La paradoja de la copa de Martini… integral

¿A quién no le gusta irse de copas? (sounds o silence…). Pero… ¿habéis ido de copas alguna vez con un matemático? Pues eso es una experiencia completamente diferente. Porque cuando un matemático ve una copa, no mira lo mismo que el resto de los humanos, no. Ve las múltiples oportunidades que estos objetos nos proporcionan de aprender un poco de matemáticas y hasta de sorprendernos con alguna paradoja. Y para que vayas abriendo boca, te dejo que mires este vídeo.

¿Ya has terminado? Pues vamos a aprovecharlo para explicar que lo que has visto, no atenta contra ningún mandamiento matemático y que, en realidad, es lo normal. Además, vamos a tratar de ver qué ocurre si en vez de copas cónicas, las elegimos con otras formas.

Cuando vi por primera vez este vídeo, pensé lo mismo que la mayoría: ¡aquí hay gato encerrado! Así que cogí un papel y un lápiz y me puse a hacer algunas cuantas.

Para empezar, lo que observamos en el vídeo es que, a pesar de la apariencia de que la copa está “casi llena”, en realidad está exactamente medio llena. Pues muy bien, vamos a tratar de modelizar esto. Tomemos una copa cónica cualquiera, por ejemplo, esta de aquí abajo

Copa de Martini

No, hombre, no. Así no. Vamos a modelizar nuestra copa.

Copa Modelizada

Ahora nos olvidamos de la copa original y vamos a llenar por la mitadnuestra copa y vamos a tomar algunas medidas

Copa llena con medidas

Ya estamos en condiciones de plantear nuestro problema matemático. El interior de la copa de martini es, en realidad, un cono (invertido); así que con las medidas que hemos tomado, es fácil calcular su volumen total (recordad que el volumen de un cono es el área de la base -un círculo- por la altura dividido todo entre 3): V_{total}=\frac{1}{3}\pi r^2 H. La pregunta que nos podemos hacer es ¿hasta qué altura tendré que llenar la copa para que dentro haya justamente la mitad del volumen total? O dicho en el lenguaje de las matemáticas, si llamamos V(x) al volumen de líquido que hay en la copa hasta la altura x, ¿cuánto debe valer x para que V(x)=\frac{1}{2} V_{total}?

Así que tan sólo hay que calcular V(x). Si nos fijamos, en realidad V(x) es en realidad el volumen del mismo cono, pero donde la altura ahora es x y… ¡Vaya! parece que hay un problema. Resulta que conocemos la altura, x, pero ahora no sabemos cuánto vale el radio y de la circunferencia de la base (la base del líquido, claro)

Copa llena con medidas2¡Thales ven a mí! ¿Veis que acabamos de montar 2 triángulos (rectángulos) semejantes? En el grande (el que forma la copa), los catetos son H y r, mientras que en el segundo (el que forma el líquido de la copa), los catetos son x e y. Así que una simple regla de tres (o una aplicación del Teorema de Thales) nos dice que \frac{r}{H}=\frac{y}{x}, de donde, y=\frac{r}{H}\,x.

Ahora, calcular el volumen ocupado por el líquido es muy fácil: V(x)=\frac{1}{3} \pi y^2 x=\frac{1}{3}\pi \frac{r^2}{H^2} x^3.

Y nuestra pregunta se convierte en resolver la ecuación V(x)=\frac{1}{2}V_{total}, o lo que es lo mismo, \frac{1}{3}\pi \frac{r^2}{H^2} x^3=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\pi r^2 H. Ahora hacemos es que gusta tanto a nuestros alumnos, TACHAR, para obtener que x^3=\frac{1}{2}H^3 por lo que

\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt[3]{2}} H\approx 0,7937\cdot H

¿Y qué interpretación le damos a esto? En primer lugar que el resultado que hemos obtenido es independiente de r, es decir, da igual el ángulo \alpha con que la copa cónica se abra. Y en segundo lugar, y aquí quizás viene lo que choque a muchos, es que para que la copa esté a medio llenar, hay que verter líquido hasta el 79,37% de la altura de la copa; vamos, que si la copa del vídeo mide 10 cm de alto (la parte que se llena de la copa, claro), entonces el líquido llega a casi 8 cm.

Intuitivamente este resultado no debería sorprendernos pues es claro que mientras más alto mayor circunferencia tendrá la copa y más líquido cabrá. Pero lo sorprendente es que esa altura es independiente del ángulo de apertura y que es de (casi) un 80% de la altura total.

En resumen, que cuando el barman nos sirva la copa, asegúrate de que no te deje un dedito de arriba sin llenar, porque ese dedito es, en realidad, la mitad de la copa.

