Mide el tamaño de la Tierra antes de irte de vacaciones

Actualización [20/06/16 8:45 h]

Ya se han abierto en http://eratosthenes.ea.gr/ los formularios para registrar tu escuela y tus resultados. No dejes de visitarla, ¡no lo dejes para septiembre! El proceso es sencillo, pero si tienes duda, puedes echar un ojo aquí.

Actualización [15/06/16 19:00 h]

Aquí tenemos un vídeo explicando todo de @JaSantaolalla para Date un voltio con la colaboración de @unicoos, @charlylabs y @curiosamente.

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En la mayoría de las escuelas e institutos hay unos días muy tontos, se trata de las últimas jornadas de clase, justo antes de las vacaciones de verano. Desde Naukas os proponemos una actividad para el día 21 de junio, hazlo antes de irte de vacaciones, ¡que no te quede para septiembre! No lo dejes para septiembre y anima a tu profesor para realizarla.

Desde la cuenta de Youtube Date un voltio ya nos explicaron de forma divertida cómo realizar el experimento, te aconsejamos que le eches un ojo. En poco tiempo publicarán otro vídeo, os mantendremos informados.

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La primera medida de la circunferencia de la Tierra
Desde hace siglos se sospechaba que la Tierra era redonda, sobre todo por el hecho de la sombra circular que dejaba la Tierra sobre la Luna en los eclipses. También hace más de dos mil años que conocemos el radio de la Tierra. ¿Sabes quién lo hizo? En el siguiente vídeo nos lo cuentan Javier Armentia y Joaquín Sevilla, en uno de sus capítulos de Ciencia en el bar, donde puedes reforzar las ideas que has aprendido con el vídeo anterior.

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Se trata por tanto de Eratóstenes de Cirene (siglo III a. C.), un matemático griego que fue el director de la mítica Biblioteca de Alejandría, lugar donde residió gran parte de su vida (en Alejandría, no en la Biblioteca). Había leído en un antiguo papiro que un palo vertical no arrojaba sombra en un día concreto del año, en el solsticio de verano (entre el 20 y el 22 de junio para el hemisferio norte). El sitio donde ocurría esto era Siena, la actual ciudad de Asuán en Egipto (no convertir con la Siena italiana), también sabía que ese era el único día en el que se iluminaba el fondo de los pozos. Pero lo más curioso, esto ocurría en Asuán a la par que en Alejandría no pasaba. Era una prueba de que la Tierra presentaba cierta curvatura. Le dio un par de vueltas a la situación y unió el concepto de sombra del gnomon junto con la distancia entre las ciudades para estimar la circunferencia de la Tierra. Veamos cuál fue su idea.

 

Un gnomon es un palo o estilete vertical u oblicuo colocado estratégicamente para poder medir las horas del día con su sombra. Créditos: Wikipedia.
Créditos: Wikipedia.
No confundas «gnomon» con «gnomón». Créditos: Fuente propia.
No confundas «gnomon» con «gnomón». Créditos: Fuente propia.

 

El procedimiento de Eratóstones
Hoy sabemos que en el trópico de Cáncer los rayos de luz provenientes del Sol incide perpendicularmente el día del solsticio de verano. Asuán está casi en el trópico de Cáncer. Observa en la imagen que mientras que en Asuán no hay sombra, en Alejandría sí se arroja sombra.

 

La imagen no está a escala por dos motivos. El primero es el tamaño desproporcionado de los palos respecto a la circunferencia, el segundo es la separación angular entre las ciudades. Se han exagerado las dos variables a favor de la comprensión. Créditos: Fuente propia.
La imagen no está a escala por dos motivos. El primero es el tamaño desproporcionado de los palos respecto a la circunferencia, el segundo es la separación angular entre las ciudades. Se han exagerado las dos variables a favor de la comprensión. Créditos: Fuente propia.

Eratóstenes se dijo a sí mismo: si soy capaz de medir la distancia entre las dos ciudades y el ángulo que hay entre ellas respecto al centro de la Tierra, podré hacer una regla de tres y estimar la circunferencia terrestre. Es fácil verlo con las explicaciones que siguen y analizando el siguiente dibujo.

Cómo midió el ángulo
Aunque en la época de Eratóstenes no se usaba la trigonometría, nosotros podemos deducir la medida del ángulo mediante el uso de la tangente (él trabajó con semejanza de triángulos, ¿te atreves a deducir la demostración?). En la imagen puede verse que el ángulo del rayo de luz con el gnomon coincide con el ángulo que separa las dos ciudades. Si quieres comprobarlo, interactúa con el applet que hemos generado en Geogebra (tienes que hacer clic en el extremo superior del palo de Asuán y desplazarlo). Solo basta medir la longitud del gnomon y la longitud de la sombra.

