La fantástica historia de los experimentos mentales (IV)

13 Experimentos mentales 4 Torricelli 1Volvemos de nuevo nuestra exploración de los experimentos mentales a través de la historia: esa forma estructurada de la imaginación que nos ha permitido abrir nuevas vistas a nuestras teorías en la ciencia y la filosofía. Ya hemos visto experimentos mentales en la física, la filosofía y en la lógica. Hoy veremos a dos personajes que hicieron conjeturas muy distintas entre sí, pero que comparten un tema común: el problema de Visualización vs. Conceptualización. Si mi lector ha leído otros de mis artículos, sabrá que este es un tema que toco con frecuencia: en nuestras modernas formas de entender y medir el mundo, nuestra mente puede conceptualizar las cosas mucho más fácilmente que las puede visualizar. De hecho, visualizar es en muchos casos enteramente imposible, pero eso no nos ha impedido crear interesantes abstracciones que de todas formas nos llevan a la reflexión y al descubrimiento. Estas abstracciones que coquetean con el infinito no se originaron ayer, pero hagamos primero una presentación del problema original.

Lo Posible y lo Concebible

Existe un antiguo debate en torno a los experimentos mentales, en específico los que se refieren a temas éticos o filosóficos: uno de los puntos presentados por los escépticos es que el experimento es intrusivo. Esto quiere decir, que al presentar una situación extrema, no tanto revelan una convicción, que en ese momento no existía, sino que la cristalizan al empujar en cierta dirección. Esto es evidente con el interesante experimento de “matar al gordo” para salvar a varios inocentes (llamado “Problema del Tranvía”). Hay otra objeción que es más antigua y que se refiere al problema de lo posible contra lo concebible. Muchos filósofos han pensado que una cosa implica la otra, y David Hume (1711-1776) de hecho lo puso categóricamente:

H1: si p es posible, entonces es concebible.

H2: si p es concebible, entonces es posible.

Si uno piensa que la imaginación no tiene límite, entonces está aceptando H1 pero no necesariamente H2. Pero hay también problemas en cuanto a cómo se definen los términos: si “concebible” implica cierto éxito para comprender una cosa, dicha comprensión puede establecer posibilidad, por lo que se acepta H2. Más recientemente las posturas son más moderadas, rechazando tanto H1 como H2 porque sabemos que existen cosas posibles pero inconcebibles, como el tamaño de un electrón; y cosas concebibles pero imposibles dentro de nuestra circunstancia, como el viaje en el tiempo. El llegar a estas posturas puede parecer fácil y su uso trivial, pero éste no ha sido el caso en absoluto; la validez de los experimentos mentales que de hecho nos han abierto caminos nuevos por ejemplo en la física experimental (Galileo, Einstein y otros) ha tenido que ser duramente peleada primero. Un resultado de este debate es la pregunta: ¿por qué deberíamos de tomar en consideración para obtener resultados válidos, un acto que en sí mismo es imposible de realizar? El filósofo Peter van Inwagen (1942) dice que “no podemos deliberar sobre un acto si no asumimos la posibilidad de ejecutarlo”. Y esto es válido en el caso de los experimentos mentales con trasfondo ético, como el mencionado Problema del Tranvía; pero los experimentos mentales discutidos por Einstein y Bohr —discutiendo implicaciones de efectos cuánticos— no están necesariamente sujetos a estas restricciones. Además, a medida que pasa el tiempo nuestra imaginación se ensancha, ya que está limitada por lo que se llaman “oportunidades perceptuales”; esto es, que nosotros nos hacemos preguntas o imaginamos cosas que simplemente están fuera del alcance conceptual de nuestros antepasados.

Después de todo esto, la tarea favorita de un experimento mental sigue siendo el apuntar a posibilidades. Veamos dos ejemplos de argumentos que han apuntalado su validez para deducir resultados de interés físico o matemático.

El ente acústico de Strawson

Peter Frederick Strawson (1919–2006) escribe desde el punto de vista filosófico y psicológico, pero su “ente acústico” tiene interesantes repercusiones en otros ámbitos. Su experimento se refiere a la no-necesidad de visualización para poder implicar posibilidad. Strawson parte de la idea intuitiva de que “sólo aquello que es visualizable es concebible”. Obviamente podemos poner el contraejemplo de Hellen Keller para decir que esto no es verdad, pero Strawson va mucho más allá: lo que se pregunta es, si “pueden existir cosas particulares, sin que existan cosas materiales de por medio” o dicho de forma más simple, que es posible tener experiencia no-espacial y de ella derivar conocimiento. Para llevar a cabo el experimento, propone un caso extremo: un ente puramente acústico; esto es, que no puede percibir nada sino sonido. Dejemos por un momento de lado todo argumento de física que diría que necesitamos un medio de transmisión, etc. Recordemos que un experimento mental nos pide cierta suspensión de la incredulidad.

De modo que este ente sólo puede percibir sonido pero nada más; no puede ver ni sentir de otra forma lo que significa “espacio”. El argumento de Strawson es que en efecto, el ente acústico puede con el tiempo, construir una imagen del mundo a su alrededor. Poco a poco puede identificar un “sonido de fondo” contra el que existen los otros sonidos, que le da un marco de referencia; puede identificar el efecto Doppler que indica movimiento, etc. Y si bien estas cosas no le pueden dar un sentido de “espacio”, dentro de su existencia perceptiva pueden formar un agregado coherente de cosas diferenciadas. Si bien su percepción sería intraducible a la percepción de un ente visual, eso no significa que este ente acústico no pueda con el tiempo crear un concepto general de su mundo, así como de cosas particulares (objetos), incluso sin tener noción de espacio. Su conclusión es que existen esquemas conceptuales irreducibles que dependen de las capacidades de percepción de cada ente: a lo que apunta su teoría es a la mejor forma de explorar esas capacidades descriptivas, que son parte de una estructura más grande pero inaccesible, y de cómo cada ente (nosotros) podemos dirigir nuestros pensamientos y lenguaje hacia esos objetos que pueden ser percibidos, ya sea con nuestros sentidos o sus extensiones (máquinas y teorías). En general, Strawson estudia el concepto de Referencia, y sus ideas han sido ampliamente debatidas desde su publicación, teniendo impacto en el estudio filosófico de la física teórica y las matemáticas más abstractas.

