Gödel y la demostración de algo llamado Dios

Kurt Gödel

Llevo unos días oyendo hablar sobre una demostración muy rara. Un equipo de cerebritos ha cogido un ordenador, y de algún modo han conseguido demostrar que Dios existe. Pensé que era la típica chorrada aparecida en una nota de prensa, y que la noticia moriría pronto. Para nada. Cada uno ha arrimado el ascua a su sardina, según le conviene. Entre los primeros resultados de una búsqueda en Google, encuentro una página de Acontecercristiano.net titulada “Científicos demuestran la existencia de Dios.” Cnet afirma triunfante “Dios existe, dicen unos científicos fanboys de Apple” (por lo visto, usaron un MacBook, así que adelante los chistes).

Por supuesto, cuando un peso pesado como Francis se pone su megaboina y nos habla en serio de la demostración, ya la cosa cambia para mí. Y cuando Cuentos Cuánticos se echa la manta a la cabeza y usa el mismo teorema para demostrarnos la existencia de Pikachu, no puedo menos que echar un vistazo al teorema para ver qué se me escapa. O mejor, ir a la fuente original: el artículo “Formalization, Mechanization and Automation of Gödel´s proof of God´s Existence,” de Christoph Benzmüller y Bruno Woltzenlogel Paleo. Ahí me llevé la gran sorpresa. Me esperaba un texto extenso, denso como un bocata de polvorones, lleno de referencias lógicas incomprensibles, y lo que me encuentro es un artículo de ¡dos páginas de extensión!

Por lo que he entendido (y el artículo de Francis me ha ayudado mucho, así que os lo recomiendo sí o sí), lo que hizo Gödel es dar una especie de demostración de la existencia de Dios. Para ello partía de un conjunto de axiomas y definiciones, y mediante una serie de pasos lógicos concluía la existencia de Dios.

El problema con la demostración de Gödel es que no es sencilla de seguir ni de verificar. Seguro que ustedes estarán familiarizados con las demostraciones del tipo “si P entonces Q; R sí y sólo si S.” Este tipo de lógica puede llevar a paradojas. Para evitarlas, la demostración de Gödel usa la lógica modal. En la lógica modal, se utilizan expresiones como “necesario” y “posible.”

Existen diversas variantes de la lógica modal. Cada variante parte de axiomas diferentes. Para entendernos, un axioma es una afirmación que se considera evidente, y que por tanto no requiere demostración. Aquí está el primer problema, porque si partimos de “verdades evidentes” diferentes, los resultados pueden ser diferentes.

Gódel usó la llamada variante S5. Voy a usar dos proposiciones cualesquiera, A y B. Pueden ser enunciados del tipo “hoy va a llover” o “el coche se para cuando no tiene gasolina.” Da igual. La variante S5 está basada en estos tres axiomas (sin ningún orden en particular):

K: Si es necesario que A implica B, entonces si A es necesario, B también lo es.

T: Si es necesario que A, entonces A

5: Si es posible que A, entonces es necesario que A sea posible.

El axioma T parece fácil de entender. Si necesariamente va a llover, entonces va a llover También parece obvio el axioma 5: si es posible que llueve, entonces debe ser posible que llueve. No tiene sentido decir “puede que llueva” en un desierto en el que jamás pueda caer una sola gota de agua. El K es algo más complicado, pero también tiene su lógica. Partamos de que, si llueve, nos mojamos. En tal caso, si tiene que llover por narices, nos vamos a mojar por narices.

El problema con tanta verdad evidente es que no es tan evidente. La lógica modal tiene diversas formas de ser expresada según sean sus axiomas. Una lógica modal basada en la variante S5 (es decir, con esos axiomas anteriormente mencionados) funcionará de forma distinta a otras variantes, en el sentido de que “demostrar” algo requerirá pasos lógicos distintos.

