Un acertijo: bebés y probabilidad

Para muchos de nosotros con Septiembre empieza el curso, y va siendo hora de desperezar las neuronas. Para tocar las narices echar una mano con el proceso, propongo un acertijo sobre probabilidad, una de las ramas del conocimiento más engañosamente sencillas.

Vamos con ello:

En una ciudad hay dos hospitales.

Uno de ellos es mucho más grande que el otro, y por lo tanto tiene capacidad para más pacientes.

El mes pasado sucedió una cosa curiosa. La sala de maternidad de uno de los hospitales registró que la proporción de bebés niña había sido ese mes muy superior a la de bebés niño (pongamos 75% de niñas, 25% de niños).

babies

¿En cuál de los dos hospitales es más probable que sucediese esta rareza, en el hospital grande o en el hospital pequeño?

Si lo desean, pueden responder aquí. Sean honestos y respondan antes de leer los comentarios. Publicaremos el resultado correcto en unas semanas.

Para los más exigentes en cuánto a detalles, dejo las siguientes aclaraciones:

  • Consideramos que las probabilidades en cada parto son 50% niño 50 % niña.
  • No tiene importancia sobre el resultado final, pero pongamos que ese mes no hubo partos múltiples de gemelos o mellizos.
  • La única diferencia relevante entre el hospital grande y el pequeño es que el hospital grande atendió a muchas más madres que el pequeño.

En resumen, no le busquéis tres pies al gato. No es un problema con truco ni trampa.

Actualización a 11 de Octubre de 2014:

Han pasado unos días, y hemos recibido más de 700 de respuestas al problema. La inmensa mayoría de ellas eran acertadas: la respuesta correcta es

En el hospital más pequeño.

Como esta página la escriben y leen escépticos, es de justicia dar una explicación. De hecho, daremos tres complementarias:

Explicación intuitiva:

Una desviación respecto de la media es más probable cuanto menor sea el tamaño del espacio muestral. Pensad por ejemplo en un hospital tan pequeñito que solo pudiese acoger una madre por mes. Todos los meses nacería un solo bebé, y por lo tanto SIEMPRE arrojaría unas estadísticas de 100% de bebés del mismo sexo. La probabilidad de un 100% de niñas sería muy alta, del 50%.

Un hospital que atendiese a 2 madres por mes podría acabar el mes con las siguientes combinaciones: (niño, niño), (niño, niña), (niña, niño), (niña, niña). Solamente habría una desproporción grande de niñas en el último caso, con probabilidad de 25%.

Explicación fundamental:

La propia definición de probabilidad nos dice lo siguiente:

la frecuencia relativa de aparición de un suceso tiende a su probabilidad cuando el número de repeticiones del experimento tiende a infinito. Si uno de los hospitales es mucho más grande que el otro, podemos intuir el resultado correcto.

Es un razonamiento que hubiese encantado a Laplace.

Explicación a lo bestia:

Vale ya de trucos, ¡calculemos esas malditas probabilidades! Para ello, nos valdremos del hecho de que nuestro hospital se puede modelar como lo que en matemáticas se llama un problema de Bernoulli: una repetición de varios sucesos iguales que solamente pueden tener dos salidas posibles, niño o niña en nuestro caso.

Las probabilidades del número neto de salidas vienen determinadas por un objeto matemático, parecido a y relacionado con la campana de Gauss, conocido como distribución binomial.

Haciendo uso de ella, podemos calcular la probabilidad de que el número de nacimientos de niñas sea que el 75% del total. Los resultados dependen del tamaño del hospital, y decrecen bastante rápido cuando este crece.

Por ejemplo, para 10 camas/mes, la probabilidad de que el número de niñas sea aproximadamente mayor que aproximadamente el 75% del total es de un 5.47 %, mientras que para 20 camas/mes se reduce hasta un 2.07 %. Con 30 camas/mes llegamos a un casi despreciable 0.26 % de probabilidades.


81 Comentarios

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ismmoismmo

Yo creo que en el pequeño.
Lo veo como tirar una moneda, cuantas más tiradas hagas, más se acercará a la proporción 50% cara 50% cruz.
Es más probable que al de pocas tiradas haya mas diferencia entre proporciones.
Si cambiamos el hecho de sacar una cara o una cruz por el de tener niño o niña, el hospital grande equivaldría a hacer un número alto de tiradas y por lo tanto la proporción se acercaría más al 50 50. En cambio el pequeño que equivaldría a hacer pocas tiradas, tiene mas posibilidades de tener unos porcentajes mas desproporcionados, por ejemplo 75% 25%.

