El Efecto Mariposa: vaya ¿timo?

El aleteo de las alas de una mariposa hoy en Japón,
puede provocar mañana un huracán en Nueva York

En Matemáticas, una de las teorías más conocidas por el público en general quizás sea la Teoría del Caos. Y es muy posible, querido lector, que ya sepas de qué va. Y también es muy posible que tan sólo con leer el título de esta entrada, ya supieras que esta entrada trataría sobre el Caos. Claro, es hablar del Efecto Mariposa y automáticamente aparece la palabra caos en la cabeza de todos. De hecho, tengo la sensación de que para el público en general, el caos es el Efecto Mariposa.

Efecto Mariposa
Imagen extraída de Ciencia con alma y arte

Pero… ¿qué es (matemáticamente hablando) el Efecto Mariposa? ¿Lo llaman así los matemáticos? ¿Qué tiene que ver todo esto con el Caos? En el presente artículo, vamos a tratar de dar respuestas, a modo de breves pinceladas, a estas preguntas.

Sistemas dinámicos y caos.

Vamos a comenzar sentando las bases. El caos es un concepto matemático que se aplica a Sistemas Dinámicos que para entendernos, podemos pensar en procesos que va cambiando con el tiempo bajo ciertas reglas. Matemáticamente, dada una aplicación \varphi de un conjunto X en sí mismo y un estado inicial x_0\in X, definimos la órbita de x_0 bajo la acción de \varphi, es decir,  x_0,  x_1=\varphi(x_0),  x_2=\varphi(x_1)=\varphi^2(x_0),  x_3:=\varphi(x_2)=\varphi^3(x_0)…  Pues bien, esto es un sistema dinámico (discreto). Aunque para ser más rigurosos, hay que decir que el sistema dinámico es (la iteración de) la propia aplicación \varphi y para cada posible estado inicial, tenemos una órbita diferente del sistema dinámico.

Bien, ya sabemos sobre el tipo de cosas con las que vamos a trabajar, lo siguiente es aprender sobre la propiedad que queremos estudiar. Y esta propiedad se llama caos. Dicho de forma sencilla, un sistema dinámico es caótico cuando las órbitas que genera son impredecibles y complicadas.

Por ejemplo, si parto de dos puntos muy cercanos, puede que pasado un cierto tiempo, las órbitas estén alejadas. Esto es lo que se conoce como Efecto Mariposa. Pero también hay otras formas de ver que las órbitas son complicadas. Puede ocurrir que una única órbita esté cerca de cualquier punto del espacio; algo así como la Curva de Peano (esa que llena un cuadrado).

Matemáticamente hablando, hay muchas opciones para tratar de definir el caos de un sistema dinámico. Pero quizás la más extendida de todas ellas sea la definición dada por Robert L. Devaney en 1985 [2]. Según este matemático, un sistema dinámico \varphi:X\to X (donde X es un espacio métrico, es decir, en donde existe una distancia) es caótico si posee las tres siguientes propiedades.

  1. Dependencia sensible respecto de las condiciones iniciales.
  2. Existencia una órbita densa.
  3. Un conjunto denso de puntos periódicos.

La primera propiedad es, precismenete, el Efecto Mariposa y significa que existe una distancia fija \delta_0 (llamada constante de sensibilidad) de forma que sea cual sea el punto de partida que elijamos, siempre seremos capaces de encontrar otro punto de partida, tan cercano como queramos al anterior de forma que la órbita del primero y del segundo tarde o temprano están a una distancia mayor que \delta_0. Esta constante es fija para cada sistema dinámico caótico, y puede ser muy grande (con lo que las órbitas se separarían mucho) o bien pequeña (con lo que las órbitas se separarían poco). Lo importante aquí es que da igual lo cerca que queramos buscar el segundo punto, que siempre lo podremos encontrar: tanto si lo buscamos a 1 centímetro de distancia, como si lo buscamos a 1 nanómetro, o usamos la Longitud de Planck.