Lo que hicieron Benzmüller y Woltzenlogel fue tomar la demostración de Gödel y analizarla formalmente con diversos tipos de axiomas, verificar inconsistencias, formalizar todo el proceso, y todo en lógica modal. De ese modo, comprobaron que diversos conjuntos axiomáticos (diversas variantes de la lógica normal) podían llegar a la demostración de unos u otros teoremas del enunciado de Gödel. En suma, el artículo muestra las capacidades del software automático de deducción lógica, muy usados para que los humanos no nos perdamos en esos laberintos lógicos del tipo “si P entonces Q, pero si P y R entonces Q, de modo que…” Los autores se atreven incluso a afirmar que su trabajo “abre nuevas perspectivas para una filosofía teórica asistida por ordenador.” Suena como la psicohistoria de Asimov aplicada a los razonamientos filosóficos.

Antes de seguir adelante, veamos la demostración de Gödel, que es lo que todos estáis esperando. Vamos a suponer dos proposiciones, que voy a llamar a y b. A continuación, introducimos una propiedad que vamos a llamar P. Por ponerles un ejemplo, si a es “socorrer a alguien” y P es la propiedad de legalidad, P(a) significa “socorrer a alguien es legal”

También podemos negar una proposición. Digamos que b es “matar a alguien.” La negación podría hacerse de dos formas: como P(-b) (“no matar a alguien es legal”) o como -P(b) (“matar a alguien es ilegal”).

Y aquí entra el primer axioma de la demostración de Dios de Gödel. Su propiedad P es algo que podemos llamar bondad o positividad. P(a) significa “a es bueno.” Si a es “ayudar a alguien,” P(a) significaría “ayudar a alguien es bueno.” Su primer axioma de partida es este:

Axioma 1 (A1): O bien a es bueno, o la negación de a es buena.

Es decir, si fumar no es bueno, no fumar es bueno. Eso es equivalente a afirmar que se tiene P(-a) sí y sólo sí se tiene -P(a). “No tirar basura al suelo es bueno” es un enunciado equivalente a “tirar basura al suelo no es bueno.”

El segundo axioma del que parte Gödel es el siguiente:

Axioma 2 (A2): Si a es bueno, y cada vez que tenemos a también tenemos b, entonces b es bueno.

Por ejemplo, supongamos que a sea “ayudar a tu vecino.” P(a) diría “ayudar a tu vecino es bueno.” Las personas que ayudan a los vecinos siempre se ofrecen a subir las bolsas de la compra a las ancianitas del bloque (eso es b). Como consecuencia, se sigue P(b): subir las bolsas de la compra a la ancianita del piso de al lado es bueno.

Como ven, estamos comenzando por unos axiomas de “ser buenos,” algo así como los mandamientos. De hecho, los mandamientos pueden verse como una serie de axiomas: matar es malo, amar al prójimo es bueno, mentir es malo. La diferencia es que Gödel usa un conjunto de herramientas lógicas, en tanto que las religiones musulmana y cristiana consideraron bueno matarse mutuamente durante siglos o considerar a la mitad femenina de la raza humana como una especie de animal de compañía.

Veamos si Gödel consigue sortear esos fallos lógicos. Lo primero que hizo es basarse en esos dos axiomas, y a continuación los usó para demostrar el siguiente teorema:

Teorema 1 (T1): Si a es bueno, entonces es posible que algo o alguien exista con la propiedad a.

Es decir, si ayudar al vecino es algo bueno, es posible que exista una persona que sea un buen vecino. Eso no significa que exista de verdad, tan sólo que, si es una propiedad buena, puede que alguien tenga dicha propiedad. El teorema no demuestra que existan los buenos vecinos, sino que es posible que existan los buenos vecinos.

Como teorema no parece gran cosa, pero sigamos adelante. Lo siguiente que sigue es una definición:

Definición 1 (D1): Un ser divino es algo o alguien que tenga todas las propiedades buenas.

Esta definición intenta ser una descripción de Dios tal y como lo entienden las religiones habituales. Es compendio de virtudes, todo bondad, ya les sonará la historia. Por supuesto, no les recomiendo que lean el Antiguo Testamento, porque el Dios que aparece allí es algo, cómo diríamos, quisquilloso. Eso.

Introduzcamos ahora un tercer axioma:

Axioma 3 (A3): Ser divino es algo bueno.