Amon.RaAmon.Ra

No se puede saber los números tenderán a igualarse con el tiempo ha medida que aumenté el número de partos tendiendo a la probabilidad del 50 % . Por tanto es como tirar la moneda al aire . Sólo se cumple cuando has tirado un número significativo o muy alto de veces la moneda . Se rige por las leyes de la probabilidad

EnriqueEnrique

Estoy de acuerdo, cuanto mayor sea la muestra, mayor probabilidad de que el resultado se acerque a la media del 50%. El hospital pequeño tiene más probabilidad de un resultado alejado del promedio de igualdad entre niños y niñas.

Alt+126Alt+126

Solo en el caso que el primer hospital sea MUUUY pequeño, éste tiene mas probabilidad. El ejemplo extremo es sencillo.

1 nacimiento: proporción de 100 a 0 (si o si, no hay vuelta de hoja, el primero siempre será así
3 nacimientos: En el caso mas “nivelado” será 66 vs 33
5 nacimientos: En el caso mas “nivelado” será 60 vs 40

Excepto si hablamos de un 75% exacto. Eso implica que los nacimientos tienen que ser múltiples de 4 exactos? así la proporción y probabilidad es pareja.
Y si ya pasamos de cierto número mínimo de nacimientos, pues lo mismo, la probabilidad es exactamente la misma en ambos lados (75-25 o 12-4 es exactamente la misma proporción, no entra en juego la “falta” de muestras)

Salvor HardinSalvor Hardin

Ley de los grandes números ¿no?, por tanto en el hospital más pequeño es más probable que el resultado de nacimientos en un mes dado se aleje de la media esperada.

IomesmoIomesmo

En el pequeño. A medida que aumenta la población, la proporción de niños (resp. niñas) se debe acercar a la media, que es 0’5 (resp. 0’5).

JuanJuan

Yo diría que en el pequeño. El hospital grande ofrece una muestra más amplia, por lo que es de esperar que se acerque más al 50%. En una muestra más pequeña es donde es más fácil encontrar esa anomalías estadísticas. Si por ejemplo solo hubiese cuatro nacimientos, no sería fuera de lo común que tres de ellos sean niñas, con lo que ya tendríamos ese 75%. Pero si tenemos cuarenta nacimientos, sería muy raro que treinta de ellos fuesen niñas.

Matias

Me parece en el pequeño … porque para que en el total de la población se siga manteniendo masomenos en el 50/50 una variación tan grande en el hospital pequeño compensaría con una variación mínima en el hospital grande.

Pequeño Ejemplo: En el hospital pequeño de 100 bebes, 75 chicas y 25 varones. Entonces en el grande que tenemos por ejemplo 1000 bebes habría que tener 475 chicas y 525 varones ….

Alb.Alb.

Es evidente que es en el grande.

Si fuera el pequeño, entonces no seria un acertijo sobre “una de las ramas del conocimiento más engañosamente sencillas

JavierJavier

Yo creo que en el pequeño, por lo mismo que dice ismmo en el primer comentario. Por poner un ejemplo, si en un hospital han nacido 1000 bebés y en el otro 100, sería de esperar que en total fueran 550 niñas y 550 niños; ahora, como sabemos que en uno de los dos hospitales han nacido un 75% de niñas, si ese hospital es el grande, el resultado total sería de 800 niñas y 300 niños (73% y 27% respectivamente) . Pero si eso ocurre en el pequeño tendríamos 575 niñas y 525 niños (52% y 48% respectivamente), bastante menos alejado de la media y más parecido a lo que por probabilidad podríamos esperar.

NicolasNicolas

Mmm…. concuerdo con las dos primeras respuestas. Las dimensiones de la muestra son fundamentales. Si no recuerdo mal había un acertijo como este en un libro de Daniel Kahneman que leí hace tiempo. Pero mi cerebro se está oxidando… ¡queremos respuestas! :)

juan ruizjuan ruiz

En el grande hay más probabilidad de que se de esa circunstancia. Un ejemplo ilustrativo: si lanzamos 2 monedas a la vez hay una probabilidad de 1/2 de que salga el mismo número de caras que de cruces. Si lanzamos 4 monedas la probabilidad de obtener el mismo número de caras que de cruces es 6/16 ( corregid me si me equivoco que estoy contando mentalmente en la cama). Es decir la probabilidad de obtener un 50% de niños y niñas es menor cuanto más grande es el hospital.

EduardoEduardo

Efectivamente, con muestras grandes, la ptobabilidad de tener un 50% exacto de niños y niñas disminuye, es mas, para los nacimientos impares, directamente es imposible.
Pero el enunciado del acertijo dice un porcentaje muy superior. un 49% -51% o un 45%-55% o un 60-40 son sensiblemente iguales, pero un 75-25% o 70-30 o 20-80 no, y es a esto a lo que se refiere.

hk2hk2

Yo creo que en cualquiera de los dos hospitales es igual de probable que ocurriera esa rarera porque la probabilidad de nacer niño o niña es independiente del lugar donde ocurra.

