Mirando al horizonte

Por Pablo Rodríguez, el 23 enero, 2014. Categoría(s): Curiosidades • Fotografía • Matemáticas
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Hace poco me enteré de que por Barcelona circula el rumor, con ciertos tintes de leyenda urbana, de que es posible ver la isla de Mallorca desde algunas colinas cercanas a la ciudad cuando las condiciones climatológicas son buenas. La isla se encuentra a más de 170 km.

Sorprendentemente, el rumor está en lo cierto. Existen algunas fotografías de éste fenómeno, como la que reproducimos a continuación, con permiso de su autor, Robert Ramos:

MallorcaByRR
Mallorca des de Barcelona. Por Robert Ramos (http://www.robertramos.cat)

Hace unos días apareció en las redes una fotografía increíblemente clara, tomada en éste caso desde el Observatori Fabra (aquí su página de Facebook). En ella, se ve claramente la sierra de Tramontana recortada sobre el horizonte. La reproduzco a continuación con permiso de su autor, Alfons Puertas:

Fotografía de Alfons Puertas.
Fotografía de Alfons Puertas.

La fotografía es tan clara que en un primer vistazo despierta cierto escepticismo (aunque se ha comprobado que la fotografía es auténtica). El propio Alfons Puertas nos cuenta en qué condiciones tomó la fotografía:

Los avistamientos de Mallorca, al contrario de lo que buena parte del público no experimentado piensa, son bastante habituales en nuestro observatorio. El año pasado lo anotamos en 23 ocasiones, aunque muy pocas veces con tanta claridad y nitidez. Para un buen avistamiento es necesaria una muy buena visibilidad, lógicamente, pero tambien buenas condiciones de luz. Estas condiciones limitan mucho la franja horaria en que es posible vislumbrar el perfil de la isla con claridad diáfana: al alba, cuando aparecen las primeras luces en el horizonte pero antes de que salga el sol. Cuando el astro ya está por encima del horizonte la dispersión de la luz coloca capas de azul entre la isla y nuestros ojos, con lo que el perfil va difuminandose progresivamente. Posteriormente al anochecer aumentan de nuevo las posibilidades si se mantiene la buena visibilidad, pero las condiciones de luz ya no son tan favorables. En ocasiones la visibilidad es muy buena, pero no lo suficiente en las capas más bajas de la troposfera y no se distingue la isla con tanta claridad o no se distingue si hay alguna nube en las proximidades de la isla que no permita el contraste necesario desde nuestra posición.

Alfons Puertas, Observatori Fabra

Sea como fuere, no me pude resistir a hacerme la pregunta: ¿cuál es la máxima distancia a la que podemos mirar en la superficie de la Tierra?… o lo que es lo mismo, ¿cuál es el horizonte más profundo que podemos ver?

Como veremos a continuación, la respuesta depende de la altura del punto de observación y del punto a observar. Como primera aproximación al problema, basta con un poco de trigonometría (solamente un poquito, lo prometo) para hallar la respuesta. Pongámonos manos a la obra.

Para empezar, imagino que todos estaremos de acuerdo en que la Tierra tiene forma (aproximadamente) esférica. Concretamente, hablamos de una esfera con un radio (medio) de 6371 km. Bien, dibujemos dicha esfera:

sights1

Si observamos desde una montaña, o un globo, u otro punto elevado, habrá que dibujarlo por encima de la esfera. Llamaremos h a la altura sobre el suelo:

sights2

Si miramos más y más lejos, encontramos que la curvatura de la Tierra no nos permite ver más allá de cierto punto. En dicho punto, nuestra dirección de mirada es tangente a la superficie terrestre. Si dibujamos la situación, veremos que aparece un triángulo rectángulo en el diagrama:

sights3

 

Dónde se ha llamado d a la distancia en línea recta entre el punto de observación y el punto observado.

Los triángulos rectángulos tienen una propiedad muy interesante: verifican el teorema de Pitágoras. Dicho teorema nos dice que el cuadrado de la hipotenusa (el lado más largo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los otros dos lados). Si lo traducimos al lenguaje matemático tendríamos algo así:

PitagorasY por último, despejando d:

f1

Si jugamos un poco con ésta ecuación, encontraremos que según éste modelo sencillo:

  • Una persona de estatura media (h = 1.75 m) verá un horizonte de algo menos de 5 km a la redonda.
  • Un vigía subido a la cofa de un barco (h = 15 m) verá hasta casi 14 km de distancia.
  • Desde un avión comercial que vuele a 10 km de altitud veremos 357 km de horizonte.
  • Felix Baumgartner pudo divisar un horizonte de más de 700 km antes de saltar desde 39 km de altura.
  • Los tripulantes de la ISS, en su privilegiado observatorio de 370 km de altura, pueden ver un panorama de 2200 km a la redonda.

Si sustituimos la altitud del Observatorio Fabra (~0.4 km) y el radio terrestre en dicha ecuación, obtenemos que la máxima distancia que se puede observar es algo inferior a 80 km. Parece que no debería ser posible ver Mallorca pero…, ¡un momento!, no estamos teniendo en cuenta la altura de la sierra de Tramontana. Quizá el problema sea que nuestro modelo no sea lo suficientemente preciso. Como soy un maldito empollón estudiante aplicado, voy a mejorarlo teniendo en cuenta la altura de las montañas mallorquinas:

sights4

En éste caso, un cálculo análogo arroja la siguiente fórmula:

f2

Si introducimos la altura de picos como el Puig Major (~1.4 km), encontramos que debería ser posible verlo desde algo más de 200 km de distancia. Suficiente para verlo desde el Observatori Fabra.

Incluso así, aún podríamos mejorar el modelo un poco más si en lugar de trabajar únicamente con geometría introducimos un poco de física en todo el asunto. Hemos dado por sentado que la luz se transmite en línea recta, y ésto no es necesariamente cierto. Cuando se da un gradiente de temperatura en la atmósfera, éste se traduce en un gradiente en el índice de refracción, que hace que los rayos de luz se curven ligeramente. Dicha curvatura, al prolongarse durante tantos kilómetros, puede dar lugar a desviaciones importantes

Existen ciertos efectos ópticos, como la fata morgana, que permiten ver objetos muy lejanos precisamente gracias a que curvan los rayos de luz y evitan que éstos choquen con el suelo antes de llegar a nuestros ojos. Pueden dar lugar también, a que el objeto se vea ampliado, flotando en el aire o incluso invertido.

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Ejemplo muy exagerado de fata morgana

Se trata de un tipo de espejismo que suele darse en las zonas costeras. En el blog Horitzons Llunyans (que también trata ampliamente el tema de los avistamientos de Mallorca desde Cataluña) encontramos un ejemplo tan espectacular como éste:

Del blog Horitzons Ilunyans (http://horitzonsllunyans.wordpress.com/)
Fata morgana. Fotografía tomada del blog Horitzons Llunyans (http://horitzonsllunyans.wordpress.com/)

Sobre ésta posibilidad, aunque ha quedado claro que no es necesario que se produzca una fata morgana para ver Mallorca desde Barcelona, Alfons Puertas nos comenta que en alguna rara ocasión ha percibido la sierra sensiblemente más alta de lo habitual debido, sin duda, a un efecto óptico de éste tipo.

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Esta entrada participa en la edición 4.1231056256 del Carnaval de matemáticas, cuyo blog anfitrión es Cuentos Cuánticos.



Por Pablo Rodríguez, publicado el 23 enero, 2014
Categoría(s): Curiosidades • Fotografía • Matemáticas

 

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