Bien, pues ya hemos cubierto la parte de “Copa de Martini” del título de la entrada. ¿Dónde narices aparece lo de integral? ¿Acaso el líquido vertido en las copas es “Martini integral”? No, ni mucho menos. Todo este tinglado que hemos montado está muy bien, pero… ¿qué ocurre si tenemos otro tipo de copa? por ejemplo, una copa de cava. Ahora la forma de la copa no es un cono invertido y más bien se parece a un paraboloide de revolución (es decir, el cuerpo que forma una parábola al girar alrededor de su eje):

Paraboloide de revolución
Imagen extraída de Wikipedia

Perfecto… y ahora ¿cómo calculamos el volumen de un paraboloide? Porque yo no recuerdo ninguna fórmula al respecto (aunque algo se puede encontrar por ahí)

Tranquilos que no hacen falta fórmulas, sino integrales. Vamos a construir una parábola, pero la vamos a colocar apaisada y con el vértice en el origen de coordenadas. En estas condiciones, la fórmula de la parábola es y(t)=a\sqrt{t}, donde a>0 nos va a decir lo abierta o cerrada que esté la parábola.

parabola

Bueno, vamos a darle ahora aspecto de copa (es decir, vamos a girar la parábola alrededor del eje de abscisas)… y vamos a llenarla justo hasta la mitad.

parabola llena

Ahora sólo hay que recordar la fórmula del volumen de un sólido de revolución generado al girar una curva y=f(t) alrededor del eje de abscisas (que ésta es de la que se enseña en cualquier curso de cálculo de 1º de carrera científica… incluso en Bachillerato de ciencias, si los alumnos lo permiten y el profesor se atreve):

V=\displaystyle\pi\int_a^b f(t)^2\,dt

El volumen total de la copa será, en este caso, V_{total}=\pi\int_0^Ha^2 t\,dt=\frac{1}{2}\pi a^2 H^2, mientras que  V(x)=\frac{1}{2}\pi a^2 x^2. Así que para que V(x)=\frac{1}{2}V_{total}, debe cumplirse que x=\frac{1}{\sqrt2}H\approx 0,7071 H. Ahora, para que la copa esté medio llena, la hemos de llenar (valga la redundancia) hasta el 70% de su altura.

Si te paras a pensar, el caso de la copa de Martini es el caso lineal n=1) y el de la de Cava es el caso cuadrático (n=2) pero, ¿qué ocurre con el caso cúbico (n=3), cuártico (n=4), etc…?

En el caso general n, la función a la que hay que calcular el volumen será la raíz enésima y=\sqrt[n]{t}=t^{1/n}. En este caso, V_{total}=\pi\int_0^H t^{2/n}\,dt=\pi \frac{n}{n+2} H^{\frac{n+2}{n}}, mientras que V(x)=\pi \frac{n}{n+2} x^{\frac{n+2}{n}}. Y para que V(x)=\frac{1}{2}V_{total}, debe cumplirse que x=\frac{1}{\sqrt[n+2]{2^n}}H.

Si llamamos C[n]:=\frac{1}{\sqrt[n+2]{2^n}}, aquí os dejo con algunos de los valores que toma dicha constante:

\begin{array}{rl}  \text{C[1]=} & 0.7937005260 \\  \text{C[2]=} & 0.7071067812 \\  \text{C[3]=} & 0.6597539554 \\  \text{C[4]=} & 0.6299605249 \\  \text{C[5]=} & 0.6095068271 \\  \text{C[6]=} & 0.5946035575 \\  \text{C[7]=} & 0.5832645198 \\  \text{C[8]=} & 0.5743491775 \\  \text{C[9]=} & 0.5671562611 \\  \text{C[10]=} & 0.5612310242 \\  \text{C[11]=} & 0.5562657380 \\  \text{C[12]=} & 0.5520447568 \\  \text{C[13]=} & 0.5484124898 \\  \text{C[14]=} & 0.5452538663 \\  \text{C[15]=} & 0.5424819568 \\  \text{C[16]=} & 0.5400298694 \\  \text{C[17]=} & 0.5378452931 \\  \text{C[18]=} & 0.5358867313 \\  \text{C[19]=} & 0.5341208454 \\  \text{C[20]=} & 0.5325205447  \end{array}

Recordad que esta constante mide el porcentaje de altura al que hay que verter líquido en la copa para que ésta esté medio llena. ¿Cuándo será justamente la mitad? es decir, ¿hay algún valor de n para el que C[n]=0.5?

La respuesta es NO y SÍ. No es cierto porque la expresión C[n] es decreciente (a medida que aumenta n, disminuye su valor) y, además, \lim_{n\to\infty}C[n]=0.5; por lo que el valor 0.5 nunca se alcanzará.

Y decía que Sí, porque por los mismos motivos anteriores, podemos asumir que el caso que buscamos, se alcanza para n=\infty. Pero en este caso, se tiene que \lim_{n\to\infty}t^{1/n}=1. Así que, en realidad, estamos tomando como función de partida la función constante 1. Vamos que es el caso de un VASO DE TUBO de los de toda la vida en los bares de copas.

Como moraleja de todo esto, si te vas de copas, preocúpate de que no te den garrafón… y de que las copas te las sirvan en un vaso de tubo.

PD: Para los docentes de matemáticas (yo entre ellos) aquí podéis encontrar una bonita forma de introducir los sólidos de revolución. Nada nos impide ahora utilizar otras funciones y=f(t) diferentes a las que hemos tomado y experimentar con las formas y los volúmenes que aparecen.

Como ejercicio para el lector, os dejo que penséis en lo que ocurre con una Copa de Cognac. Si os parece, podemos suponer que estas copas tienen forma esférica, a la que se le ha quitado un casquete. Así, podemos suponer que tenemos la circunferencia y=\sqrt{r^2-t^2} y que la Copa de Cognac se obtiene al girar esta curva entre t=-r y t=r/2, por ejemplo. Os advierto que no es tan sencillo como antes, pero con un poco de arte, se puede calcular. Suerte.

PD2: Esta entrada participa en la Edición 5.2 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Matesdedavid

Te invitamos a comentar y conversar sobre este artículo en nuestras redes sociales: Facebook y Twitter.