Viéndolo desde la estadística:
Al ser sucesos independientes, la probabilidad de que por ejemplo sea niño, que llamaremos P(A) dado que se ha nacido en el hospital grande P(B)
P(A|B) = P(A).

EduardoEduardo

No son sucesos independientes, los estamos relacionando.

Independiente sería: en un hospital han nacido siete niñas y dos niños, cual es la probabilidad de que el próximo nacimiento sea de una niña. Pues 50%,

hk2hk2

Desde mi punto de vista, dado que en un hospital (da igual el grande o el pequeño) se haya dado un 25% de nacimientos de niños y un 75% de niñas, ¿cual es la probabilidad de que el siguiente sea niño o niña? Para mi es el 50%.

Pablo Rodríguez

La probabilidad de que el siguiente nacimiento sea de niño (o de niña) es del 50%. Así lo hemos enunciado explícitamente.

Ahora bien, el suceso al que hace referencia la pregunta no es un nacimiento individual.

XabiXabi

Lo siento Eduardo, yo estoy de acuerdo con hk2. Aunque al principio razoné como tu, es cierto que los sucesos son independientes el un del otro.
Tu lo que haces es compararlos, no volverlos dependientes entre si.
Ahora bien, aunque sean independientes habría que demostrar que el evento “alta proporción de nacimientos varones” es igual de probable en ambos hospitales y cosa que creo que es.

Sin embargo, he intentado aplicar Bayes para ver si me salía algo y creo que no iba muy bien encaminado. Quizas haya hecho algun error de cálculo. Si llego a algo más tarde lo compartiré

EduardoEduardo

No son independientes, si estas valorando un conjunto. La probabilidad de que en X nacimientos tres cuartas partes sean niñas y una cuarta parte sean niños.

EduardoEduardo

Sin duda ( y esto es mucho decir despues de haberme colado hasta el fondo con el globo que se movía), en el pequeño.

No se demasiado de estadística, y recuerdo menos, pero creo que había un principio que decía que en una muestra cuanto más grande, mas se acercaba la media de la muestra a la probabilidad del suceso individual.

Por otro lado, si partimos de conjuntos de 4 nacimientos, (ya que el autor habla de por ejemplo 25% niños-75% niñas), hay 16 posibilidades distintas, y en 4 de ellas 3 niñas, es decir 4/16 , simplificando 1/4.
El principio de porbabilidad condicionada dice que la probabilidad de un suceso ocurra condiconado a otro es el producto de las probabilidades, es decir 1/4 x 1/4 , 1/16 para dos grupos, aunque en realidad hay que sumar la probabilidad de que en el primer grupo haya dos niñas y en el segundo cuatro, y al reves, osea 4/16×1/16×2 = 8/256 = 1/32.
Para dos grupos la probabilidad sería 3/32,

Para cuatro nacimientos 1/4 = 25%
Para ocho nacimientos 3/32 = 9,37%
Par doce estaría del orden (no lo he calculado rigurosamente) de 14/1024 aprox 1,4%

EduardoEduardo

Me he confundido, el último no sería para doce, sino para 16 nacimientos

Para doce estara por el 4%

edurecioedurecio

En muestras pequeñas se pueden producir desviaciones estadísticas mayores que en muestras grandes. Así que consideremos la desproporción como una desviación achacable al tamaño de la muestra.

Por poner un ejemplo y exagerándolo, si alguien tnos dice que tiró una moneda al aire y le salió “cruz”, a nadie le extrañaría. Si nos dice que la tiró 1000 veces y en todas le salió cruz, diríamos que nos miente.
En ambos casos la desviación sobre el teórico esperado es del 50% , sin embargo el tamaño del muestreo nos lleva a pensar distinto.

El tamaño de la muestra es equivalente al tamaño del hospital, por lo que hay que pensar que el hospital pequeño se puede desviar más fácilmente del resultado esperado.

Emilio MolinaEmilio Molina

Si tira una moneda 1000 veces y en todas le salió cruz, creo que podría ser que dijera la verdad, por dos razones:
-Sería muy improbable, pero no imposible, y
-Podría haber alguna circunstancia que fuerce a ese resultado (una moneda trucada de alguna forma).

Yo también diría que el hospital pequeño tiene una muestra más propensa a desviaciones de la probabilidad para grandes números.

PapriviPaprivi

El más pequeño. Si calculásemos todas las combinaciones posibles de niños-niñas que pueden darse para un número dado de nacimientos, veríamos que a medida que este último número sea mayor, los porcentajes cercanos al 50% van siendo proporcionalmente mayores que el resto de porcentajes que pudieran darse.

