Las matemáticas son tus amigas – IV

Por Alfonso Araujo, el 30 julio, 2020. Categoría(s): Matemáticas

En el artículo anterior compartí un ejercicio del libro de matemáticas de mi niña, que está en primero de primaria, para ejemplificar la importancia de problemas que promueven el pensamiento creativo para encontrar soluciones.

El problema es un clásico:

Tienes un pastel. ¿Cuál es el mínimo número de cortes para que puedas cortar el pastel en ocho pedazos?

Normalmente se presenta de forma ligeramente diferente, pero esa diferencia lo convierte en un problema muy distinto. La forma típica de presentarlo es:

¿Cómo cortas un círculo (pero normalmente usando las palabras “pastel”, “pizza” o incluso “rosca”) con 3 cortes, para obtener 8 pedazos idénticos?

En matemáticas es esencial la forma de describir algo y esos son dos problemas totalmente distintos. La respuesta estándar a este segundo problema es así:

Con dos cortes a lo largo del diámetro, cortas la pizza en cuatro. Luego, tomas las cuatro piezas resultantes, las pones todas una encima de la otra, y con el tercer corte las cortas a la mitad todas juntas. El resultado: 8 piezas iguales.

El primer problema es una cosa muy diferente: dice que hay que cortar un pastel sin decir su forma, y dice que hay que obtener 8 pedazos, pero no pide que sean idénticos.

Primero, de forma natural, ella asumió una forma redonda para el pastel; pero después de varios intentos vio que por más que hacía, necesitaba cuatro cortes. Sin embargo, en vez de simplemente contestar “4” en la tarea, decidió ponerse creativa. A lo que llegó fue una cosa sorprendente: asumió una forma de pastel realmente pastelesca, y con tres cortes hizo esto:

Eso es una respuesta maravillosamente creativa, aunque es hacer trampa de forma descarada. Pero veamos por qué es tan importante la creatividad de este tipo, y cómo de hecho sí se aplica en matemáticas.

 

La trampa

Ella puso un pastel literal y al hacerlo, asumió un corte ya implícito: entre la parte superior e inferior. De modo que, con sus tres cortes, está cortando no una figura única, sino una que ya estaba partida en dos.

 

La corrección

Cuando le hice notar su trampa, lo vio y lo aceptó de inmediato, pero ya tenía una pista correcta: asumir que el pastel no tiene por qué tener una forma específica, de modo que se puso a buscar figuras “válidas”. En la imagen principal de este artículo pongo cuatro de sus intentos exitosos y fallidos. Cuando se cansó de usar figuras de ese tipo, encontró una mina de oro en el abecedario:

Al encontrar la E, finalmente tuvo su iluminación: la respuesta al problema de “¿Cuál es el mínimo número de cortes para que puedas cortar el pastel en ocho pedazos?” es, por supuesto, UN corte:

Al día siguiente la maestra les dio la respuesta clásica (la de apilar pedazos) pero se sorprendió mucho con la respuesta de mi niña.

 

La creatividad en las matemáticas

Este tipo de pensamiento creativo, en donde se “asumen” ciertas cosas que el problema no prohíbe, de hecho se usa mucho en matemáticas y a través de este tipo de práctica no sólo se resuelven cosas sino que se inventan técnicas y ramas completas de las matemáticas.

Hay un chiste famoso (entre matemáticos) que dice así:

Un químico, un físico y un matemático están varados en una isla desierta. Entre los restos del naufragio, localizan por fin una lata de comida en conserva. El químico y el físico se ponen a discutir cuál es la mejor forma de abrirla. El químico propone hacer una mezcla del agua salada del mar, con unas plantas que acaba de ver y que sabe que puede reaccionar con el metal de la lata, reduciendo su resistencia. El físico prefiere tomar bambús de los que crecen en la isla y crear un aparato que ejerza presión alrededor de la lata, usando unas cuerdas del naufragio. El matemático se mete a la conversación y dice, “A ver, asumamos que tenemos un abrelatas…”

Esto puede parecer absurdo (de hecho lo es en esa situación), pero es muy cierto y muy útil en la práctica de las matemáticas, que trata de maneras abstractas de lidiar con patrones y estructuras, aunque dichas cosas provengan del mundo real. Recordemos que es un lenguaje que traduce objetos o ideas a un reino abstracto, donde son infinitamente manipulables y pueden ser vistos desde muchos ángulos.

 

Aplicaciones

Este “vamos a asumir…” tiene cientos de ejemplos. Uno famoso proviene del genio matemático S. Ramanujan, cuyos diarios siguen dando trabajo a las mentes más brillantes del mundo, a 100 años de su muerte. Su imaginación y creatividad para atacar problemas no tenía límites y desarrolló docenas de técnicas que a primera vista parecen absurdas, para tratar problemas muy complejos.

Cuando G.H. Hardy, el matemático más famoso de Inglaterra en aquel momento, vio esto:

pensó que seguramente se trataba de una broma o de una barrabasada. Esto es, que si sumamos todos los números enteros, desde el 1 hasta el infinito, la respuesta es -1/12.

Las sumatorias de este tipo, cuya respuesta es infinito, se llaman “divergentes” y son un dolor de cabeza porque no se pueden hacer decentemente operaciones con infinitos. Pero este genio ideó, con mucha creatividad, una técnica que más tarde se llamaría “Sumatorias de Ramanujan”, en las que se asumen algunas cosas raras, y podemos asignar valores a sumatorias que en sí mismas son infinitas. Estos valores luego crean su propia lógica para relacionarse y estructurarse, y podemos con ellos crear toda una aritmética coherente.

Pero no es algo ocioso: cierto que al principio, como tantas otras técnicas, aparece como algo meramente abstracto. Pero como es una técnica para tomar cosas infinitas y convertirlas en cosas manejables como números enteros o fracciones, resulta extraordinariamente útil. La Teoría de Campos Cuánticos, por ejemplo, es una parte de la física moderna en cuyos cálculos salen con frecuencia esos odiosos infinitos, de modo que usando este tipo de técnica, se “renormalizan” y se pueden manejar. Ramanujan nunca hubiera imaginado esa aplicación, pero eso no tiene nada que ver con la libertad con la que se permitía imaginar cosas poco ortodoxas para manipular números.

 

Epílogo

La técnica de cambiar las formas del pastel para poderlo dividir, seguramente no va a resolver la Hipótesis de Riemann, pero lo importante es el fomentar el espíritu de juego que lleva a la imaginación que no se ata a preconcepciones. De nuevo: las matemáticas en este sentido son como la poesía, nada nos limita a crear una nueva metáfora o a mirar un problema antiguo desde una nueva postura. Si la postura parece excéntrica en un principio, el mero placer de encontrarla es ya un éxito en sí mismo.