La condición 2 implica que hay una órbita que prácticamente llena todo el espacio, mientras que la 3 nos dice que por todos lados vamos a poder encontrar puntos cuyas órbitas sean periódicas (es decir, órbitas que pasado un cierto tiempo -llamado periodo- vuelven a su estado inicial).

En palabras del propio Devaney, un sistema dinámico caótico posee 3 ingredientes fundamentales. Debe ser impredecible, de ahí la condición del Efecto Mariposa; debe ser indescomponible (no se puede descomponer en sistemas más sencillos e independientes entre sí), y por ello la segunda condición, ya que al existir un punto cuya órbita llena prácticamente el espacio, no lo vamos a poder dividir (el espacio) sin romper, de alguna forma, esta órbita; finalmente tienen que tener un amplio elemento de regularidad en medio de este comportamiento aleatorio, y este elemento son los puntos periódicos que han de poder encontrarse en cualquier sitio.

Efecto Mariposa, caos… y una sorpresa.

Como se puede apreciar, el Efecto Mariposa aparece como una parte importante de la definición de caos. De hecho, es la primera condición, la de lo impredecible. Podríamos decir que desde las propias Matemáticas, se da a entender que el Efecto Mariposa es la parte fundamental del caos.

Y sin embargo…

Y sin embargo, las cosas no son lo que parecen. 7 años después de la aparición del libro en donde Devaney introduce su definición de caos, 5 matemáticos australianos obtienen un resultado genial y completamente inesperado: el Efecto Mariposa es una condición superflua.

¿Qué significa esto? ¿Qué no siempre hay efecto mariposa en el caos? No, no significa esto. Lo que significa es que esta condición se puede eliminar de la definición y todo sigue igual. ¿Qué se elimina? Pues entonces es que no está. Tranquilos. Lo que se demuestra en [1] es que un sistema dinámico que cumpla las condiciones 2 y 3, es decir, la existencia de una órbita densa y la existencia de un conjunto denso de puntos periódicos, automáticamente debe cumplir la condición 1, es decir, el efecto mariposa. Dicho de otro modo, el efecto mariposa no es más que una consecuencia del caos.

Pero quizás lo más sorprendente es la sencillez (desde el punto de vista matemático) de la prueba. El artículo tiene poco más de 2 páginas, de las cuales la demostración del resultado apenas media carilla. Pero es que las matemáticas que son necesarias para entender la prueba apenas necesitan conocimientos básicos sobre espacios métricos. Vamos, que cualquier estudiante de primero de Matemáticas, Física o incluso Ingeniería, tiene las herramientas necesarias para comprender la prueba.

Por lo tanto, podemos concluir que para poder hablar de caos, basta con tener una órbita que (casi) nos llene todo el espacio y muchísimas órbitas periódicas. Podríamos decir que un sistema caótico, divide al espacio en 2 partes: una de gran regularidad (conjunto denso de puntos periódicos) y otra totalmente conectada e indescomponible (una órbita densa). Amabas partes están tan entrelazadas entre sí, que es imposible separar una de la otra. El efecto mariposa es una simple consecuencia de todo lo anterior.

Así que, queridos lectores, espero que a partir de ahora, cuando oigáis hablar de caos, no os centréis únicamente en el efecto mariposa y pensad que hay otro tipo de impredecibilidad que caracteriza mejor el caos.

Referencias

ResearchBlogging.org[1]   J. Banks y otros, On Devaney’s definition of chaos, Amer. Math Month.99 4 (1992), 332-334. http://dx.doi.org/10.2307/2324899

[2]   L. R. Devaney, An introduction to chaotic dynamical systems, Benjamin/Cumings, Menlo Park, CA, 1986.

[3]   N. Feldman, Linear Chaos? (2001).

[4]   K. G. Grosse-Erdmann y Q.Menet Le chaos linéaire : un paradoxe? (2012) Traducción al español: Caos lineal: ¿una paradoja? (2012).

PD: Esta entrda participa en la Edición 3.141 (Abril) del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog DesEquiLibros.