AnselmoAnselmo

La pregunta dice: “en cual de los hospitales es MAS probable que sucediese esta rareza?”

Definitivamente es mucho MAS probable que suceda en el hospital pequeño, pero no quita que pueda suceder en el grande.

Jaja, es bastante complicado me estoy quemando mucho la cabeza.

EduardoEduardo

En el pequeño.

Seguro que conocemos familias de varios hijos, donde hay mucha desproporción.
Yo conozco una que tienen cuatro y las cuatro niñas, y unos amigos de la infancia eran cuatro, todos niños (aclaro que la mayoría de las familias que conozco suelen tener uno, dos o tres niños, lo de cuatro o más es un poco rareza)

En la clase de mi hija, los padres consideramos que está desproporcionado pues hay cinco niñas frente a diez niños, ya nos parece raro, pero ocurre y seguro que en muchos colégios es facil encontrar una clase desproporcionada

En el colegio de mi hija no tengo el dato exacto, pero seguro que casi están clavados los niños y las niñas al 50%
Encontrar un colegio con por ejemplo 200 niños y 400 niñas, es casi imposible. (entiendase colegio mixto sin otros condicionanentes, que yo de pequeño iba a uno que eramos casi 1000 niños, todos niños, que era de curas, pero en el de enfrente iban casi mil niñas, todas niñas, que era de monjas, pero eran otros tiempos)

pericoperico

… pues conozco al menos un caso de 5 de cinco hijas. Y para continuar, luego cuatro de cuatro nietAs.

EduardoEduardo

No es difícil, casi todos conocemos de algún caso parecido, pero una clase con 15 niñas y 5 niños, ya es mucho mas raro, aunque alguno podrá haber, pero un colegio con 300 niños y 100 niñas…

picholaspicholas

olé por tu tipica respuesta “de bar”. Sale en la tele un cientifico diciendo “la proporción de curación de un medicamento es del 95 por ciento” o sea muy alta y tú contestas “venga yo no me lo creo que mi vecino tomó uno de esos y no le hizo nada”

FrgarciaFrgarcia

Joder (perdón)

Al leer el enunciado me pareció obvió el problema: que si la ley de los grandes números, que si el tamaño de la muestra, etc… Y en consecuencia voté que era obvio que en el pequeño.
Pero…
Vamos a coger la muestra de cuatro nacimientos que decían más arriba. Sabemos que probabilidad es: casos favorables (CF)/casos posibles (CP). Casos posibles es evidente que son 16. Y ahora:
– casos posibles para que todos sean del mismo sexo son dos: todo niños (OOOO) o todo niñas (AAAA). O sea 2/16 = 1/8.
– para tres niños (el 75% que nos piden) sería AOOO, OAOO, OOAO y OOOA. Lo mismo para tres niñas. O sea 8 casos posibles por lo que la probabilidad es 8/16, o sea1/2.
– para dos niños y dos niñas es AAOO, AOAO, AOOA, OAAO, OAOA, OOAA, o sea 6/16 es decir 3/8.

Por tanto, cuando el tamaño de la nuestra es MAYOR es lógico que nos acerquemos a la mayor probabilidad, o sea que me desdigo de lo que voté, me flagelo y me maldigo y digo que la mayor probabilidad se dará en el hospital grande.

Alguien que me corrija, por favor, que lo estoy flipando…

PapriviPaprivi

No hay que confundir la probabilidad de que se de una proporción determinada y concreta, que para cualquier caso es menor a medida que sea mayor el tamaño de la muestra, que la probabilidad de que el resultado sea el 50% o cercano a este valor, que a medida que el tamaño de la muestra sea mayor será más probable.

Si se representara gráficamente el tanto por ciento de niños nacidos (o niñas) respecto al total, frente al número de casos para cada porcentaje, daría una curva con forma de campana (campana de gauss) que sería cada vez más alta en el entorno del 50%, respecto a otros porcentajes, a medida que el tamaño de la muestra crece.

Pablo Rodríguez

La distribución en un caso como este tiene forma de campana, pero no de campana gaussiana.

Hablaremos de la distribución concreta cuando demos la solución en los próximos días.

FrgarciaFrgarcia

Es que según lo veo yo el enunciado tiene algo de truco. Si la pregunta es sobre, por ejemplo, 75% de nacimientos de niños frente a un 25% de niñas está claro que es más probable un 50% (6/16 frente a 4/16 en mi ejemplo), pero si pides un 75/25 te valen dos resultados: tres niños y una niña o tres niñas y un niño, y los casos posibles se duplican. Por eso el enunciado dice “POR EJEMPLO” y por eso digo que tiene truco…

Pablo Rodríguez

Pero Frgarcia, en el enunciado se especifica claramente que el desequilibrio fue hacia un mayor número de niñas, no de niños.

