si lo que quieres es medir con una regla cómo se deforma el espacio, eso no va a funcionar, porque tu regla estará igual de deformada que lo que quieres medir 😉

JulianJulian

¡Muchas gracias por responder!, los profanos como yo nos montamos estos cacaos mentales.
Nada esta quieto en el tiempo, eso era lo que me faltaba para entenderlo. ¿Así que los objetos totalmente parados y estáticos en un punto son sólo una ilusión?.
Saludos y Gracias.

NoemíNoemí

Hola:
Si la simple curvatura del espacio-tiempo no produce movimiento, sino que solo marca una trayectoria ya existente, ¿por qué se dice que la gravedad dilata el tiempo?
Gracias.

José ManuelJosé Manuel

Felicidades por el artículos, es realmente bueno. Es la primera vez que he comprendido la importancia del tiempo en el llamado espacio tiempo. Podríamos decir que el tiempo es la “verdadera” gravedad 😉

MiguelMiguel

Desde que ayer leí este artículo, mi mente anda divagando en extrañas ideas. ¿Podría ser que nuestro universo viajara en una onda de tiempo? ¿Y que por delante y por detrás de nosotros se extendieran infinitas ondas, cada una con su propio universo? Entonces, el Big Bang, en realidad sería como una especie de generador infinito de ondas de tiempo en las cuales existe materia. ¿Estas ondas de tiempo serían los llamados universos paralelos? En fin, no me hagáis mucho caso, son elucubraciones de un historiador aficionado a la astronomía sin mucha, o ninguna, idea de física. Pero con mucha imaginación 😉

Agustín SardónAgustín Sardón

¡Por primera vez lo entiendo!

Siempre había pensado que la metáfora de la sabana o de la cama elástica era un fraude, porque por mucha curvatura, hundimiento, hoyo, para que la canica caiga al hoyo se sigue necesitando una fuerza, la gravedad. La idea de tiempo como movimiento unida a la idea de gravedad como curvatura explica la caida del objeto sin necesidad de fuerza, en realidad caería por “propia inercia temporal” y la aceleración no sería sino incremento de la pendiente o de la curvatura. Genial. Por primera vez alguien lo explica bien y por primera vez lo entiendo.

RobertSmithRobertSmith

Muy, muy agradecido por este post. Yo, que me considero un lego en la materia, he entendido con bastante claridad el concepto de la relatividad. Ya me hubiera gustado haber tenido profesores como usted !!

PacofuenPacofuen

Pues a mi, desde que he leído el artículo, me ha dado por intentar relacionar los conceptos que explicas en él, con el dilema de si Universo cerrado o abierto, o de porqué se expande aumentando velocidad. No tengo formación ni conocimientos suficientes, pero si llego a descubrirlo, te invitaré a la ceremonia de mi Nobel.

Rafael García-EtxabeRafael García-Etxabe

Mi más sincero agradecimiento. Artículos como éste contribuyen al enriquecimiento general. Como bien dices: “es para emocionarse”
Enhorabuena.

VíctorVíctor

Jorge Fuentes Fernández, felicidades por el artículo, aunque me falta un poco de cojin para asimilar el movimiento en el tiempo.

pvlpvl

Me uno a las felicitaciones por el art. Como les ha pasado a otros comentaristas, yo también he sentido un “clic” en mi cerebro al entender la explicación de las trayectorias que siguen en el espacio-tiempo los cuerpos que permanecen estáticos en el espacio, y como las masas afectan a dichas trayectorias.
Una duda: la energía liberada en la fusión de los agujeros negros detectada por LIGO es gigantesca. Estamos habituados a observar y comprender como el trasporte de energía en sus formas más “habituales” nos afecta: desde la energía mecánica de una ola marina que nos balancea o nos revuelca en el mar, según su potencia, hasta el calor que nos trasmite la luz del sol sobre nuestra piel que puede llegar a quemarnos.
La pregunta es: ¿como experimentaríamos o sentiríamos la energía de una onda gravitacional de estar lo suficientemente cerca de la fuente que la origina?

Jorge Fuentes FernándezJorge Fuentes Fernández

Esta pregunta tiene más “chicha” de lo que parece. No sé si seré capaz de contestarla bien, pero me voy a lazar. Aviso que esto es todo un poco de especulación por mi parte.
De lo que estás hablando aquí es de transferencia de energía de una forma a otra, y de cómo una onda interacciona con la materia. En efecto, una onda mecánica tiene capacidad de empujar: el cuerpo absorbe parte de la energía de la onda, que queda transformada a energía cinética del mismo. Una onda electromagnética tiene capacidad para calentar: el cuerpo absorbe la energía de la onda, que queda transformado en energía térmica (que no es más que energía cinética microscópica). Ahora bien, ¿cómo puede un cuerpo absorber la energía de una onda gravitacional? Hasta donde yo sé, la energía depositada en la deformación del espacio-tiempo se queda ahí. Es decir, las ondas gravitacionales no interaccionan con la materia. Tan solo deforman el espacio-tiempo a su paso. De cualquier manera, pienso que para comprender mejor las odas gravitacionales necesitamos una teoría cuántica de la gravedad.
Y a la pregunta de ¿cómo experimentaríamos la onda de estar lo suficientemente cerca? Pues igual que lo hizo LIGO, pero mucho más exagerado: El pasar de la onda achataría/ensancharía el espacio en la dimensión transversal a su propagación exageradamente, aunque momentáneamente (esto duraría fracciones de segundo). Quizás se descuadraran un poco los sistemas de telecomunicación, etc. Pero, en conclusión, creo que nosotros no sentiríamos nada…

