Sobre abejas, matemáticas y pompas de jabón

Para cualquiera que sea un observador de la naturaleza –como a buen seguro es el caso del que lee estas líneas- no se le habrá escapado el detalle de que las colmenas de las abejas presentan una arquitectura muy particular a modo de pequeñas celdillas hexagonales, perfectamente alineadas para contener bien la miel bien las larvas de estos insectos.

¿Por qué una construcción tan particular?, ¿a qué se debe una disposición geométrica tan cuidada y concreta?

Figura 1: Típica construcción hexagonal de un panal de abejas
Típica construcción hexagonal de un panal de abejas

Este fenómeno ya despertó la curiosidad de numerosos estudiosos en la antigüedad. Alrededor del año 100 antes de nuestra era, vivió Marcus Terentius Varro, un intelectual romano que escribió sobre agricultura y que era apicultor y llegó a la conclusión, fruto de sus observaciones, de que la forma hexagonal de los panales se debía a que era esta la estructura que permitía construir celdillas con mayor espacio (importante para almacenar cuanta más miel mejor) usando la menor cantidad de material, hipótesis esta que unos dos mil años más tarde resultó ser cierta, como veremos más adelante.

En 1974, el nombre de este patricio fue adoptado para denominar a un ácaro parásito de las abejas Varroa destructor que es el causante de la muerte de miles de colmenas. Triste reconocimiento, sin duda para aquel naturalista que amó las abejas y que llegó a dedicarles un tratado.

Abeja parasitada por Varroa. El ácaro debe su nombre a Terentius Varro
Abeja parasitada por Varroa. El ácaro debe su nombre a Terentius Varro

Unos siglos más tarde, otro matemático, Pappus de Alejandría postuló lo que aún hoy se conoce como la conjetura del panal y que viene a decir lo mismo que dijo Varro pero con una jerga más complicada: “si dividimos una superficie dada en secciones de igual área, resulta ser la división en hexágonos la que lo hace con el menor perímetro”. Pero una cosa es postular una idea y otra demostrarla.

¿Por qué sólo hexágonos, por qué no una combinación de polígonos?. ¿Por qué las abejas no construyen a base de cuadrados o triángulos?. Las 3 estructuras permiten un mosaico que no dejen espacio entre las figuras, ¿por qué el hexágono es la formación elegida?

Polígonos que pueden unirse sin dejar espacio entre ellos
Polígonos que pueden unirse sin dejar espacio entre ellos

Si las celdillas fuesen redondas o con la forma de cualquier otro polígono, quedaría espacio de relleno entre ellas, con lo que se desperdiciaría parte de la preciada cera. Por ello estas estructuras quedan descartadas.

Otros polígonos o círculos obligarían a usar cera “de relleno”
Otros polígonos o círculos obligarían a usar cera “de relleno”

Bien, pues en 1999 el matemático de la Universidad de Michigan Thomas C. Hales demostró lo que ya Varro había intuido: que los hexágonos son el medio más económico para construir un panal, sólo que lo hizo de modo absolutamente preciso y también bastante más complejo, por lo menos para aquellos que somos legos en la materia. Les dejo aquí la fórmula que usó para demostrarlo. Disfruten.

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Lo cierto es que esta estructura permite a las abejas construir celdillas con el volumen suficiente para almacenar miel para el invierno y proporcionar espacio suficiente para sus larvas utilizando muy poco material de construcción. Este material no es otro que la cera –sintetizada en unas glándulas abdominales de las obreras- y resulta bastante cara de producir. Para segregar 1 gr de cera, una abeja debe consumir unos 15 g de miel. Definitivamente, la cera es un bien escaso que conviene utilizar con mesura.

Pero no termina aquí la aventura matemática de las colmenas. Ni mucho menos. Las colmenas están construidas con dos capas de celdas abiertas en direcciones opuestas, de tal suerte que el material de la base es común y para ahorrar material, esa base también está construida de modo que se use sólo la cera imprescindible a la vez que tenga el mayor volumen posible.

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Colmena y detalle donde se aprecian las dos capas de celdillas abiertas a cada lado
Colmena y detalle donde se aprecian las dos capas de celdillas abiertas a cada lado

Este fondo de la celdilla se construye con 3 rombos, dos lados del mismo lo constituyen dos lados del hexágono y los otros dos se comparten con los otros rombos que cerrarán el fondo.