A pesar de ello, es un detalle que no afecta al resultado final. He intentado dejarlos todos asentados para intentar centrar la atención en el núcleo de la cuestión.

De verdad, no hay truco. Es un problema directo, bien planteado, no demasiado difícil y con una respuesta clara.

FrgarciaFrgarcia

Pues si es así…..me rindo. Espero ansioso la respuesta.

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JaviJavi

No se pueden sumar los cuatro casos de 75% niños + los cuatro casos de 75% niñas para decir que son 8/16=50%
Son casos diferentes. El más probable es el de 50% niños (o niñas) = 6 casos de 16.
despues 75% niños con un 25% o 4/16 y 75% niñas con otro 25% o 4/16.

Las respuesta correcta creo que sería en el hospital pequeño por lo que han comentado los demás, en una población menor la desviación puede ser mayor. A lo largo de los años la media tenderá al 50% pero es más probable que en un mes determinado la desviación se desvoque.

ResisResis

A ojo de buen cubero y sin haber leído los comentarios, por mi lógica web utilice me voy por el hospital pequeño, entre más muestras de dos posibles resultados es probables acercarse al 50% 50%

BasilioBasilio

Si X1, X2,… Xn es una muestra aleatoria de n bebés donde Xi=1 si es niña, Xi=0 si es niño, la proporción muestral, M, sigue aproximadamente (por el Teorema Central del Límite; para n suficientemente grande; supongámoslo así), una distribución normal de media 0’5 y desviación típica 1/(2*raiz(n)). Y tenemos:

P(M>0’75)=(tipificamos; Z:N(0,1))=P(Z>0’5*raiz(n))

Y, a mayor n, más a la derecha en la cola estamos y menor es dicha probabilidad. Es decir, es menos probable que la proporción muestral se aleje de la poblacional cuanto mayor es el tamaño de la muestra.

Yo vivo en La Rioja y me hacen gracia los habituales titulares del periódico local: “La Rioja es la que más…”, “La Rioja es la que menos…”. ¡Lógico! Casi siempre junto con Murcia, Cantabria… Que ocurra (o no) un feo accidente de tráfico nos puede hacer ser el mayor incremento o el mayor descenso respecto al verano pasado.

Buen final de verano. ¡Conducid con precaución!

picholaspicholas

yo estoy de acuerdo con tu argumento, pero antes han dicho que la distribución de aquí no es la campana de gauss, pues no sé a qué campana se referirán, si a la campanilla de eustaquio o la campana del gorriaga, ya de contarán

BasilioBasilio

La distribución original es la Binomial, que es discreta, asigna probabilidad a los números enteros: 0, 1, 2, 3…, y su histograma de probabilidad tiene forma acampanada.

J.G.MasJ.G.Mas

Por posibilidades, la respuesta puede ser el hospital pequeño o el grande. Pero la pregunta esta clara, donde es más “probable” que suceda. Que es más “probable” que se den 75 niñas y 25 niños o 750 niñas y 250 niños, teniendo en cuenta que la probabilidad de que sea niño o niña es del 50%.

Mikel KMikel K

Suponiendo un hospital tan tan tan grande que…. se han producido infinitos nacimientos, la probabilidad de que en ese hospital haya un 75% contra un 25% es … tatatachán .. CERO.

bien, si en ved de ser infinitos, son 42exp(+42) la probabilidad no será cero pero será muy pequeña, por ello vemos como la probabilidad de apartarse del 50% decrece cuanto mayor es la población de nacimientos.

Saludos !

PapriviPaprivi

En realidad, lo paradójico es que la posibilidad de que sea un 50% EXACTO de niñas nacidas frente al total de nacimientos, también tiende a cero cuando aumenta el tamaño de la muestra. lo que ocurre es que en la zona cercana a ese 50% tiende “con menos fuerza” a cero que en el resto de valores posibles.

Esto es lógico ya que a medida que aumentamos el tamaño de la muestra, existen más cantidad de porcentajes posibles que pueden darse, con lo que las probabilidades tienen que repartirse entre más cantidad de casos. Por ejemplo, en el caso de cuatro nacimientos solo pueden darse el 100-0, 75-25, 50-50, 25-75 ó 0-100, pero si el tamaño de la muestra fuera de 100, los porcentajes podrían ir desde 100, 99, 98, 97…

MIkel kMIkel k

Curiosa contestación, no lo había pensado, y me ha dejado un rato pensando.

Si tenemos infinitos nacimientos la probabilidad de que haya 50% niños y niñas exacto no podría ser cero porque el sumatorio de todos los casos debe de ser uno, y si todas las demás probabilidades son cero, no existiría probabilidad.
La función de probabilidad debe ser un cero con una delta en 50% a 1.

