Lotería: La esperanza no es lo último y, además, se pierde

Viñeta | Forges

No, señores, no me he vuelto loco. Ya sé que el refrán original es que “La esperanza es lo último que se pierde”, pero en cuestiones de Loterías, y ahora que se acerca el sorteo especial de Navidad, las cosas no funcionan así.

Parece que fue le matemático estadounidense Roger Jones quien afirmara aquello de que “la lotería es un impuesto voluntario para el que no sabe matemáticas”, aunque no está del todo claro.

En las líneas que siguen, vamos a comprobar que esta última frase es completamente cierta. Y para ello, vamos a recurrir a los datos oficiales del Sorteo Especial de Navidad de 2010.

Antes de empezar, recordaros que en la Lotería de Navidad juegan 85000 números, por lo que la probabilidad de que te toque el gordo es de (Cantidad de Números que juegas)/85000. Si aún así piensas que tampoco es tan difícil, mira el siguiente vídeo, que encontré en Algo Más Que Números.

http://www.youtube.com/watch?v=QsQlJinCii0

¿Qué todavía no te lo crees? Bueno, pues tendremos que entrar más en materia. Hablemos de juegos matemáticos.

Si pagamos por jugar a un cierto juego, podemos definir el concepto de Ganancia, que será Lo-Que-Ganas menos Lo-Que-Pagas. Así, por ejemplo, en el juego del Cara-o-Cruz, si nos dicen que apostemos 1€ y si acertamos, nos dan 2€, la ganancia sería 2€-1€=1€ si acertamos y 0€-1€=-1€ si perdemos.

¿Cómo sabemos si nos están intentando timar? Pues vamos a ver si el juego es justo.

Para ello, calcularemos la Esperanza Matemática de la Ganancia (la media, para entendernos). Entonces en el juego del Cara-O-Cruz, la esperanza será

Probabilidad(Ganar)*1€+Porbabilidad(Perder)*(-1€)=1*1/2-1*1/2=0.

Este dato nos dice que si jugamos muchas veces (pero muchas muchas), al final no vamos a ganar ni a perder dinero, luego el juego sería Justo.

Si se calcula la esperanza como la suma de Probabilidad*Ganancia, entonces un juego es Justo, si este resultado sale 0.

El juego es beneficioso para el Jugador, si la esperanza es positiva, y será beneficioso para la banca si la esperanza es negativa. Fíjate que en las webs de apuestas, si calculas este dato, siempre sale negativo ¿por qué será?

Vamos a aplicar estos datos y conocimientos a la Lotería Nacional en su Sorteo Especial de Navidad. Según el Programa de Premios que publica el Ministerio de Economía y Hacienda, podemos calcular fácilmente el premio que nos dan por cada Euro que apostamos (os recuerdo que cada serie vale 200€)

Categoría del Premio Números Premiados Premio a la serie (200€) Premio por Euro apostado Ganancia por Euro
Premio Gordo 1 3000000€ 15000€ 14999€
Segundo Premio 1 1000000€ 5000€ 4999€
Tercer Premio 1 500000€ 2500€ 2499€
Cuarto Premio 2 200000€ 1000€ 999€
Quinto Premio 8 50000€ 250€ 249€
Pedrea 1774 1000€ 5€ 4€
Anterior y Posterior al Gordo 2 20000€ 100€ 99€
Anterior y Posterior al Segundo 2 12500€ 62,5€ 61,5€
Anterior y Posterior al Tercer 2 9600€ 48€ 47€
Misma Centena del gordo 99 1000€ 5€ 4€
Misma Centena del segundo 99 1000€ 5€ 4€
Misma Centena del Tercero 99 1000€ 5€ 4€
Misma Centena de los Cuartos 198 1000€ 5€ 4€
2 últimas cifras del Gordo 849 1000€ 5€ 4€
2 últimas cifras del Segundo 849 1000€ 5€ 4€
2 últimas cifras del Tercero 849 1000€ 5€ 4€
Cifra Final del Gordo 8499 200€ 1€ 0€

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En total, y suponiendo (que ya es mucho suponer) que todos los premios recaen en números distintos (por ejemplo imaginad que el Gordo y el Segundo salen números consecutivos… entonces el Segundo también sería o bien el Anterior o bien l Posterior del Gordo, con lo que acumularían premios). En este supuesto, habrá un total de 13334 números premiados de los 85000 que hay.

¿Qué ocurre con los 71666 números restantes? Pues que la ganancia será de -1€ por Euro apostado, es decir, si te gastas 1€, lo pierdes.

Uno puede pensar, que, entonces, la probabilidad de que te toque ALGO en la lotería es de 13334/85000, es decir, un 15’7% aproximadamente. No está mal, ¿verdad? Pero claro, aquí no todo serán ganancias.

Realmente, para que, de verdad, estés ganando algo de dinero, hay que eliminar los 8499 números de los reintegros, que esos no dejan ganancia (ni pérdida), por lo que la Probabilidad de Ganar ALGO en la Lotería es menor (13334-8499)/85000=4835/85000, que corresponde con un 5’7% aproximadamente.

Si ya estos datos son más esclarecedores, vamos a centrarnos en lo que uno puede esperar ganar en la lotería. ¿Y cómo calculamos la esperanza de esta ganancia? Pues sencillo, basta multiplicar, fila a fila, la segunda columna (la de la cantidad de números premiados) por su ganancia correspondiente, sumar todos esos productos y dividir entre el número total de números que hay (85000). Pero antes, y para completar los 85000 números que entran en juego, vamos a añadir una última fila para los números no premiados, cuya ganancia es -1€

Cantidad de Números Ganancia por Euro Ganancia * Números
1 14999€ 14999€
1 4999€ 4999€
1 2499€ 2499€
2 999€ 1998€
8 249€ 1992€
1774 4€ 7096€
2 99€ 198€
2 61,5€ 123€
2 47€ 94€
99 4€ 396€
99 4€ 396€
99 4€ 396€
198 4€ 792€
849 4€ 3396€
849 4€ 3396€
849 4€ 3396€
8499 0€ 0€
71666 -1€ -71666€

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Si ahora sumamos la columna de la derecha (ojo, que en la última fila hay un número negativo) y dividimos entre 85000, obtendremos la esperanza. En este caso resulta ser E=-0,30€.

¿Qué significa este dato? Pues muy sencillo. Por cada Euro que juegas a la Lotería, vas a pereder 0’30€.

¿Y ahora? ¿seguís creyendo que es fácil que te toque?

Bueno, al menos, y como bien dice mi amigo Pepe de Algo Más Que Números, “La Lotería de Navidad no se compra con la esperanza de que nos toque, se compra porque no vaya a ser que le toque a los compañeros y a ver quien los aguanta entonces.”

Un saludo a todos… y suerte en la lotería que siempre toca… tirar el número a la basura.

Esta entrada va a formar parte de la IX Edición del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión, en esta ocasión, es el blog Rescoldos en la Trébede.

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