Actualización: Si queréis ver una demostración de que el efecto mariposa es una condición superflua, podéis encontrarla en el artículo El Efecto Mariposa: una condición superflua del caos. La demostración que allí presento es prácticamente la que aparece en la referencia [1], aunque ligeramente adaptada para utilizar básicamente el concepto de distancia.

36 Comentarios

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Iván Rivera (@brucknerite)

Es una pena que yendo a comprobar si con mis exiguos conocimientos matemáticos de ingeniero podía entender tan elemental prueba, hubiera de encontrarme con el proverbial paywall en el artículo de marras [1]. Así nunca sabré si soy un ignorante normal o un ignorante al cuadrado ;)

P.S.: muy buen artículo.

DarylDaryl

¡¡Clariiiiiiisimo!!. Parafraseando a Di Stafano, “El caos es el caos”.

Explicación muy util para….los estudiantes de Matemáticas. Para el resto ya estan las paredes donde masejar nuestros cerebros a bases de cabezazos ¡¡borrico, borrico, no me entero de nada!!

Con tanto sistema discreto y tanta órbita mis neuronas se han ido “discretamente” con las neuronas.

Menos mal que en algún otro sitio como por aqui http://eltamiz.com/2012/04/11/la-teoria-del-caos/ está un poco más claro.

Por cierto, Edward Lorenz no uso a la mariposa como ejemplo inicial (eso fue una licencia poética posterior) sino el “batir de alas de una gaviota” que vistos los momentos politicos actuales que sobrevuelan este pais parece una metáfora más ajustada y de timo nada, certeza y bien bien cierta, vamos determinismo total.

Milú el BárbaroMilú el Bárbaro

Pienso igual, aunque te han perdido las formas. Me perdí en “Matemáticamente, dada una aplicación * “.

No sé que es una aplicación (ni un estado inicial, ni una órbita…).

DarylDaryl

En el articulo que cito viene lo de las alas de las gaviotas que, vuelto a releer no fue Lorenz quien lo dijo sino un compañero como corolario o consecuencia del articulo de Lorenz “Deterministic Nonperiodic Flow”.

Me chocó la anécdota porque, metaforicamente, la gaviota está en el simbolo del partido gobernante y su batimiento de alas si esta organizando tornados en muchos sectores de la sociedad española.

DarylDaryl

Con tanto caos se me ha despistado la neurona… en vez de decir “…mis neuronas se han ido “discretamente” con las neuronas.” queria decir “mis neuronas se han ido “discretamente” con las MARIPOSAS”.

En el post que he citado vienen enlaces a youtube donde ver representaciones gráficas sobre sistemas caóticos.

César

Estupendo artículo, Tito. Habrá asustado un poco a comentaristas como el anterior que ven algo escrito en LATEX y reculan en vez de leer, pero bueno. A mi me ha gustado y eso que no soy ni matemático, ni físico y ni siquiera ingeniero.

Una cosilla, me da la impresión de que aquí falta, al menos, un verbo: “podemos la órbita de bajo la acción de…”.

Tito Eliatron

Viniendo de quien viene, es todo un halago.
Es un artículo que llevaba algún tiempo barruntando para mi blog y que gracias a la última de las referencias me he atrevido a escribir. Y como vi que tenía potencial, lo he ofrecido a Amazings.

PD: La errata que dices se arregla sin más que sustituir PODEMOS por DEFINIMOS

Ahskar

Interesante artículo, aunque no es para el público general. Si no se tiene una intuición y conocimiento matemático mínimo, pues no se ve nada.
Pienso que en divulgación la claridad debería estar por encima del rigor y la exactitud siempre que se mantenga intacta la idea.

Un saludo.

Javi Maravall

No estoy del todo de acuerdo en eso. La buena divulgación debe conservar el rigor científico por encima de todo, pero conseguir explicar ideas complejas con claridad, amenidad y logrando “enganchar” al público no científico o no especializado en la materia.