Es correcto esta argumentación ? Ambicionen.

PapriviPaprivi

No tiene porqué. El sumatorio de una cantidad infinita de términos que valen cero no tiene que ser necesariamente cero. En eso se basa el concepto de la integración. Y en este caso ya nos encontramos, como dice Pablo, en el terreno de las integrales.

Saludos.

joaquinjoaquin

En el pequeño sin duda.

Aunque intuitivamente se pueda pensar que es un 50% independientemente del tamaño del hospital (algo muy extendido a juzgar por los comentarios del hilo), utilizando correctamente la combinatoria hayaremos una sorprendente solución.

Llevemos el problema al extremo para darnos cuenta de por donde van los tiros:
Calculemos la posibilidad de que en un día nazcan un 100% de varones en un hospital (nos da lo mismo un 100% que un 75% de varones, ya que dentro de cada hospital, cada uno de los resultados posíbles sí que tiene la misma posibilidad). La posibilidad de esto es 2 elevado a n madres.

Imaginemos un hospital con una capacidad de 2 madres diarias. La posibilidad de que nazcan un 100% varones es muy real, 2^2=4 >> 25% posibilidades.
En hospitales de 3, 4 y 5 madres serían unas posibilidades de 12,5%, 6,25% y 3,125% respectivamente.

Ahora tomemos una ciudad “A” con un hospital con capacidad para 20 madres, y una ciudad “B” con capacidad para 100.

A= 2^20 = 32768 >> 0,003% de probabilidad de nacimientos de todos varones.
B= 2^100 = 1,26765060022823 * 10^30 >> (7.8886091 *10^29)% >> es decir , casi imposible.

ernestoernesto

Cambio ligeramente el problema para verlo de un modo más simple y buscar una solución. En vez de considerar un mes voy a suponer que los resultados se dan en un día. Como debe obtenerse una proporción exacta de 25% varones y 75% mujeres, ello no puede ser posible sino sólo cuando el número de camas o nacimientos sea multiplo de 4: por lo tanto, 4, 8, 12, 16, 20,…. camas/nacimientos.

4 camas o nacimientos: (1V, 3M) –> 3M/4 x 100 = 75%
8 camas o nacimientos: (2V, 6M) –> 6M/8 x 100 = 75%
12 camas o nacimientos: (3V, 9M) –> 9M/12 x 100 = 75%
…..
Pero el número de combinaciones posibles de varones y mujeres, dentro de las cuales hay sólo una combinación que nos da el resultado (25%, 75%), aumenta con el número de camas/nacimientos.

4 camas o nacimientos: (V, V, V, V) (V, V, V, M) (V, V, M, M) (V, M, M, M) (M, M, M, M) (100%, 0%) (75%, 25%) (50%, 50%) (25%, 75%) (0%, 100%) –> dan n+1 combinaciones = 5 combinaciones posibles con una probabilidad de cada una de ellas de 1/n = 1/5

8 camas o nacimientos…. –> dan 9 combinaciones posibles con una probabilidad de 1/9

12 camas o nacimientos … –> dan 13 combinaciones posibles con una probabilidad de 1/13

…..

Por lo que la probabilidad de que se dé la proporción (25%, 75%) en un hospital mas grande, es más baja que para uno más pequeño.

ernestoernesto

Perdón, en la parte final debe leerse (y calcularse) “…con una probabilidad de cada una de ellas de 1/(n+1)” en vez de “1/n”. Siendo n el número de camas o nacimientos.

EduardoEduardo

Creo que tienes un error de base, el número de caso posibles no son las combinaciones, sino las permutaciones con repetición.
Para dos opciones (niño/niña) es 2^n, es decir, para un nacimiento 2, para dos nacimientos 4, para tres 8, 4 son 16, 5»32, 6»64, 7»128, 8»256,etc

ernestoernesto

No quise plantear la solución en términos muy matemáticos, pues nunca me llevé bien con permutaciones, combinatorias, variaciones… Repito el razonamiento esperando ser un poquito más claro

Distinguiendo casos de nacimientos de varoncitos (V) y mujercitas (M), n camas (de un hospital) pueden ser ocupadas de n+1 maneras distintas (sin importar el orden de ocupación).