pvlpvl

Gracias por la respuesta.
Si te soy sincero tengo que decir que la frase de que las ondas gravitacionales no interaccionan con la materia me deja aun más dudas de las iniciales:
Sobreentiendo que si LIGO ( o un edificio o un ser humano) se encontrara muchísimo más cerca de la fuente de las ondas-g, la diferencia en la deformación de la longitud de sus brazos sería mucho mayor, llegando a ser gigantesca de estar suficientemente cerca.
Pero si las ondas g no afectan a la materia, ¿significa eso que los brazos de LIGO, (o los pilares y vigas de un edificio o el esqueleto de un ser humano), se pueden deformar “enormemente” sin que la estructura material de la que están constituidos se rompa o colapse?.
Un forma más breve de exponerlo es: ¿la deformación del espacio tiempo no “arrastra” consigo la materia?.

Jorge Fuentes FernándezJorge Fuentes Fernández

Es que lo que se deforman no son los brazos de LIGO, ¡sino el espacio-tiempo que ocupan! No es que un brazo mida un metro más que antes cuando pasa la onda gravitacional, sino que el es el espacio en sí mismo el se estira. O sea, la deformación del espacio-tiempo sí “arrastra” consigo la materia, pero no como si estiraras una goma elástica, sino como algo más fundamental. Todos los componentes de la materia (electrones, quarks, etc) se expanden/contraen con el espacio-tiempo, de manera que en realidad no hay ningún estiramiento elástico en la materia que la pueda romper, ni nada por el estilo. En verdad, es algo muy raro.

Jorge Fuentes FernándezJorge Fuentes Fernández

Es que lo que se deforman no son los brazos de LIGO, ¡sino el espacio-tiempo que ellos ocupan! Es decir, no es que el brazo de LIGO mida un poco más cuando pasa la onda gravitacional, sino que es el espacio el que se estira. Dicho de otra manera, la deformación del espacio-tiempo sí “arrastra” consigo la materia, pero no es como estirar una goma elástica, sino de una manera mucho más fundamental. Todos los componentes de la materia (electrones, quarks…) se acomodan al estiramiento/encogimiento del espacio-tiempo, de manera que no se produce un estiramiento elástico que pueda romper el material ni nada por el estilo. En verdad, la deformación del espacio-tiempo es algo bastante raro.

AlbertAlbert

A mí también me parece claro que si son capaces de mover materia, han de disipar algo de energía en ese menester y por lo tanto atenuarse en alguna medida aunque sea muy débilmente. Por ejemplo en este documento hay un estudio que intenta calcular el amortiguamiento que sufriría una onda gravitacional al atravesar una gran nube de polvo interestelar:
http://utf.mff.cuni.cz/librtfy/paper...ing-mod.pdf
Saludos.

Jorge Fuentes FernándezJorge Fuentes Fernández

Yo no lo tengo tan claro, pero la verdad es que no lo sé.

AlbertAlbert

Un argumento puede ser que los sensores de LIGO han sido activados al paso de la onda gravitacional OG, de lo contrario no hubiese habido detección :)
Que el sensor se active, físicamente significa que ha absorbido algo de energía, por muy pequeña que sea que envía a los amplificadores, que con ayuda de fuentes de alimentación externas de energía amplifican la pequeñísima señal original hasta hacerla tratable, visible, grabable,…
Y entiendo que esa pequeñísima energía inicial el sensor ha tenido que “robársela” a la onda gravitacional (sea cual sea el mecanismo intermedio), y por lo tanto la OG se ha debido atenuar justo en ese valor. Los sensores son materia, y no son materia especial, por lo tanto entiendo que si la OG ha depositado algo de energía en ellos, también lo hace en toda la materia.
La frecuencia de las ondas de GW150914 osciló entre 35 Hz y 250 Hz que equivale a unas longitudes de onda entre 8566 km y 1200 km. Contra mayor es la longitud de onda con respecto a las dimensiones de un objeto, menos interacciona con éste, y el diámetro de toda la Tierra es de 12750 km luego la interacción ha debido ser pequeñísima, pero entiendo que hemos debido ser capaces de absorberle algo a la OG, puesto que la hemos detectado.
Saludos.