 

Recuerda que el ángulo entre las dos ciudades no es real. Créditos: Fuente propia.
Recuerda que el ángulo entre las dos ciudades no es real. Créditos: Fuente propia.

 

Cómo midió la distancia entre las ciudades
Eratóstenes costeó de su propio bolsillo una expedición hasta Siena con esclavos: ¡los puso a contar pasos! Se trata de la longitud de arco «D» en el dibujo.

Cómo extrapoló a toda la Tierra
Se trata de una sencilla regla de tres o de un factor de conversión: si a un ángulo «α» corresponde una longitud «D», entonces a un ángulo de 360º corresponderá todo el perímetro de la Tierra. A partir de la expresión del perímetro de una circunferencia es fácil determinar el radio. A Eratóstenes le salió un perímetro de la Tierra de unos 40.000 km, un resultado nada malo para los errores que cometió en la medida. Puedes ver los números manejados por Eratóstenes en multitud de páginas web, un ejemplo lo tienes en Proyecto Celestia.

¿Cómo puedes medir tú mismo el radio de la Tierra?
Estos antiguos tenía mucho tiempo para mirar al cielo, no había WhatsApp ni Instagram, imagínate. Piensa que si se hacían estas cosas deberían tener algún atractivo. Hazlo tú mismo y verás qué satisfacción más grande. Tú eres capaz, solo necesitas seguir cinco pasos:

  • Paso 1: Busca los materiales necesarios.
  • Paso 2: Mide la distancia de tu localidad hasta el trópico de Cáncer.
  • Paso 3: Tenlo todo preparado para el día 21 de junio, aunque puedes hacerlo otro día. Realiza en grupo varias medidas a la hora indicada. También puedes hacerlo solo.
  • Paso 4. Efectúa las operaciones pertinentes.
  • Paso 5: Presume de lo que has hecho en las redes sociales.

Paso1. Materiales
1. Gnomon. Esto puede ser cualquier palo que puedes poner en posición vertical. No debe ser mayor de 1 m ni inferior a 50 cm. Una opción ideal es un recogedor, pero también puedes usar un palo selfie o un soporte de laboratorio.
2. Papel. Para apuntar las medidas de la proyección de la sombra.
3. Lápiz. Para realizar las marcas sobre el papel.
4. Calculadora.
5. Google Maps. Para medir la distancia de tu localidad al trópico de Cáncer.

 

Materiales necesarios. Créditos: Fuente propia.
Materiales necesarios. Créditos: Fuente propia.

 

Paso 2. Distancia de tu localidad hasta el trópico de Cáncer
El trópico de Cáncer está situado a una latitud de 23º 26′, barriendo todas las posibles longitudes a lo largo de un paralelo. Imagina una línea curva (porque descansa sobre la superficie curva terrestre) que une tu localidad con el trópico de Cáncer, pero que corte a este de forma perpendicular. Pues bien, esta línea nos dará la distancia entre tu localidad y el trópico de Cáncer. Necesitas, por tanto, conocer la longitud de tu localidad y medir la distancia hasta un punto de coordenadas iguales a 23º 26′ 14” de latitud (trópico de Cáncer) y longitud igual a la de tu localidad.

Te vendrán dos preguntas: (1) ¿Cómo sé cuáles son las coordenadas de mi localidad? (en realidad te interesa solo la longitud) y (2) ¿Cómo sé en qué punto está está ese lugar en el trópico de Cáncer que tenga mi misma longitud? Tranquilidad, date un par de minutos en leer lo que sigue y en ver el vídeo.

(1) Para conocer tus coordenadas haz clic en Google Maps sobre el punto donde vayas a tomar las medidas, abajo aparecen las coordenadas señaladas (llamemos a este punto «Localización 1» y lo marcamos en el mapa dando a la estrella de guardar). Si tienes problemas, también puedes usar la página coordenadas-gps.com o cualquier otra herramienta, ¡despierta tu ingenio! Por ejemplo, si se hace desde el Colegio Ntra. Sra. del Perpetuo Socorro en Rota (Cádiz, España), el patio tiene -6º 22′ 16” de longitud.

(2) Escribe en el buscador de Google Maps las coordenadas correspondientes: primero la latitud del trópico de Cáncer y luego tu longitud. Una forma correcta de escribirlo sería: 23º 26′ 14”, -6º 22′ 16” (llamemos a este punto «Localización 2» y lo marcamos en el mapa dando a la estrella de guardar).