1 cama puede ser ocupada por (Varón) o por (Mujer) –> o sea, de 2 maneras distintas –> (100% de las camas las ocupan V) ó (100% de las camas las ocupan M)
2 camas pueden ser ocupadas por (VV) ó (VM) ó (MM) –> o sea, de 3 maneras distintas –> (100% V) ó (50% V, 50% M) ó (100% M)
3 camas pueden ser ocupadas por (VVV) ó (VVM) ó (VMM) ó (MMM) –> o sea de 4 maneras distintas –> (100% V) ó (66% V, 33% M) ó (33% V, 66% M) ó (100% M)
4 camas pueden ser ocupadas por (VVVV) ó (VVVM) ó (VVMM) ó (VMMM) ó (MMMM) –> o sea de 5 maneras distintas –> (100% V) ó (75%V 25% M) ó (50% V 50% M) ó (25% V, 75% M) ó (100% M) [debe advertirse que uno de estos casos corresponde a la rareza (25% V, 75% M), siendo su probabilidad de ocurrencia de 1/5 pues son 5 las maneras posibles]

… podemos proceder de idéntica manera para n=5, 6, 7,….

Observaremos que para n=8, 12, 16,… (múltiplos de 4) siempre habrá un caso (y sólo uno) donde (25% V, 75% M), por lo que será será 1 entre (n+1) casos posibles, o sea, 1/9, 1/13, 1/17…. respectivamente

Como podrá advertirse, cuando aumenta el número n de camas (mayor cantidad de nacimientos que pueden ocupar camas, por lo tanto hospitales cada vez más grandes) disminuye la probabilidad de que ocurran casos (25% V, 75% M)

EduardoEduardo

Te confundes, dos nacimientos o dos camas no son tres posibilidades, son cuatro.: vv,vh,hv,hh, horas igual, con un 25% de posibilidades, para tres son ocho: vvv,vvh,vhv,vhh,hvv,hvh,hhv,hhh

ernestoernesto

No veo la importancia del orden en el problema. ¿Por qué consideras distinto a vh de hv? ¿Acaso el problema cambiaría si en vez de un 75% de niñas y un 25% de varones fuera un 25% de varones y un 75% de niñas? Es lo mismo. No veo porque te importa el orden.

0 (0 Votos)
Pablo Rodríguez

@ernesto: El orden importa, porque altera el número de posibilidades y por lo tanto la probabilidad.

Por ejemplo, con dos nacimientos hay 4 opciones igualmente probables:

VV, VM, MV, MM

El caso 1 varón, 1 mujer vale doble de cara a las probabilidades.

+1 (0 Votos)
ciudadanociudadano

Creo que estás errando el tiro. El enunciado no dice una ” proporción exacta de 25% varones y 75% mujeres”, el literal del enunciado es “proporción de bebés niña había sido ese mes muy superior a la de bebés niño”, y pone como ejemplo [75,25], supongo que por aclarar el enunciado, pero bien podría haber sido [74.63, 25,37] …

El motivo de que sea el pequeño está en la distribución binomial.

ernestoernesto

Se podría considerar el caso de que interese “la cola”. Esto es, de que la rareza fuera resultados mayores o iguales a un 75% de mujeres (o lo que es lo mismo, menores o iguales a un 25% de varones).
El resultado es el mismo. En un principio (con pocas camas) la cantidad de casos con una proporción igual o superior a un 75% de mujeres supera el 25% de los casos (por ejemplo para 4 camas sería de 2 casos/5 casos posibles, o sea un 40%). Al aumentar el número de camas o nacimientos la proporción entre el número de casos de mujeres respecto del total tiende asintóticamente a un 25%.
Por lo que las rarezas (proporción de camas ocupadas por, o de nacimientos de mujeres, iguales o superiores a un 75%) se daría más en hospitales chicos que en grandes

ciudadanociudadano

Sea H1 el hospital “grande” con un número n de nacimientos totales, y H2, el hospital “pequeño”, con un número m de nacimientos totales, siendo n >> m.

Los nacimientos de niños son variables aleatorias que tienen una distribución binomial, que se expresa como
H1: X1 ~ B(n, 0.5)
H2: X2 ~ B(m, 0.5)

Ahora, elegimos un valor cualquiera k, menor que n/2, que representa el número de niños nacidos en el hospital H1. Sea por ejemplo n = a*k. Y análogamente, para el hospital H2, definimos r, como m = a*r.

Calculamos la probabilidad de que haya habido k nacimientos de niños en el hospital H1, y r nacimientos de niños en el hospital H2 como
P(X1 = k)
P(X2 = r)

Se puede comprobar que P(X1 = k) < P(X2 = r)

Por lo tanto, la probabilidad de que en el hospital H2 (el hospital “pequeño”) haya un número de nacimientos alejado del reparto de 50%, es mayor que en el hospital H1 (el “grande”)

MARIO BROUWER SEGURAMARIO BROUWER SEGURA

Cuanto mayor sea la muestra con respecto a la población que representa, mayor será la seguridad de que los resultados estén más cerca de la situación real, por lo que en el hospital mayor habrá una tendencia al resultado real de 50% varón 50% hembra, dando por resultado que en el hospital pequeño será donde hayan más posibilidades de que se del el 75%-25%

BelénBelén

La respuesta en “Pensar rápido, pensar despacio” libro maravilloso de Daniel Kahneman. Una muestra grande es menos probable que se aleje del 50%.