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Jorge Fuentes FernándezJorge Fuentes Fernández

LIGO lo único que hace es medir distancias en diferentes direcciones del espacio… no hay nada que “activar”. En este proceso no hay transferencia de energía de ningún tipo, según mi entendimiento.

0 (0 Votos)
MiguelMiguel

““Desde que los matemáticos han invadido la teoría de la relatividad, ni yo mismo la entiendo”. Albert Einstein (1879-1955).

“Pues no era tan difícil de entender, sólo hacía falta que alguien lo explicara bien”. Yo mismo (ahora mismo).

Gracias.

Xavier AgenjoXavier Agenjo

“… y piensa que en esta época se creía que la Tierra era plana” .

¡Hombre, no!

Jorge Fuentes FernándezJorge Fuentes Fernández

¡Ups! Esto merece una disculpa grande. ¿Qué tal dos galeras fenicias? o quizás nuestros navegantes eran demasiado conservadores…

jose manuel soriajose manuel soria

Reformulo la pregunta de Daniel que dice: Si un electrón en movimiento produce una onda electromagnética ¿Una masa en movimiento producirá una onda gravitacional? Creo que Daniel confunde campo electromagnético con onda electromagnética. Igual que no es lo mismo campo gravitatorio que onda gravitacional. Lo que genera una onda electromagnética no es una carga en movimiento sino una carga acelerada, así que la pregunta sería: ¿Una masa acelerada genera una onda gravitacional?

Jorge Fuentes FernándezJorge Fuentes Fernández

Creo que no. Para generar una onda gravitacional se necesita energía, y mucha. Si una masa acelerada generara una onda gravitacional tendría que sacar energía de algún sitio. Es decir, tendría que perder energía propia de alguna manera. De ser así, creo, los planetas, por ejemplo, irían perdiendo energía (radiada como onda gravitacional) en su órbita, y acabarían cayendo al Sol… A esto ya se tuvieron que enfrentar los físicos en su día con los electrones orbitando alrededor del núcleo, y por eso el modelo orbital de Rutherford no funciona.

AlbertAlbert

Toda masa acelerada pierde energía en forma de ondas gravitacionales. En particular los planetas que giran en torno al Sol lo hacen, aunque girasen en órbita circular, pues como mínimo estarían afectados por aceleración normal.
La expresión de la potencia emitida en forma de ondas gravitacionales para una órbita kepleriana circular, compuesta por dos masas m1 y m2 no es difícil de obtener a partir de una linealización de las ecuaciones de campo de la Relatividad General y se encuentra en numerosas publicaciones. En esa expresión aparece en el numerador un polinomio de 3º grado en las dos variables m1 y m2 y en el denominador la 5ª potencia de la distancia entre las dos masas.
En el sistema solar por ejemplo, Mercurio pierde 69 W en forma de ondas gravitacionales, Venus pierde 661 W, la Tierra 197 W, Júpiter 5225 W y Saturno 23 W
Por lo tanto todos los planetas se van acercando un poquito al Sol conforme van perdiendo energía en forma de ondas gravitacionales, lo que sucede es que la tasa de acercamiento es irrisoria.
Saludos.

Gregorio Angel Rentero CondeGregorio Angel Rentero Conde

Perfectamente explicada la pérdida de energía por las OG en las órbitas de los planetas. Pensad que la diferencia de intensidad entre la fuerza de la gravedad y la electromagnética es de 37 órdenes de magnitud.

DgarciusDgarcius

Pues no me apetecia tener que hacer esto, pero no me has dejado otra opción, así que nada, me levanto del sofa , me quito el sombrero y te hago la ola.
Pedazo de ARTÍCULO, con mayúsculas, el que mas me ha gustado de los que he leído sobre el tema.

NachoNacho

No soy de molestarme en escribir comentarios pero este se merece un 10 al autor muy bueno, he leido y visto miles de documentales a lo largo de años (no exagero) y tengo que decir que esta ha sido la mejor explicacion de la relatividad paso a paso ,bravo , tengo que aclarar que no tengo estudios en fisica y que ya de por si el asunto es complejo, pero esta forma de explicarlo a sido muy didactica para mi, te abre la mente al entendimiento, cosa que no es nada facil explicar las teorias de Einstein todos sabemos, asi que animo al autor que siga escribiendo articulos, muchas gracias.

Jose DJose D

Impresionante, como ya han dicho es uno de esos raros artículos que producen un click en la mente. Por fin me siento capaz de explicar la RG a mi abuela.

Gregorio Sánchez

Enhorabuena por el artículo, tanto a Jorge como a Naukas.
Mucha gente últimamente dice entender (y hasta osan intentar explicar) lo que son las ondas gravitacionales, pero esta es de las mejores explicaciones que he leído. Sencilla y amena. Toca además algo que creo fundamental, las anteriores investigaciones que llevan a desarrollar y entender los nuevos descubrimientos. No creo que se puedan entender las ondas gravitacionales sin entender el espacio-tiempo, el cual ya por si solo es bastante complejo para los que no somos ni físicos, ni matemáticos.

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