Ya estás preparado para medir la distancia desde tu lugar de experimentación hasta el trópico de Cáncer (recuerda que la hemos llamado «D», no te pierdas). No creo que tengas esclavos para ponerlos a andar y contar sus pasos, así que lo mejor es que midas la distancia hasta el trópico con Google Maps. Ve a la «Localización 1», haz clic con el botón derecho del ratón y aparecerá un diálogo, escoge «Medir distancia», arrastra el ratón hasta la «Localización 2». Y ya, así de fácil. Aún así, si no lo has pillado, te dejamos un pequeño tutorial en vídeo.

 

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Paso 3.1. Cuándo medir
Vamos a medir todos los que podamos el día 21 de junio, la hora aconsejable es el momento en el que la sombra del gnomon es la menor posible, es decir, cuando el sol está lo más elevado sobre tu cabeza. En ese momento en el trópico de Cáncer los palos no arrojan sombra. Si el día 21 está nublado, puedes hacerlo el día 20, ¿realmente se comete demasiado error? Puedes comprobarlo haciéndolo los dos días.

Para saber la hora exacta tienes dos métodos:

1. Puedes usar una calculadora on line para conocer tu mediodía solar. Basta con introducir la longitud del lugar donde vas a hacer el experimento en dicha calculadora. Aquí debes ser cuidadoso y comprobar cuál es tu hora local.

2. Algo más elaborado pero también satisfactorio. Se realiza la medida en repetidas ocasiones antes y después de tu mediodía solar y luego se busca la sombra más corta. Te en cuenta que en este caso lo ideal es hacer una prueba el día antes. Abajo se enlaza un vídeo explicando cómo hacerlo.

Paso 3.2. Cómo medir
Lo que nos interesa es medir la longitud de la sombra de menor tamaño. Solo debes poner el gnomon sobre papel (o sobre el suelo, si no usas papel) y poner una marca en el momento del mediodía solar. Aquí se mide la longitud «l» del gnomon y la longitud «s» de la sombra. En el siguiente vídeo se explica detalladamente cómo realizar esta medida. Recuerda que puedes hacerlo tú solo, en pareja o en grupos. Te puede servir tanto si quieres tomar una sola medida o varias medidas en torno al mediodía.

 

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Paso 4. Cómo realizar las cuentas
Introduce todos tus datos en las ecuaciones correspondientes. Si te resulta más sencillo, puedes imprimir la imagen de abajo con el resumen de lo que tienes que medir y las fórmulas a usar.

  • Datos (medidas): D (distancia al trópico de cáncer), l (longitud del gnomon) y s (longitud de la sombra).
  • Incógnitas: α (ángulo de separación de tu localidad con el trópico de cáncer), P (longitud de la circunferencia de la Tierra) y R (radio de la Tierra).

En la imagen de abajo puedes ver todas las operaciones.

IMPORTANTE: Debes tener cuidado con el uso de la calculadora cuando trabajas con ángulos. La calculadora trabaja con grados o con radianes, esta fórmula se usará con la calculadora en función de ángulos. Si ya conoces el concepto de radianes y quieres trabajar con ellos, la fórmula sería más simplificada y bonita.

 

imprime esta imagen y llévala contigo el día de las mediciones. Aquí la tienes en pdf.
imprime esta imagen y llévala contigo el día de las mediciones. Aquí la tienes en pdf.

 

Versión Pro
Todas las medidas y cálculos tienen errores, esta sería la versión Pro de tu experimento. Te animamos a que lo tengas en cuenta, tal como nos explican en el vídeo de inicio de este post.

Paso 5. Presume
Pues lo dicho, no te quedes aquí, haz fotografías de tus medidas y comunica tus resultados. En Twitter hemos usado el hashtag #EligeTuPalo.

Me ha quedado para septiembre
No nos quedemos aquí, supongamos que no has podido hacerlo en junio. No pasa nada, esto se puede hacer en cualquier época del año, pero necesitas la colaboración de centros de otras partes del planeta. En el sitio Eratosthenes Experiment se pueden ingresar datos desde cualquier parte del mundo, daremos noticias de las próximas medidas.

3 Comentarios

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CarlosCarlos

Me vais a disculpar mi poco romanticismo, pero si uso Google Maps no necesito usar un gnomon. Para hallar el ángulo solo tengo que restar las latitudes. De todos modos esto puede ser muy útil si se utiliza el gnomon para comprobar el error de medición que tendremos y ver la dificultad del experimento.

rodolfo del carpiorodolfo del carpio

si el horizonte para una persona de 6 pies es de 3 millas aproximadamente, por que se puede seguir viendo a otra persona pasada ese limite, si segun la curvatura de la tierra no lo permitiria…?

muy agradecido por su respuesta

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