Pizzas y terraplanistas

¿Es la Tierra plana? ¿Cuál es la forma correcta de comerse una porción de pizza? Naturalmente existe un nexo de unión entre esas dos preguntas y descubrirlo implica un apasionante viaje visitando a fascinantes personajes.

Ambas cuestiones están relacionadas con el concepto de la curvatura de superficies y vamos a ver, en primer lugar, qué significa que una superficie esté curvada y cómo medir en cuánto lo está. Para ello, puede ser buena idea ver qué ocurre bajando una dimensión y tratar de ver cómo determinamos la curvatura de una línea.

En primer lugar debemos considerar la curvatura de las circunferencias. Creo que es evidente que una circunferencia está igual de curvada en todos sus puntos y podemos decir que su curvatura es el inverso de su radio (cuanto menor sea el radio, mayor es la curvatura). Así, para una línea en general (en matemáticas se suele usar la noción de curva de forma genérica), podemos imaginar que dicha línea es el trazado de una carretera por la que vamos circulando en un coche, la curvatura en un punto es lo que tenemos que girar el volante en ese punto para seguir el trazado de la carretera. Si dejáramos el volante fijo, describiríamos una circunferencia que es la que mejor aproxima a nuestra carretera en ese punto.

Por cierto, para pasar de tener el volante derecho a con un cierto giro, la reglamentación obliga a que exista una curva de transición llamada clotoide que es aquella cuya curvatura va creciendo uniformemente con la distancia (así cuando conducimos vamos girando uniformemente el volante).

Para pasar de una recta (en azul) al tramo de curva que tiene forma de arco de circunferencia (en verde) se pasa por una clotoide.

El siguiente paso debe ser definir qué es la curvatura en una superficie, para ello tenemos que hacer el siguiente experimento mental: al cortar una superficie por un plano, en este la primera dibuja una curva:

Al cortar la esfera por un plano obtenemos una circunferencia

Estas curvas son las que nos van a dar la clave, pero no vamos a cortar por cualquier plano, solo por aquellos perpendiculares al plano tangente en cada punto de la superficie.

Aún estos son infinitos, pero se puede demostrar que existe uno que da una curva con curvatura máxima entre todos los posibles y otro (perpendicular al anterior) que da una curva con curvatura mínima:

 

Al cortar por los planos paralelos a los que aparecen en el dibujo conteniendo al vector N, se obtienen dos curvas, una con curvatura k1 (mínima) y la otra con curvatura k2 (máxima)

Entra en escena Chladni: Ernst Florenz Friedrich Chladni (1756 — 1827) fue un físico alemán que, por su trabajo sobre las vibraciones y el cálculo de la velocidad del sonido para diferentes gases, es considerado uno de los fundadores de la acústica. Uno de los experimentos por el que se hizo muy famoso es el de hacer vibrar una placa metálica al pasar por su borde un arco de violín. Si depositaba una fina capa de fina arena, esta se iba acumulando sobre las zonas en las que se reducía la vibración dando lugar a unos patrones muy estéticos.

Chladni y algunos de sus patrones.

El propio Chladni hizo una exhibición en París que llegó a llamar mucho la atención de Napoleón, el cual sugirió a la Academia de Ciencias de Francia que instituyera un premio al primero que consiguiera explicar el porqué de la formación de dichos patrones y que predijera en función de las características de la placa cuál de ellos se produciría.

Sophie Germain

La gran matemática Sophie Germain consiguió el premio de la Academia de Ciencias de Francia (en su tercer intento) gracias al uso de las curvaturas (la media entre ellas) para interpretar los patrones de Chladni que se forman al hacer vibrar una placa metálica con un arco de violín. Ella comunicó ese hallazgo a Carl Friedrich Gauss, lo cual es posible que le hiciera pensar a ese genio sobre la curvatura de las superficies y vino a producir lo que él mismo consideró su “Teorema destacable” (o Theorema Egregium en latín). En sus palabras (traduciendo del original en latín):

«Si una superficie curva se desarrolla sobre cualquier otra superficie, la medida de la curvatura en cada punto permanece inalterada».