A la izda. celdilla cerrada vista desde la base. A la dcha. visión tridimensional
A la izda. celdilla cerrada vista desde la base. A la dcha. visión tridimensional

El astrónomo italiano Maraldi (1665-1729) midió los ángulos que formaban estos rombos y determinó que eran 109º 28´ el mayor y 70º 32´ el menor. Unos años más tarde el físico francés Réamur (1683-1757) lanzó un reto a la comunidad matemática y les pidió a varios colegas que determinasen qué ángulo deberían tener los rombos de la base de una celdilla para que ésta pudiese almacenar el mayor volumen posible. El suizo Johan Samuel Köning (1712-1757) respondió y dio los siguientes ángulos como solución: 109º 26´ y 70º 34´. Un pequeño diferencial de 2´. Esta pequeña discrepancia hizo que otro matemático, el escocés McLaurdin (1698-1746) extrañado de que un cálculo teórico arrojase un resultado distinto de las mediciones hechas en colmenas reales, recalculara los datos y diera la razón a Maraldi.

¿Cómo fue posible que un reputado matemático como Köning se hubiese equivocado?. La razón estriba en que utilizó unas tablas logarítmicas con un error de imprenta. La consecuencia de este hallazgo no fue baladí ya que estas mismas tablas se usaban para calcular la longitud (la distancia al meridiano de Greenwhich) en los viajes marítimos. Su corrección, gracias a las abejas, salvó sin duda innumerables vidas.

Pero cómo son capaces estos insectos de medir ángulos, minimizar el uso de material y construir celdas con el mayor volumen posible, ¿son las abejas matemáticas o ingenieras?

En realidad no. Estudios recientes demuestran que, de hecho, las abejas construyen sus celdillas de forma circular, lo que sucede es que para hacerlo deben calentar la cera, este aumento de temperatura hace que este material se comporte como un semi-líquido. Podemos compararlo con las pompas de jabón. Una pompa de jabón aislada es esférica (esta es la forma que alberga más volumen con menor superficie de jabón), pero si se juntan varias tienden a formar polígonos, tienden a “compartir” lados, exactamente igual que las celdillas de las colmenas.

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Pompa de jabón aislada y pompas de jabón aglomeradas que tienden a formar polígonos
Arriba, Pompa de jabón aislada. Abajo, pompas de jabón aglomeradas que tienden a formar polígonos

Por esta razón, las celdillas circulares construidas con cera caliente –el insecto las crea circulares, adaptándolas a los giros que da su cuerpo al hacerlas- se comportan como las pompas formando polígonos, en este caso hexágonos y una vez se enfría la cera, conservan esta forma indefinidamente.

Celdilla recién creada a la izda. con la cera aún caliente y semi-líquida presenta una formación circular, mientras que una vez fría presenta una forma hexagonal
Celdilla recién creada a la izda. con la cera aún caliente y semi-líquida presenta una formación circular, mientras que una vez fría presenta una forma hexagonal

Otros insectos como las avispas también construyen celdillas pero al hacerlo con materiales que permanecen sólidos (madera masticada), la forma final de las celdillas es circular.

Celdillas circulares de un avispero
Celdillas circulares de un avispero

Este artículo nos lo envía Juan Pascual (podéis seguirlo en twitter @JuanPascual4 o linkedn). Me licencié en veterinaria hace unos cuantos años en Zaragoza y he desarrollado mi vida profesional en el mundo de la sanidad animal, de ahí mi interés en divulgar lo que los animales aportan a nuestro mundo actual. Soy un apasionado de la ciencia. Creo que es fundamental transmitir el conocimiento científico de una manera sencilla para que los jóvenes se enganchen pronto y para que la sociedad conozca más y mejor lo mucho que la ciencia aporta a nuestro bienestar. Viajar es otra de mis pasiones junto con la literatura, que no deja de ser otro modo de viajar.

Referencias científicas y más información:

Patterson, Z.; Petterson, A. Why Do Honey Bees Make Hexagonal Honeycomb?. Ted talks

Karihaloo, B. L et al. Honeybee combs: how the circular cells transform into rounded hexagon. JR Soc Interphase. Sep 2013

Hales, T. C. The honeycomb conjecture. 2002

The sweet bee-ness of honeycomb and the mathematics of hexagonal geometry. Australian mathematic science institute

Baldwin, S. et al. Some historical aspects of honeycombs mathematics. Bee craft digital. May 2012.

Ang Wee Lee. The mathematics of honeycombs. Reflections on science. 2010


9 Comentarios

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pvlpvl

Si he entendido bien el art. eso implica que en realidad las paredes de las celdas están formadas por 2 capas de cera (que son 3 capas en los vertices de los exágonos), pertenecientes a celdas colindantes, (de hecho, en la fotografía con la cera aún caliente, se aprecian las dos capas) lo cual invalida la explicación de la minimización en el uso del material de construcción de las celdas, que suponen los exágonos frente a las circunferencias (que es como efectivamente las construyen por simplicidad al girar sobre sí mismas mientras depositan la cera).