La Trompeta de Torricelli

Del otro lado de la moneda, tenemos al físico y matemático italiano Evangelista Torricelli (1608–1647) dándonos un ejemplo visual de algo que no es abarcable. Las matemáticas son un tema en el que frecuentemente nos podemos perder, sobre todo si estudiamos cosas que tienden al infinito, lo cual es bastante frecuente. A cada paso encontramos algún objeto que nos recuerda la frase del genial John von Neumann (1903-1957): “en matemáticas no entiendes las cosas, sólo te acostumbras a ellas”.

Tomemos las llamadas “series infinitas”. Uno puede pensar intuitivamente que, si toma una serie infinita de números y los suma, el resultado es infinito. Pero esto no es así cuando hablamos de sumas de fracciones. Por ejemplo, si sumamos los recíprocos de los números naturales, lo que es llamado “serie armónica”, el resultado en efecto es infinito, o “divergente”:

13 Experimentos mentales 4 Torricelli 4pero si sumamos los recíprocos de los “números triangulares”, esto es, los números que obtenemos al crear triángulos,

13 Experimentos mentales 4 Torricelli 6obtenemos una suma no sólo finita (“convergente”), sino que muy pequeña:

13 Experimentos mentales 4 Torricelli 5¿Qué brujería es ésta? ¿Cómo puede una suma infinita dar un resultado finito? Esto es una parte normal de las matemáticas, y se dice que dichas sumas convergentes “tienden a un límite”, en este caso 2. No importa cuántos términos sumemos, nunca llegaremos a ese límite. En nuestros días un hecho como éste es casi trivial y lo manejamos de forma rutinaria, demostrable con nuestras modernas ecuaciones de cálculo; pero en el siglo XVII no era intuitivo en modo alguno. Así que Torricelli puso un ejemplo más gráfico para demostrar cómo un sólido puede tener un área infinita pero un volumen finito:

13 Experimentos mentales 4 Torricelli 2Ésta es la llamada Trompeta de Torricelli, también llamada Trompeta del Arcángel Gabriel: una construcción geométrica definida por una hipérbola sencilla:

13 Experimentos mentales 4 Torricelli 7que es luego rotada en el eje horizontal. La hipérbola tiene dos asíntotas, o límites, a los que nunca puede llegar: estos límites son el eje vertical (y=0) y el eje horizontal (x=0). No importa cuánto se extienda la gráfica, nunca tocará estos límites y cuando la rotamos y obtenemos la figura de la trompeta, podemos calcular el límite de su volumen de la misma forma que calculamos el límite de las series de sumas de fracciones: el límite del volumen de la Trompeta de Torricelli es Pi (π). Esto fue considerado un resultado paradójico en su tiempo, ya que de hecho el área de la superficie sí es infinito mientras que el volumen nunca puede exceder el valor de π. Por eso fue llamada también Trompeta de Gabriel, para asociar lo divino (o infinito) con el mundo (o finito).

Torricelli fue, digamos, adelantado a su tiempo en proponer tal demostración de algo que hoy podemos manejar rutinariamente con las herramientas del cálculo integral pero que en su tiempo estaba todavía a un siglo de distancia. De esta propuesta se derivaron no sólo una multitud de estudios en la geometría abstracta, sino de cuestiones físicas interesantes, como la pregunta: Si podemos llenar la trompeta con una cantidad finita de pintura, ¿podemos pintar su exterior con una cantidad igualmente finita?

La respuesta es no, pero sus implicaciones se dividen en el mundo abstracto de las matemáticas (en donde podría ser que sí) y en el mundo físico con límites cuánticos. Dejo este pequeño experimento mental a la consideración del lector.

Siguiente entrega: la estatua que toma conciencia.

Referencias:

Alfonso Araujo. El Problema del Tranvía ó… “¿Mato al gordo?” Naukas. Marzo 3, 2015.

Morris, William Edward y Brown, Charlotte R. “Account of the Mind”, en David Hume. (Cap. 4). The Stanford Encyclopedia of Philosophy. (Primavera 2017).

Alfonso Araujo. El Gran Debate acerca de la realidad. Naukas. Agosto 1, 2017.

Peter van Inwagen. “When Is the Will Free?”, en An Essay on Free Will. Oxford: Oxford University Press. 1983. Philosophical Perspectives 3:399 – 422 (1989).

Snowdon, Paul. “Individuals”, en Peter Frederick Strawson (Cap. 5). The Stanford Encyclopedia of Philosophy. (Otoño 2009).

Strawson, Peter F. Individuals: An Essay in Descriptive Metaphysics. London: Methuen (1959).

Evangelista Torricelli. Biografías y vidas.

Weisstein, Eric W. Convergent series. Wolfram MathWorld.

Torricelli’s Trumpet, or Gabriel’s Horn, en Museum of Imaginary Musical Instruments.


0 Comentarios

1 Trackback

Deja un comentario

Tu email nunca será mostrado o compartido. No olvides rellenar los campos obligatorios.

Obligatorio
Obligatorio
Obligatorio

Puedes usar las siguientes etiquetas y atributos HTML: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>