Un acertijo: bebés y probabilidad

Para muchos de nosotros con Septiembre empieza el curso, y va siendo hora de desperezar las neuronas. Para tocar las narices echar una mano con el proceso, propongo un acertijo sobre probabilidad, una de las ramas del conocimiento más engañosamente sencillas.

Vamos con ello:

En una ciudad hay dos hospitales.

Uno de ellos es mucho más grande que el otro, y por lo tanto tiene capacidad para más pacientes.

El mes pasado sucedió una cosa curiosa. La sala de maternidad de uno de los hospitales registró que la proporción de bebés niña había sido ese mes muy superior a la de bebés niño (pongamos 75% de niñas, 25% de niños).

babies

¿En cuál de los dos hospitales es más probable que sucediese esta rareza, en el hospital grande o en el hospital pequeño?

Si lo desean, pueden responder aquí. Sean honestos y respondan antes de leer los comentarios. Publicaremos el resultado correcto en unas semanas.

Para los más exigentes en cuánto a detalles, dejo las siguientes aclaraciones:

  • Consideramos que las probabilidades en cada parto son 50% niño 50 % niña.
  • No tiene importancia sobre el resultado final, pero pongamos que ese mes no hubo partos múltiples de gemelos o mellizos.
  • La única diferencia relevante entre el hospital grande y el pequeño es que el hospital grande atendió a muchas más madres que el pequeño.

En resumen, no le busquéis tres pies al gato. No es un problema con truco ni trampa.

 

Actualización a 11 de Octubre de 2014:

Han pasado unos días, y hemos recibido más de 700 de respuestas al problema. La inmensa mayoría de ellas eran acertadas: la respuesta correcta es

En el hospital más pequeño.

Como esta página la escriben y leen escépticos, es de justicia dar una explicación. De hecho, daremos tres complementarias:

Explicación intuitiva:

Una desviación respecto de la media es más probable cuanto menor sea el tamaño del espacio muestral. Pensad por ejemplo en un hospital tan pequeñito que solo pudiese acoger una madre por mes. Todos los meses nacería un solo bebé, y por lo tanto SIEMPRE arrojaría unas estadísticas de 100% de bebés del mismo sexo. La probabilidad de un 100% de niñas sería muy alta, del 50%.

Un hospital que atendiese a 2 madres por mes podría acabar el mes con las siguientes combinaciones: (niño, niño), (niño, niña), (niña, niño), (niña, niña). Solamente habría una desproporción grande de niñas en el último caso, con probabilidad de 25%.

 

Explicación fundamental:

La propia definición de probabilidad nos dice lo siguiente:

la frecuencia relativa de aparición de un suceso tiende a su probabilidad cuando el número de repeticiones del experimento tiende a infinito. Si uno de los hospitales es mucho más grande que el otro, podemos intuir el resultado correcto.

Es un razonamiento que hubiese encantado a Laplace.

 

Explicación a lo bestia:

Vale ya de trucos, ¡calculemos esas malditas probabilidades! Para ello, nos valdremos del hecho de que nuestro hospital se puede modelar como lo que en matemáticas se llama un problema de Bernoulli: una repetición de varios sucesos iguales que solamente pueden tener dos salidas posibles, niño o niña en nuestro caso.

Las probabilidades del número neto de salidas vienen determinadas por un objeto matemático, parecido a y relacionado con la campana de Gauss, conocido como distribución binomial.

Haciendo uso de ella, podemos calcular la probabilidad de que el número de nacimientos de niñas sea que el 75% del total. Los resultados dependen del tamaño del hospital, y decrecen bastante rápido cuando este crece.

Por ejemplo, para 10 camas/mes, la probabilidad de que el número de niñas sea aproximadamente mayor que aproximadamente el 75% del total es de un 5.47 %, mientras que para 20 camas/mes se reduce hasta un 2.07 %. Con 30 camas/mes llegamos a un casi despreciable 0.26 % de probabilidades.

Pablo Rodríguez (Guadalajara, España, 1984) se siente inclinado de un modo casi suicida hacia las cosas complicadas. Esta cualidad le ha llevado a convertirse en físico, malabarista, ilusionista aficionado y humorista de cuarta categoría. Actualmente está finalizando un doctorado en matemática aplicada en la Universidad de Wageningen (Países Bajos). Más información aquí



Por Pablo Rodríguez
Publicado el ⌚ 16 septiembre, 2014
Categoría(s): ✓ Curiosidades • Matemáticas • Miscelánea