Alejandro

Si quieres rigor, tienes que demostrar, y para conseguir que el lector entienda la demostración, necesita tener una base. En mi opinión, la divulgación rigurosa no puede existir por definición, ya que la divulgación se basa precisamente en simplificar los conceptos para llegar a todo el mundo.
Si el lector quiere profundizar más, que estudie más, sino, que se conforme con “la explicación para tontos”.
Estoy con Ahskar y también considero que si no tienes algo de base, el artículo es complicadillo de digerir.

Ahskar

Uhm, quizás rigor es una palabra peliaguda. Insisto en que es la idea la que debe quedar intacta: no tergiversarla o maquillarla. Y eso puede entenderse como rigor en un sentido periodístico.
Pero cuando he dicho rigor, estaba pensando más en el rigor del contenido científico-matemático de la idea: su precisión y completitud. Así, a la hora de explicar ciertas ideas una buena comparación, una metáfora o un esquema son mucho más esclarecedores que la más detallada de las demostraciones y el más completo de los teoremas. Eso provoca que se pierda “rigor”, pero facilita alcanzar la idea a quién carece de la base para entenderla en su forma más rigurosa.

Pero bueno, reconozco que no es una palabra completamente acertada para lo que quería decir :D

Alejandro

Ejemplo práctico: deformación del espacio-tiempo en Relatividad General. Cuando se quiere divulgar se coge un trozo de tela, se pone una bola y, ¡alehop! Ya tienes la intuición de cómo se curva el espacio-tiempo.
¿Rigor? Cero; utilizas la propia gravedad para curvar la tela. Sin embargo, el impacto visual para una persona sin base es claro y se ve por qué Einstein decía que sólo había geometría donde los demás veían una fuerza.
A nivel divulgativo, para mí, basta con esto. Ni mencionaría el tensor de curvatura ni nada. Si acaso, por encima el concepto de geodésica y poco más.
Esto es para mí divulgar.

AntoniaAntonia

Totalmente de acuerdo, divulgar es acercar.
Y acercaremos si somos capaces de hacer intuitivas las ideas científicas.
Saludos

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Javi Maravall

Lo que quiero decir es que no puedes simplemente desechar una idea o concepto importante de lo que estás tratando simplemente porque es difícil al público sin preparación. Una cosa es que quieras “vender”, por ejemplo, la Física; para esto está muy bien programas como “Cosmos” o exhibiciones como las de Brian Cox, pero no es la misma situación.
Esto es una web de divulgación a la que accedes si quieres y, como tal, se deben contemplar todos, los más fundamentales o los que más enriquezcan tu publicación -en este caso artículo-. Si hay gente a la que le resulta muy difícil, puede elegir no leerlo.

A mi parecer, el objetivo de este artículo no es mostrarte las maravillas de la Teoría del Caos, sino explicarla y conseguir que el lector la conozca de un modo más profundo al usual.

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Alejandro

Para que te hagas una idea de a lo que me refiero, yo el símbolo “pertenece” lo vi por primera vez en primero de carrera. Si vas al público general, al público sin estudios o con los estudios básicos y le pones un símbolo de pertenece… pues eso. Lo mismo para aplicación y órbita, conceptos usados en el artículo pero no clarificados. A eso me refería yo.
Ojo, el artículo está estupendo, me ha enseñado cosas que no sabía y referencias que no conocía. No se vaya a pensar alguien que es una queja al autor. Ni muchísimo menos.

Saludos

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MirkoMirko

Yo creo que un ejemplo “estilo divulgación” de teoría del caos es tomarse el bus.

Por 5 segundos te lo puedes perder y coger el de atrás y por eso estar en un choque, o que pinche, o que pase algo y llegar 30 minutos tarde al trabajo. O le puede pasar lo mismo al bus de adelante y que por eso demorarte 5 segundos te redunden en llegar más temprano.

AntoniaAntonia

Me gusta mucho lo que escribes y cómo lo haces.Siempre.
Nadie dijo nunca que las matemáticas fueran fáciles, pero tampoco hay que salir huyendo.A veces un poco se esfuerzo tiene recompensa.Y si no, que se lo digan a nuestra civilización.
Saludos

Tito Eliatron

Para el que le asusten las fórmulas, lo más importante de todo esto es que, en realidad, el EFECTO MARIPOSA no es la parte esencial del CAOS, sino una simple consecuencia.