Tampoco hay que romperse el coco con esto. Si las cosas buenas son buenas, tener todas las propiedades buenas es superbueno. Vale.

Y ahora, usemos lo visto hasta ahora para demostrar un teorema. Puesto que ser divino es algo bueno (Axioma 3), entonces es posible que alguien exista con esa propiedad (Teorema 1). Tenemos entonces un nuevo teorema:

Teorema 2 (T2): Es posible que algo divino exista

Ahora, un axioma que parece de perogrullo:

Axioma 4 (A4): Si algo es bueno, es necesariamente bueno

Personalmente, me suena algo del estilo “si mi ropa es blanca, es que es blanca.” Vale. Me limitaré a aceptarlo y seguir adelante. Imagino que querrá decir que si algo es bueno, lo es siempre, no algunas veces sí y otras no.

A continuación, tenemos una definición.

Definición 2 (D2): E es la esencia de una cosa x cuando 1) x tiene la propiedad E, y 2) la propiedad E fuerza las propiedades de x.

Es decir, la esencia de un objeto es una propiedad a partir de la cual se pueden derivar todas las demás propiedades de ese objeto. Digamos que una persona es madridista hasta la médula. Es socio del Real Madrid, lleva su camiseta, sigue todos los partidos, se comprar toda la quincalla madridista que encuentra, CR7 es su profeta en la Tierra… quizá no podamos definir la esencia del madridismo, pero vemos que el madridista tiene esa esencia y fuerza sus acciones y propiedades.

Ahora viene otro teorema. Veamos, si alguien es divino, entonces por definición tiene todas las propiedades buenas; por el Axioma 2, no tendrá ninguna propiedad mala. Eso significa que cualquier propiedad de un ser divino será buena, y por tanto será necesariamente buena (Axioma 4); en consecuencia, cualquier propiedad así será parte de un ser divino. Eso nos demuestra el siguiente teorema:

Teorema 3 (T3): Ser divino es la esencia de cualquier entidad divina.

Sigamos adelante, que ya falta poco. Vamos a hacer otra definición:

Definición 3 (D3): Una cosa será indispensable si algo con su esencia debe existir.

Ahora vamos al siguiente axioma:

Axioma 5 (A5): Ser indispensable es una buena propiedad.

Y con eso hemos ya tenemos todo lo que necesitamos: Vean ustedes:

– Si algo es divino, por definición tiene todas las propiedades buenas (D1)

– Ser indispensable es una buena propiedad (A5)

– Por tanto, un ser divino debe tener la propiedad de ser indispensable (T2)

– Por tanto, debe existir algo con la esencia divina (D3)

– Por tanto, es necesario que ese “algo” sea divino (T3)

– Puesto que algo divino puede existir (T2)…

– … y es necesario que exista (T3)

– … entonces es posible que sea necesario que exista.

– … por consiguiente, el ser divino existe.

– Fin

Si le ha quedado la impresión de que hemos andado en círculos, ya somos dos. El “razonamiento” de Gödel viene a decirnos que, si Dios existiera, tendría todas las propiedades buenas, incluida la de existir. Por tanto, si Dios existe, es bueno, y si es bueno, Dios existe. La verdad, después de esto le estoy perdiendo el respeto al señor Gödel. No me extraña que el mismo argumento pueda aplicarse a la demostración de la existencia de Pikachu.

Que dos investigadores con un MacBook hayan demostrado que si Dios existe debe existir, la verdad, me da algo de risa. No me río de su trabajo, por supuesto, porque ellos han seguido una serie de pasos lógicos y los han verificado. Me río de que alguien llegue, suelte diez o doce pasos lógicos aparentemente impecables y pretenda acabar demostrando lo evidente. Porque es para mí evidente que, si Dios existe, entonces Dios existe; igual que está claro como el agua que si Dios no existe, entonces no existe.

Además de ello, cuando comencé a leer los axiomas de la demostración de Gödel, me dieron la impresión de que hacen aguas por doquier. Para empezar, todo descansa sobre la noción de bondad, algo que no tiene una definición inmutable. Hace dos mil años era bueno rematar a los heridos en combate. Era bueno tener esclavos. Era bueno “civilizar” otros pueblos a golpe de bayoneta. Las definiciones de bondad cambian con el tiempo, con las culturas, con la corriente política o filosófica imperante en cada momento.