ALexALex

La naturaleza siempre se asegura que hayan más “hembras” para perpetuar la especie, así que es imposible que sea 50% – 50% jojojo…
Saludos.

MARIO BROUWER SEGURAMARIO BROUWER SEGURA

No te creas, se ha demostrado que el espermatozoide con cromosoma Y se mueve más rápido que el X, normalmente el sexo del bebe suele venir dado por la calidad de los espermatozoides del padre siempre proliferan mejor uno de los dos (X,Y)

picholaspicholas

de todas formas este problema no se cumpliría jamás en la vida real, porque sabemos que con los recortes nunca hay camas libres, las mandarían a parir a casa

Ó.

Apuesto por el pequeño, por las mismas razones que los otros comentarios.

En el enunciado me despista eso de “pongamos 75% de niñas, 25% de niños”. ¿Quiere decir *exactamente* esos porcentajes, o nos vale *aproximadamente*? Que de 8 nacimientos 6 sean niñas no ha de ser raro. Que en 8.000 nacimientos *exactamente* 6.000 sean niñas se antoja muy poco probable.

Pero si admitimos un 10% (por ejemplo) de tolerancia arriba o abajo de ese 6 y de ese 6.000 (o sea, de 5.400 a 6.600), las cuentas son distintas (no para el 6).

En cualquier caso, sigo apostando por el pequeño.

EduardoEduardo

Está claro que el 75-25% no se refiere con exactitud, es una cifra para fijar el orden de lo que debe entenderse por “muy superior”.
Además son cifras “redondas” que deben entenderse y más en su contexto como aproximadas.

Si hubiese dicho, por ejemplo 74,296% a 25,704%, debería entenderse que se refiere a ese porcentaje en concreto, pero con el 75/25% debe entenderse que es de ese orden, peor que es igual ese, que 80/20% o 70/30%.

Es como cuando se dice que alguien le han puesto una multa por exceso de velocidad. ¿iba muy rápido? a 180 km/h, debemos entender que iba muy por encima de 120, lo mismo da 175 que 186, no que fuese a 180km/h exactos o a 180 +- 0.0001 km/h

DarylDaryl

El único “truco” que veo es la indefinición de algunas cifras. Por una parte se afirma el porcentaje 75-25% y por el otro se realizan comparaciones estilo barrio sesámo pero sin imagenes:
“Uno de ellos es mucho más grande que el otro”

¿que es, “mucho más grande”?. 400 es, en principio, mucho más grande que 4 por tanto en 4 nacimientos, hospital pequeño, es más probable (en principio) que se de la posibilidad de 75-25%.

Y digo, en principio, porque a lo largo de una serie siempre será más probable que se dé esa circunstacian una o varias veces en el hospital pequeño, pero eso no es óbice para que en un determinado més a lo largo de varios años SE DA LA MISMA PROPORCIÓN EN EL HOSPITAL GRANDE.

Entonces, si nos dejamos llevar por el metalenguaje y consideramos “sucedió una cosa curiosa.” como una excepcionalidad el fenómeno se daria en el hospital grande ya que en el pequeño (SI ES MUY PEQUEÑO) no seria raro que sucediera tal fenómeno.

ciudadanociudadano

Entonces, si nos dejamos llevar por el metalenguaje y consideramos “sucedió una cosa curiosa.” como una excepcionalidad el fenómeno se daria en el hospital grande ya que en el pequeño (SI ES MUY PEQUEÑO) no seria raro que sucediera tal fenómeno.

¿Qué pregunta el amigo Pablo?
¿En cuál de los dos hospitales es más probable que sucediese esta rareza, en el hospital grande o en el hospital pequeño?

¿Cómo se llama la entrada?

Un acertijo: bebés y probabilidad

Ni metalenguajes ni gaitas. No es una adivinanza. ¿Dónde es más probable el suceso descrito? … en el hospital pequeño

jose manueljose manuel

Donce dice: ” .. no le busques tres pies al gato. ” deberia decir: ” no le busques tres pelos al gato” . Es imposible encontrar un gato con pelo de tres colores. Si lo ves, no es gato es gata. Genetica. En algun momento de la historia se cambió el dicho.

alsdkfjlasjdfalsdfalsdkfjlasjdfalsdf

En el grande. No, es mentira xD en el pequeño. Es evidente que cuanto más pequeña es la muestra más probable es que se dé una rareza.

luly34luly34

No lo entiendo.Aunque bueno,tengo 13 años…Yo creo que hay igual probabilidad

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