Con eso es con lo que, creo, deberíais quedaros.

Por cierto, si alguien quiere echarle un vistazo a la prueba original, me lo podéis pedir por e-mail y a ver qué podemos hacer (guiño guiño, patada patada).

AraelArael

En PArque Jurásico se habla mucho de esta teoria y por eso la conocia.

Me refiero obviamente al libro, no la peli, que lo nombran de pasada.

Y Ian Malcom es solo la mitad de épico en la peli que en el libro:

“Nunca más me preocupará lo que haya más allá del paradigma, porque todo es diferente… al otro lado.”

Alan RobAlan Rob

Muy buen artículo. Me costó entenderlo completamente (aunque me siento obligado ya que soy estudiante de Ing. física).

FBRFBR

Me ha gustado mucho leer este artículo en la parte que entiendo, pero lo cierto es que como profano en la materia siempre había creído, intuitivamente, que el efecto mariposa era más una propiedad del caos que una causa del mismo. Nunca había pensado que cuando hablaban del efecto mariposa lo acusasen de ser el causante del caos, o uno de los causantes. Hoy me ha tocado descubrir que mi ignorancia me hacía sabio, y que ignoraba que ignoraba la verdad (al parecer una doble ignorancia se convierte en un conocimiento, -como en las matemáticas-, pues ahora la verdad es otra…, hasta nueva orden)

krollspellkrollspell

Yo no diría que las otras dos propiedades sean causantes del caos. Son la definición del mismo. Algo es caótico si cumple estas condiciones, del mismo modo que un número es par si es múltiplo de dos, no a causa de ello.

gihoy

Me ha encantado el artículo. Me parece interesantísimo el tema del “efecto mariposa”, esta vuelta de tuerca lo hace aún más interesante

salu2

JuanJuan

Pensando acerca de las propiedades 2 y 3 y tomando como ejemplo el batir de las alas de la gaviota (o mariposa) tienen mucha razón, porque si es un sistema denso y ademas indescomponible, pues el aleteo de una gaviota producirá efectos dentro de su mismo sistema, no en otro sistema diferente, es decir y lo digo a modo de supuesto y agradezco las aclaraciones:
“El aleteo de una gaviota no producirá una corriente marina y el aleteo de una ballena no producirá un tornado”.
No sé si desde este punto de vista es conveniente para analizar el caos para que sea comprensible para todas las personas.
Pd. el ejemplo de la corriente marina fue el primer “evento marino” que se me ocurrió.

Eliatron

Para aquellos interesados en profundizar algo más, he añadido una ACTUALIZACIÓN con un enlace (a mi propio blog) en donde se DEMUESTRA el hecho de que el efecto mariposa esuna consecuencia de las otras dos condiciones que definen el caos.

Couce

Bueno, y luego está lo que una gran mayoría de la gente entiende por “efecto mariposa” que gracias a un presentador-humorista (de más que dudoso talento) es una máquina de Rube Goldberg.

FranciscoFrancisco

Buen articulo.
Solo una duda, según entiendo el efecto mariposa (condición 1 de la definición) se desprende de la condición 2 y 3, ahora bien mi pregunta es ¿no se deriva (por ejemplo) la condición 3 de la condición 1 y 2? o ¿la condición 2 de la 1 y la 3?

mariamaria

Yo también me quedo con el chiste LO DICE TODO Y TE LO DA A ENTENDER TODO

lalalala

Cada vez que un matemático habla me recuerda al chiste de ‘sea una vaca esférica de radio r’. Al menos me he quedado con lo importante, que lo de la mariposa es una consecuencia, algo fácilmente entendible para todos. Desde un estado A (tranquilidad) un entorno puede llegar a un estado B (el huracán) debido a una acción inicial (batir de alas de la mariposa). Todo depende de las reglas que gobiernen el sistema.

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