La CUP y la binomial

Por Omalaled, el 28 diciembre, 2015. Categoría(s): Matemáticas • Twitter
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Cierto bloguero, quien se define matemático junto a otro detalle no tan honorable (en mi subjetiva opinión), hizo la afirmación que tenéis en la anterior imagen. Bueno, con esto de la política corren ríos de tinta. De política no es que me entere mucho, pero parece ser que debían decidir entre sí o no a votación los de la CUP una cuestión entre 3030 personas. La pregunta es, ¿cuál es la probabilidad de empate, o sea, que salgan 1515 que sí y 1515 que no?

La fórmula utilizada era 1/(n-1), siendo n=3030, el número de participantes. A mí me sonó mal de entrada. Siempre me ha funcionado muy bien en física y matemáticas hacer un razonamiento similar a la falacia de la pendiente resbaladiza. Lo que hago es buscar casos y consecuencias extremas y ver qué pasa. En este caso podemos imaginar que, si en lugar de 3030 fueran 4 personas, entonces, la probabilidad de empate… ¿sería 1/3? Posteriormente comentaron que no, que era 1/n o 1/(n+1), o sea, 1/4 o 1/5. Tampoco me cuadraba.

Voy a resolverlo a mi manera, con lo que aprendí en la facultad. No sé si es la forma actual u ortodoxa, pero sí ha sido la suficiente como para que después de años aún quede algo en mi memoria. Vamos a poner antes dos ejemplos para aclararnos. Llamemos n al número de participantes y veamos todas las posibles combinaciones de votos que pueden tener. Supongamos que fueran n=2 personas. Los resultados posibles serían los siguientes:

Sí, Sí
Sí, No -> OK
No, No
No, Sí -> OK

Claramente, la probabilidad de empate es 2 casos favorables frente a 4 posibles: un 50%. Quien lo hiciera con 1/n acertaría pero, ¿funciona para un n cualquiera? Supongamos que fueran n=4 participantes y veamos si volvemos a acertar. Los resultados posibles serían los siguientes.

Sí, Sí, Sí, Sí
Sí, Sí, Sí, No
Sí, Sí, No, Sí
Sí, Sí, No, No -> OK
Sí, No, Sí, Sí
Sí, No, Sí, No -> OK
Sí, No, No, Sí -> OK
Sí, No, No, No
No, Sí, Sí, Sí
No, Sí, Sí, No -> OK
No, Sí, No, Sí -> OK
No, Sí, No, No
No, No, Sí, Sí -> OK
No, No, Sí, No
No, No, No, Sí
No, No, No, No

O sea, casos posibles: 16; casos favorables: 6. El resultado es 6/16; lo que hace es un 37,5%. El cálculo 1/n o similares es obviamente incorrecto. Este cálculo se llama modelo binomial y se cumple bajo 4 premisas:

  1. Tenemos n experimentos independientes.
  2. Para cada experimento hay sólo 2 sucesos posibles: Sí y No (podemos decir cara o cruz, o como dicen los matemáticos: A y no A).
  3. La probabilidad de A es p=P(A) y la de no A es q=1-P(A) y son constantes (por ejemplo, en una moneda p=q=0,5; pero si es una moneda trucada, podría ser p=0,3 y q=0,7).
  4. x será el número de veces que ocurre A en los n experimentos.

En nuestro segundo caso con 4 personas será n=4; x=2 (que salgan 2 personas que dicen que sí); y como suponemos que las votaciones son aleatorias (suposición que estoy empezando a pensar que es cierta) tenemos que p=0,5.

b(x;n,p)=b(2;4,0’5)

O sea, probabilidad de que 2 personas digan que sí. La binomial está tabulada, no esta, sino otra que se denota con una B mayúscula, pero nos da el resultado de que dos personas o menos digan que sí; así que buscaremos el resultado de dos personas o menos digan que sí y le restaremos una persona o menos diga que sí, con lo que tendremos la probabilidad de que dos personas de forma exacta voten sí:

b(2;4,0’5) = B(2;4,0’5) – B(1;4,0’5)

Vamos a las tablas. Si queréis saber cómo se utilizan tenéis este enlace que lo explica. Las tablas de la binomial las tenéis en muchos sitios, como este por ejemplo. No hace falta que los miréis. Os pongo el resultado remarcado de ambos:

Tabla de la binomial
Buscando los valores para x, n y p tenemos:

b(2;4,0’5) = B(2;4,0’5) – B(1;4,0’5) = 0,6875 – 0,3125 = 0,375

Con lo que el resultado es un 37,5% que coincide con el cálculo inicial que habíamos hecho a mano. Estamos en el camino correcto.

Ahora vamos con el problema de las votaciones. Buscamos x=1515 que voten que sí con n=3030 participantes y la probabilidad de sí es 0,5; o sea, b(1515;3030,0’5). Esto no está tabulado y hay que resolverlo con otras fórmulas.

Aquí entra en juego el maravilloso matemático Abraham de Moivre. Parece ser que notó que cada día dormía 15 minutos más que el anterior, así que siguiendo esa serie en unos cuantos días dormiría las 24 horas. Dormir 24 horas al día significa estar muerto con lo que predijo la fecha de su muerte. Y parece que así fue. El mismísimo Newton, cuando le hicieron una pregunta de matemáticas contestó:

Vayan con Abrahám de Moivre a consultar esto. Él sabe mucho más que yo de estas cosas.

Pues bien, aprovechando los trabajos de este hombre calculamos la binomial (es un tanto elaborado porque hay que ajustarlo a una Normal) y sale un 1,44%. Yo he tenido manga ancha con los redondeos y en tablas también redondeando donde tendría que haber interpolado y me ha salido un 1,6%. En este enlace podéis verlo resuelto de otra manera.

Posteriormente, dado que el matemático decía que era imposible y ha salido, rápidamente hay quien ha intentado aprovechar el tirón:

Lotería

Me temo que habría que hacer un cálculo diferente.

 



Por Omalaled, publicado el 28 diciembre, 2015
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