Lo que esconden los fractales

Por Salvador Ruiz-Fargueta, el 10 octubre, 2012. Categoría(s): Matemáticas
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Fracción de un fractal de Mandelbrot. Fuente: Wikipedia.

Los fractales esconden bajo sus “arrugas” la mayor parte de sí mismos.

La medida de la costa de Bretaña

Benoït Mandelbrot se preguntaba cuánto medía la costa de Bretaña, o cualquier costa real que suele ser irregular e intrincada. Un geógrafo se lo habría respondido perfectamente, pero no era esa la repuesta que buscaba Mandelbrot. El geógrafo da por sentado que al medir la costa tiene que hacerlo con unos criterios prácticos determinados, se atiene a ellos, la mide y la registra para siempre en los libros de geografía.

Para Mandelbrot, la pregunta era mucho más transcendente de lo que puede parecer a simple vista, porque se dio cuenta de que la medida obtenida dependía de la unidad de medida con la que fuera a efectuarse. Si la mínima unidad de medida a tomar fuera un kilómetro hallaríamos un valor, y si esa mínima unidad fuera el doble encontraríamos un resultado menor. Conforme la unidad utilizada es menor, al efectuar la medida nos acercamos mejor a las irregularidades del terreno y hallamos un valor mayor. Para una costa matemática teórica, de hecho, la unidad de medida la podemos hacer tender a cero tanto como queramos y el resultado obtenido siempre será mayor. En el límite, la longitud de cualquier costa teórica es infinita, bajo sus “arrugas” esconde la mayor parte de sí misma.

Trayectorias fractales y cancelaciones

Al  estudiar  trayectorias  fractales (1), como la de un movimiento browniano, se  observa un fenómeno de cancelaciones íntimamente relacionado con la dimensión fractal. En este movimiento, en concreto, para que el móvil se aleje  “n” pasos efectivos, de cualquier punto arbitrario, deben realizarse n2 pasos totales.  Es decir que el número de pasos que, en cierta forma, se han cancelado es de  (n– n): el número total menos el número efectivo.

Las cancelaciones que observamos en las trayectorias son idas y vueltas solapadas que se contrarrestan. En un fractal cualquiera se corresponderían con lo que podríamos llamar sus “arrugas”: mientras que un papel liso ocupa una determinada superficie, al arrugarlo  observamos que la proyección plana del mismo ocupa una superficie menor. Un folio de papel fino, por ejemplo, podemos reducirlo a una bola que ocupe, apenas, la proyección de una de nuestras uñas.

Un movimiento todavía más intrincado e irregular que el movimiento browniano sería una trayectoria  de dimensión fractal 3, es decir, capaz de “llenar” un espacio tridimensional. En este caso para que el móvil se aleje “n” pasos efectivos, de cualquier punto arbitrario, deben realizarse npasos totales. Los pasos cancelados entonces serían (n3-n).

Si hallamos la tasa de pasos cancelados  por paso (tasa de cancelación) encontramos la siguiente expresión:   (1- 1/n2)       expresión A

El exponente de “n” es igual a la dimensión fractal menos uno, por lo que en determinados casos, en los que sólo sabemos la tasa de cancelación podremos saber la dimensión fractal de forma directa.

Tasa de cancelación para una trayectoria fractal de dimensión 3

En la expresión A de la tasa de cancelación, para una trayectoria de dimensión fractal 3, vemos que conforme “n” tienda a infinito, la tasa de cancelación tiende a  uno, es decir las cancelaciones por paso tienden al 100%. Observando el fenómeno de forma progresiva tenemos:

Para un paso, la expresión nos da el valor cero, no hay cancelación, no se pueden observar “arrugas” o bucles en el desplazamiento.

Para 2 pasos, el valor es:  (1- 0,25)= 75%.

Para 10 pasos, tenemos:  (1- 0,01)= 99%.

Para 100 pasos:  (1- 0,0001)= 99,99%.

Vemos que ya para 100 pasos, el porcentaje de bucles por paso es casi del 100%. Lo que es lógico para una trayectoria tan intrincada capaz de recubrir un espacio de tres dimensiones.

Tasa de cancelación para una trayectoria fractal de dimensión 2

Para trayectorias menos retorcidas como es la correspondiente a un movimiento browniano (dimensión fractal 2), la expresión de la tasa de cancelación toma la forma:   (1- 1/n) 

Para 2 pasos, el valor es:  (1- 0,50)= 50%.

Para 10 pasos, tenemos:  (1- 0,10)= 90%.

Para 100 pasos:  (1- 0,01)= 99%.

Comparando los dos casos vemos que, lógicamente, esta trayectoria es mucho menos irregular presentando un porcentaje mucho menor de bucles de cancelación. Pero en todo caso conforme n tiende a ser más grande la tasa de cancelaciones, aunque más lentamente, también tiende a la unidad, es decir al 100%.

Respecto a las figuras geométricas  convencionales, los fractales son una especie de “monstruos” como los llamaba Mandelbrot. Pero se construyen mediante sencillas técnicas de iteración de un patrón bastante simple, en la mayoría de los casos. En la Naturaleza los observamos en infinidad de objetos y fenómenos: desde la estructura de los árboles a las ramificaciones del sistema circulatorio; en las nubes o en los pliegues del cerebro (dimensión  fractal de su superficie 2,79) y de los pulmones (2,97) para aprovechar la mayor superficie en el mínimo volumen.

Para  generalizar las cancelaciones a cualquier fractal  (no sólo trayectorias fractales) bastará con sustituir la dimensión fractal del mismo por su dimensión fractal relativa (dim. fractal/dim. topológica). Como ejemplo, en el caso de una superficie plegada con dimensión fractal 3, capaz de ocupar el espacio, su dimensión fractal relativa será 3/2, por lo que su tasa de cancelación tendrá la expresión:  1-1/n1/2 . Esta tasa es la que correspondería, aproximadamente, al fractal que representa la superficie plegada de los pulmones.

Los fractales tienen la capacidad de llenar un espacio mayor que su dimensión topológica y para ello se valen de sus “pliegues o arrugas” capaces, en cierta forma, de escondernos la mayor parte de su magnitud y complejidad.

Nota (1): Ojo, las trayectorias fractales no son realmente trayectorias como se entienden en la geometría convencional. Son discontinuas y de una infinita complejidad.



Por Salvador Ruiz-Fargueta, publicado el 10 octubre, 2012
Categoría(s): Matemáticas

 

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