Incluso fijando tiempo y lugar, algo será bueno o no dependiendo de las circunstancias. ¿Es malo matar? Nuestra tendencia es a gritar sí, la vida humana es sagrada. Vale. Ahora imagínese que sale usted de la TARDIS en 1933 y se encuentra frente a Adolf Hitler. Que levante la mano quien no le volaría la cabeza de un disparo. Matar está mal, pero impedir que maten a otros también. ¿Cómo sabemos cuándo actuar de una forma o de otra? No somos robots positrónicos que se bloquean cuando le llegan dos órdenes contradictorias. La filosofía, la ética, las costumbres de la época, nuestra crianza y educación, todo se combina para definir un “protocolo de actuación” en cada momento.

Así tenemos a gente que defiende la propiedad privada pero ve con buenos ojos la okupación de pisos por gente que no puede pagar el alquiler; defensores del derecho a la vida del feto que abogan en pro de la pena de muerte; espectadores de Gran Hermano que odian la sociedad de la vigilancia; jueces que transgreden las leyes en favor del bien supremo, sea el bienestar de un niño o el derecho a la educación. No hay reglas morales universalmente aceptadas; y sin ellas, nada es intrínsecamente bueno o malo.

Eso me anima a criticar los axiomas de la demostración de Gödel con contraejemplos como estos:

Axioma 1: O bien a es bueno, o la negación de a es buena. O dicho de otro modo: robar es bueno o no lo es. Algo que no se sostiene en la práctica. Robarle la nómina a un jubilado es malo, robar para alimentar una familia es bueno (quizá no tanto para el robado, pero bueno a la postre).

Axioma 2 (A2): Si a es bueno, y cada vez que tenemos a también tenemos b, entonces b es bueno. No necesariamente todas las propiedades de una buena persona son positivas. Los ultraderechistas “de toda la vida,” partidarios de la familia y los buenos valores morales, son los primeros partidarios de la pena de muerte y la tolerancia cero contra los inmigrantes, delincuentes y demás gente de mal vivir. Mi padre era una excelente persona, pero fumaba en pipa. ¿Acaso fumar en pipa se convierte por eso en algo bueno? Cristiano Ronaldo es muy buen futbolista, y tiene su dinero en el Banco Brando. ¿Significa eso que depositar nuestro dinero en ese banco es bueno? Puede servir como truco para vender cosas, pero no necesariamente para formar un sistema de valores éticos.

Axioma 3 (A3): Ser divino es algo bueno. Ahora bien, incluso una divinidad con todas las propiedades buenas imaginables podría cuidarnos hasta la sobreprotección, lo cual no es necesariamente bueno; o dejarnos a nuestro aire, lo que implica dejadez y descargo de responsabilidades. Una madre muy protectora también puede cuidar en exceso a su hijo (bueno), pero al final lo acaba convirtiendo en un inadaptado incapaz de salir de sus faldas (malo). Un ser totalmente bueno puede ser una contradicción en sus términos. Del Dios de Mahoma o del Antiguo Testamento, mejor ni hablemos.

Axioma 4 (A4): Si algo es bueno, es necesariamente bueno. Es decir, algo bueno lo es sean cuales sean las circunstancias. Vale, pues yo digo que el azúcar es bueno, ahora dáselo a un diabético y que te cuente.

Concluyendo: ni los investigadores con su MacBook han demostrado la existencia de Dios, ni Gödel tampoco. En mi opinión, todo es una enorme perogrullada de principio a fin. Dios puede existir, o no, o las dos cosas a la vez. Nuestras herramientas lógicas formales son incapaces de demostrar su existencia y de refutarla. Al menos, así lo veo yo. Eso suponiendo que yo exista, claro. Lo que es perfectamente posible, ya que soy un dechado de virtudes, y puesto que no tengo abuela y hoy es miércoles la conclusión es que…

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