Esas palabras, a simple vista tan inocuas, encierran una gran belleza matemática. En primer lugar, aclaremos que cuando Gauss se refería a la curvatura, lo que quería decir era el producto de las dos curvaturas que hemos considerado anteriormente, lo que viene a llamarse la curvatura de Gauss. Después nos viene a decir cuando dos superficies (localmente) son iguales: medir distancias y ángulos en una es lo mismo que medir en la otra: basta que tengan la misma curvatura de Gauss. Como veremos, eso tiene una gran trascendencia, pero primero veamos las curvaturas de algunas superficies:

Aunque el cilindro y el plano tienen distinta curvatura media, lo que nos dice el Theorema Egregium de Gauss es que por mediciones dentro de ambas superficies (si somos seres viviendo en un mundo plano o en uno cilíndrico) es imposible saber en qué superficie estamos porque ambas tienen la misma curvatura de Gauss (tenemos que observar ambas superficies “desde fuera” para distinguirlas). Además una se puede “desarrollar” sobre la otra: con un trozo de papel plano, podemos hacer un cilindro (basta con doblarlo y pegar dos lados opuestos). Por otra parte, existen cilindros y esferas con la misma curvatura media (un cilindro que tenga de radio de la base 2r y una esfera de radio r), pero nunca tienen la misma curvatura de Gauss, es por ello por lo que no podemos tener un mapa del mundo (en un plano) que sea fiel a las medidas que se pueden observar en la Tierra.

La proyección de Mercator se obtiene “envolviendo” la Tierra con un cilindro imaginario y proyectando desde el centro de la Tierra. (Imagen CSIC).

Y me temo que esta es un punto clave para los terraplanistas ya que si medimos triángulos en la Tierra (de cierto tamaño, varias decenas de kilómetros) se puede comprobar con las medidas no corresponden con una superficie de curvatura de Gauss 0, sino muy aproximadamente con una esfera (hay una ligera desviación porque la Tierra no es totalmente esférica y por problemas de precisión relativos a las alturas de los puntos de las mediciones). Y resulta que dichos triángulos si se han medido, desde hace siglos. Por ejemplo, Jorge Juan y Antonio de Ulloa marinos y científicos, formaron parte de la expedición científica hispano-francesa (1735-1746) organizada por la Academia de Ciencias de París y de la que también eran miembros La Condamine y el naturalista Jussieu, y cuyo objetivo era medir el arco del meridiano terrestre en el Ecuador para dilucidar la verdadera forma de la Tierra y sus exactas dimensiones. Esos triángulos se pueden consultar (y los de otras expediciones) y a la vista de ellos son caben dos explicaciones: o bien la Tierra no es plana o todos esos científicos formaban parte de la misma conspiración.

Algunos de los triángulos (sin las medidas que estaban en toesas y que se expresaban dando un margen de error) de la expedición de Jorge Juan y Ulloa (las líneas continuas eran mediciones de Jorge Juan y las discontinuas por la Condomine y Ulloa).

Nos quedan las pizzas… Hay que pensar que una pizza es plana, por lo tanto su curvatura de Gauss es 0. Eso significa que el producto de su mayor curvatura (en cada punto, por su menor siempre ha de ser 0 y, por lo tanto, en una de las dos direcciones principales siempre vamos a tener una recta. Así si cogemos la pizza sin más por el borde (y si la masa es fina y la pizza está recién hecha), es muy posible que se curve con la punta hacia abajo y se caiga parte de los ingredientes.

Para evitar este hecho tan negativo para la humanidad (y algunos manteles), basta con doblar hacia arriba (hacia abajo no es una buen idea) el borde de la pizza al cogerla y, como ya le estamos dando una curvatura, en la otra dirección, la que va hasta el centro, se tendrá que poner la pizza en línea recta, para conservar su curvatura de Gauss.

 

Este artículo nos lo envía Alberto Márquez, (@Twalmar) Catedrático en el departamento de Matemática Aplicada I de la Universidad de Sevilla. Además de su labor docente e investigadora, desde hace años está muy interesado en la divulgación científica, siendo organizador de diversas actividades en este sentido. Es uno de los miembros del podcast “Los 3 chanchitos“.

Nota: esta entrada se corresponde con la charla que el propio Alberto ofreció en la pasada edición de Naukas-BCAM día Pi 2019. Las figuras 1, 2 y 3 (las de la carretera y el volante) están tomadas de este artículo de David Orden, en su blog Cifras y teclas.



Por Colaborador Invitado
Publicado el ⌚ 19 marzo, 2019
Categoría(s): ✓ Actualidad • Matemáticas