Juan PascualJuan Pascual

Mi interpretación es que la cera semi-líquida se expande de tal modo que la celdilla final tiene el máximo volumen posible con la mínima superficie -material- disponible. Pero ello obedece a las leyes de la tensión superficial y no a un cálculo natural de las abejas. Si un físico o matemático lee esta entrada sería bueno nos apuntase su parecer. Gracias.

pvlpvl

Puede que esté equivocado, pero creo que el proceso más o menos es el siguiente: estructuralmente, la geometría circular del cilindro de cera semilíquida, provoca que las tensiones de deformación provocadas tanto por el peso propio de la cera como de la tensión superficial generaradas en el el semilíquido se dirijan hacia el exterior del mismo en vez de hacia el interior, o mejor dicho: la celdilla por el efecto arco de su forma circular es capaz de soportar las tensiones que se generan hacia el interior sin deformarse, pero no las que se dirigen hacia el exterior. Para eso, es necesario que el material no esté ni demasiado sólido (no habría tensión superficial ni deformación como ocurre en el caso de los nidos de avispas) ni demasiado líquido (no habría efecto arco y la celdilla se deformaría también hacia el interior).
Es decir, la celdilla debido a su material y forma, se deforma hacia el exterior, pero cada una está rodeada por otras 6 celdillas, que se están deformando (o ya están deformadas) de la misma manera hacia el exterior.
Por lo tanto, los únicos espacios libres que tiene la cera hacia los que deformarse son precisamente los entornos de los vértices de los hexágonos.
El resultado es como si cogemos una circunferencia flexible y tiramos hacia el exterior simultáneamente desde seis puntos equidistantes de la misma, con lo que obviamente obtenemos un hexágono.
Hexágono que además tiene un grosor de contorno menor que el de la circunferencia original porque es resultado del “estiramiento” de ésta, como se aprecia en las fotos y cuyos lados están formados por 2 capas de cera pertenecientes a celdillas colindantes.
Una cosa que en el art. no se menciona y creo que sería interesante es saber si cuando las abejas añaden una celdilla a las ya creadas, añaden un cilindro entero o solo la parte del perímetro que falta.
Aventuro que, al igual que las avispas, añaden un cilindro entero (es decir, “gastan” el mismo material) y que lo que “ganan” respecto a los cilindros de las avispas, es el espacio “extra” de los entornos de los vértices del prisma hexágonal resultante.

Juan PascualJuan Pascual

Muchas gracias por tu comentario. Ciertamente lo que apuntas tiene mucho sentido y creo que tu hipótesis es correcta.
Sería interesante saber cómo construyen celdillas nuevas a partir de las ya creadas, si alguien tiene la respuesta, por favor que nos la mande.
Un saludo

GuillermoGuillermo

La formas exagonales aparecen en alguna fenómenos naturales. Visite el salar de Uyuni y parece un mar teselado con exagonos, por qué esa estructura? Quizás es la de mínima energía. Alguna explicación más detallada?

Juan PascualJuan Pascual

Efectivamente, hay muchas estructuras que presentan basalto en columnas hexagonales como la Torre del Diablo en los EEUU entre otras.
Parece ser que la forma más eficaz de la lava de liberar energía térmica es hacerlo a través de un formato hexagonal. Así lo explica este artículo:
http://journals.aps.org/prl/abstract....115.154301
Si algún geólogo lee esto sería bueno tener su comentario

BasqueBasque

Hola a todos del foro.
Hoy ha salido en las noticias que las abejas este año están anidando en lugares insólitos, como faros de coche, hogares, etc.
¿Cómo es posible que esto haya ocurrido? Las abejas son tremendamente listas como para que esto ocurra.
¿Alguien que pueda aportar algo de luz al respecto?

Muchas gracias de antemano.

Juan PascualJuan Pascual

Siento no poder aportar datos, pero me lo apunto para buscar información. Gracias por su comentario

yaviyavi

He visto en varias ocasiones nidos de abejas en lugares en principio poco favorables para su superviviencia, pero no es lo habitual porque buscan lugares alejados de la contaminación y estrés provocados por los humanos. Por otro lado, si el ser humano cada vez está más presente en su ecosistema, lógico que tengamos que compartirlo. Así, nada de rebelión melífera…

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